Notre but, dans ce paragraphe, est d'introduire la notion
d'intégration des formes différentielles. Comme d'habitude, on
va commencer par définir cette notion pour l'espace numérique
, puis, grâce à un système de cartes, on va pouvoir
généraliser la construction au cas des variétés. On suppose
le lecteur familier avec la notion d'intégrale (de Riemann) sur
. Soit
f une fonction (numérique) c'est-à-dire une fonction - que
nous supposons différentiable - de
à valeurs réelles. Nous supposons, de plus, que
f est à support compact. Son intégrale est notée
ou
, comme d'habitude. Choisissons maintenant une
orientation sur
et considérons la
n-forme
où
est une
n-forme positive pour l'orientation choisie. On pose simplement
Notons que la définition du membre de gauche dépend de l'orientation choisie ; en d'autres termes, on peut identifier les deux notations et concepts en posant
mais il faut
bien noter que l'identification des notations dépend du choix
d'une orientation car l'intégrale d'une
n-forme dépend de l'ordre
alors que l'intégrale de Riemann d'une
fonction
f n'en dépend pas. Soit
T un difféomorphisme de
, c'est-à-dire un changement de variables
.
Notre étude générale des formes différentielles implique en particulier
où
est le jacobien (le
déterminant de la
matrice jacobienne) de l'application
T. On a donc
Mais on sait bien que
Donc si
désigne l'image réciproque de
, on voit que
suivant que
T préserve ou non l'orientation : l'intégrale d'une
n-forme est invariante sous le groupe des difféomorphismes qui
préservent l'orientation.
Passons maintenant au cas des variétés. Soit
M une variété de dimension
n et
une
n-forme à support compact. Supposant la variété orientable,
on choisit une orientation
[M] et une partition de l'unité
subordonnée à un atlas
, c'est-à-dire
qu'on se donne une famille de fonctions différentielles non
négatives
telles que le support de
soit contenu dans
et telles que
(chaque point de
M doit posséder un voisinage dans lequel la somme précédente
est une somme finie). L'existence d'une telle partition de
l'unité, pour une variété différentiable, est un
théorème (que nous ne démontrons pas) qui permet, dans de
nombreux cas, de passer des résultats locaux (valables dans une
carte) aux résultats globaux (valables pour toute la variété
M). On définit l'intégrale de
sur
[M] par l'égalité
où la quantité
signifie en fait
pour
une trivialisation locale
préservant l'orientation. On
se ramène ainsi au cas de
.
L'orientation étant choisie une fois pour toutes, on note
et non plus
l'intégrale correspondante. Il reste alors à
démontrer que la définition adoptée ne dépend pas des cartes
choisies...
On appelle élément de volume sur
M (de dimension
n) ou forme volume un élément quelconque
de
. Le volume de
M, supposée compacte, est alors égal, par définition, à
. Il faut bien noter que sur une variété
quelconque (orientée), on intègre des
n-formes, et non des fonctions, à moins, précisément, d'avoir
choisi un élément de volume
une fois pour toutes, auquel cas on peut évidemment
poser
où
. Un cas particulièrement important à
considérer est celui où la forme volume est associée
canoniquement au choix d'une structure riemanienne (voir
section 1.11) sur la variété en question.