Avant d'arrêter là ces considérations
épistémologiques pour passer à notre premier chapitre
consacré à l'étude des variétés différentiables, nous
voulons dire un mot sur la distinction entre physique classique et
physique quantique, en parallèle avec la distinction entre
``mathématiques commutatives'' et ``mathématiques non
commutatives''. Cette remarque risque de n'être comprise que par
les lecteurs ayant déjà une certaine familiarité avec les
sujets mentionnés mais le lecteur intéressé pourra peut-être
relire ce commentaire en y revenant un peu plus tard.
Les mathématiques commutatives (la géométrie commutative en
particulier) s'occupe des propriétés mathématiques des
``espaces'' (théorie de la mesure, espaces topologiques,
différentiables, riemaniens, homogènes, possédant une
structure de groupe 
) Pour le physicien, ces espaces
fournissent un modèle mathématique concernant le système qu'il a
choisi d'étudier et toutes les quantités qui l'intéressent
peuvent être décrites à l'aide d'une classe appropriée de
fonctions définies sur de tels espaces. Il se trouve que les
propriétés des espaces en question peuvent elles-mêmes être
codées en termes des propriétés de ces algèbres de
fonctions; il s'agit là d'un résultat profond dont l'expression
précise est due à Gelfand (voir chapitre 6). Le vocable ``mathématiques
commutative'' vient du fait que toutes ces algèbres sont des
algèbres commutatives pour les lois d'addition et de multiplication
des fonctions. Attention, de ce point de vue, la théorie des
groupes de Lie (voir plus loin) -- groupes qui ne sont pas, en
général, commutatifs -- fait partie des ``mathématiques
commutatives'' car l'algèbre des fonctions (à valeurs réelles
ou complexes) définie sur un groupe est une algèbre commutative !
Les ``mathématiques non commutatives'', au contraire, s'occupent des
propriétés d'algèbres qui ne sont pas commutatives et des
objets qui généralisent les constructions usuelles lorsqu'on
remplace les algèbres de fonctions (et les ``espaces'' eux-mêmes)
par des algèbres d'opérateurs. Les quantités qui intéressent
le physicien ne sont plus alors codées par des fonctions
numériques mais, typiquement, par des opérateurs agissant dans
des espaces hilbertiens. Il est inutile d'en dire plus à ce niveau
mais nous effectuerons deux remarques. La première est
terminologique: un physicien dit qu'il fait de la physique classique
lorsqu'il utilise des mathématiques commutatives pour décrire un
phénomène (ce qui, philosophiquement, revient à le définir !
Voir la discussion précédente) et de la physique quantique
lorsqu'il utilise des mathématiques non commutatives (idem).
La seconde remarque a trait au contenu de cet ouvrage: il
traite de géométrie, et la plupart du temps de géométrie
utilisée en physique fondamentale, cependant il s'agira presque
toujours de géométrie commutative, vocable englobant d'ailleurs
toute la géométrie, au sens usuel du terme, qu'elle soit
euclidienne ou non. Du point de vue de la physique, nos
constructions correspondront donc à des constructions de théorie
classique des champs (même s'il nous arrive de parler de quarks ou
d'électrons de Dirac) et non de théorie quantique des champs.
Le dernier chapitre est une introduction aux ``mathématiques non commutatives'' (un point de vue assez particulier sur la théorie des algèbres associatives) et présente quelques notions fondamentales relevant de le géométrie différentielle non commutative. Ce dernier chapitre pourrait donc aussi s'intituler : Introduction à la géométrie quantique.