Soit 
un nouveau système
de coordonnées. Si x désigne l'ancien système, on notera
également 
les fonctions de
changement de carte, on écrira donc y(P) = y(x(P)). Le
repère naturel associé aux coordonnées x est 
, celui associé aux
coordonnées y est 
. Nous savons
(depuis le secondaire) comment calculer la dérivée d'une
fonction composée, et donc
ce qui, avec d'autres notations, s'écrit
Notation
Il est souvent commode de noter tout simplement
les vecteurs du repère naturel 
associés à la carte
. La décomposition d'un vecteur quelconque v
suivant ce repère s'écrit 
,
où les 
sont des nombres réels.