Variétés riemaniennes (propriétés élémentaires)

En toute logique, cette section ne devrait pas se trouver dans ce premier chapitre consacré aux variétés différentielles. En effet, la définition de la structure de variété riemanienne est liée à un cas particulier de restriction d'espace fibré (les espaces fibrés font l'objet du chapitre 4). Cela dit, pour des raisons à la fois historiques et pédagogiques, il est sans doute préférable que le lecteur se familiarise d'ores et déjà avec certaines propriétés des variétés riemaniennes.

En géométrie élémentaire, on étudie d'abord les propriétés linéaires et affines et on passe, ensuite, aux notions métriques. Il en va de même dans l'étude des variétés. Une variété différentiable est encore un objet flasque et mou... la donnée d'une métrique rigidifie l'espace considéré et permet, d'une part, de parler de norme des vecteurs tangents et, d'autre part, de parler de distances entre points. La définition élémentaire d'une métrique g, sur une variété différentiable M, est la suivante : c'est un champ de tenseurs covariants symétriques de degré deux (en général on impose également une condition de non dégénérescence). Si désigne un système de coordonnées locales, on écrira

La métrique g est quelquefois notée et appelée ``élément de longueur'' ou tenseur métrique . Si est un co-repère mobile, on pourra écrire également . En tout point P de M on a donc un produit scalaire défini sur et permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs quelconques v et w appartenant à l'espace tangent en ce point. On a déjà dit que g devait être symétrique (c'est-à-dire , ou ). Dans la plupart des cas, on impose également à g d'être non dégénérée : le déterminant de la matrice est supposé non nul en tout point P et on peut donc inverser cette matrice. On obtient ainsi avec . Cela définit un produit scalaire sur l'espace cotangent qu'on pourra noter (et quelquefois ) et même parfois g s'il n'y a pas d'ambiguï té):

Une variété différentiable munie d'une métrique (non dégénérée) est, par définition, une variété riemanienne . Nous n'avons pas imposé au produit scalaire défini par d'être positif et nous ne l'imposerons pas. En général, une forme bilinéaire symétrique est caractérisée par sa signature (p, q) - le nombre de signes + (p) et de signes - (q) obtenus lorsqu'on la diagonalise. Si on tient à préciser que la signature est de type (p, 0) ou (0,p), on dira que la variété est proprement riemanienne. Si on tient à préciser que la signature est de type (p, 1) ou (1,p), on dira que la variété est lorentzienne (on dit aussi, dans ce dernier cas, que la signature est hyperbolique). Les cas riemaniens et lorentziens sont particulièrement importants en physique mais nous n'avons pas besoin de nous restreindre à ce cadre pour l'essentiel de ce qui suit.

Pour une variété riemanienne (M, g) orientée, on peut définir une forme de volume canonique    de la façon suivante. Soit un repère mobile orthonormal, c'est-à-dire , avec , le signe dépendant de la signature de la métrique. Pour l'instant nons pouvons supposer que l'espace est proprement riemannien, et orienté, mais à la fin de cette section, nous verrons comment compléter les propriétés qui suivent lorsque la signature de la métrique est quelconque, et plus particulièrement lorsqu'elle est hyperbolique. Désignant par le co-repère dual du repère mobile choisi, l'élément de volume riemanien est

Soit un autre repère, non nécessairement orthonormal, et la matrice de passage, c'est-à-dire . Alors , ce qui implique

mais puisqu'on a supposé la base orthonormale et donc

Or

Ainsi

où le symbole désigne suivant que est une permutation paire ou impaire de et il est égal à zéro dans les autres cas.

En particulier, si désigne un repère naturel , on a et

Notons également que, dans un repère orthonormé, la racine carrée précédente vaut 1 et donc En particulier .

La métrique g permet également d'établir un isomorphisme canonique entre l'espace tangent T M et l'espace cotangent . Cette propriété est évidente puisqu'en chaque point, l'existence d'un produit scalaire permet d'identifier les espaces vectoriels avec . En d'autres termes, on peut ``monter'' et ``descendre'' les indices à l'aide de la métrique : au vecteur on associe la 1-forme définie par ( désignant la base duale de ). Inversement, à la 1-forme on associe le vecteur avec . On peut écrire et . Les isomorphismes et sont appelés isomorphismes musicaux (pour des raisons évidentes !) .Cela dit, les physiciens choisissent en général une métrique une fois pour toutes et décident donc de passer sous silence ces isomorphismes musicaux. En d'autres termes, ils identifient v et ainsi que et et écrivent tout simplement ou . Pour des raisons analogues ils écrivent (mais il faut bien entendu se rappeler que est la matrice inverse de . Les isomorphismes musicaux permettent, de la même façon, d'identifier les tenseurs covariants et contrevariants de même rang . Attention, lorsqu'on n'utilise pas de métrique pour monter ou baisser les indices, il n'y a pas de raison de faire attention à la position relative des indices covariants et contravariants (par exemple, on peut parler de sans dire s'il s'agit de , de ou de ). Les trois types de composantes correspondent d'ailleurs des objets différents puisque on travaille, suivant les cas, dans , ou . Par contre, si on utilise la métrique pour procéder à des identifications, il faut faire attention aux positions relatives des indices haut et bas! Ainsi, par exemple, désignera . Tout ceci est assez trivial, mais peut être fallait-il le dire une fois ?

Lorsqu'on a choisi une métrique, on écrira donc abusivement (sans utiliser la notation et ), par exemple

Les isomorphismes musicaux sont quelquefois simplement désignés par le même symbole g que la métrique elle même, le nombre d'arguments permettant de décider si on parle des isomorphismes en question ou de la métrique. Par exemple, on peut noter et . Ceci est en accord avec les notations précédentes puisque par exemple .

Avec ces notations, nous avons alors .

L'existence d'une métrique permet non seulement de calculer le produit scalaire de deux vecteurs (ou de deux 1-formes) mais de contracter n'importe quel tenseur d'ordre k covariant, contrevariant ou partiellement covariant et contrevariant avec n'importe quel autre tenseur d'ordre k. On utilisera encore la notation pour écrire ces contractions de type assez général. Plutôt que de décrire les différents cas, il suffit de dire, en termes imagés, qu'on ``monte'' tous les indices du premier à l'aide de la métrique, qu'on ``descend'' tous les indices du second et qu'on contracte complètement les objets obtenus. Par exemple, si et on fabrique et . On peut alors calculer . En particulier, si désignent une famille de 1-formes et en désigne une autre, on peut vérifier que cette définition conduit à

Dans le sous-cas particulier où ces deux familles coï ncident et où on suppose la famille orthonormée, il vient

Lorsque la signature de la métrique n'est pas proprement riemannienne, c'est à dire lorsqu'elle est de type (p,q), il faut supposer que la variété admet une orientation temporelle et qu'elle est temporellement orientée. Dans le cas usuel de l'espace-temps de la physique (signature (3,1)), on utilisera des indices 0,1,2,3, comme c'est l'usage, plutôt que 1,2,3,4; on posera alors

La différence avec le cas proprement euclidien vient du fait qu'il faut faire attention aux signes lorsqu'on ``monte'' les indices. Par ailleurs, . Les formules précédentes restent donc valables et on aura toujours, par exemple,

mais par contre

Plus généralement, nous avons vu que , mais si on ``monte'' ces indices (à l'aide de la métrique) le résultat va dépendre de la signature, plus particulièrement du nombre q de signes ``-'' dans la métrique. On obtient donc

Citons quelques contractions utiles:

Lorsque la variété est lorentzienne, avec une signature de type (3,1), on obtient en particulier

Pour terminer, notons que l'existence d'une métrique permet d'associer à la différentielle df d'une fonction f, un champ de vecteurs, le gradient  de f défini par . Ainsi, dans un repère naturel, on écrira

Encore une fois, la présente section consacrée aux variétés riemaniennes n'est destinée qu'à introduire certaines notations utiles et quelques notions élémentaires. Nous reviendrons plus en détail sur les variétés riemaniennes à la fin du chapitre consacré aux connexions.