Action d'un sous-groupe H sur un groupe G, normalisateur, centralisateur

• Le cas particulier où E=G et où on considère donc l'action de G sur lui-même par multiplication - à gauche ou à droite - mérite évidemment une mention spéciale. Il s'agit alors d'une action efficace, libre et transitive ; nous y reviendrons un peu plus loin car elle permet de donner une définition intrinsèque de la notion d'algèbre de Lie.
• Choisissons maintenant un sous-groupe H de G. On peut alors définir une action à gauche de H sur G (les orbites sont les , c'est à dire les classes de ) et une action à droite de H sur G (les orbites sont les , c'est à dire les classes de G/H). En général, les ensembles quotients G/H et ne sont pas des groupes, sauf dans le cas où les classes à gauche et à droite coïncident (gH=Hg), c'est à dire lorsque H est distingué   dans G (on dit aussi dans ce cas que H est un sous-groupe invariant ou un sous-groupe normal). En effet, on peut alors définir de façon non ambigu‘ la multiplication des classes : .
• Soit . On définit le normalisateur N de H dans   G comme le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est normal.

  

  Par construction H est distingué dans N, donc est un groupe, et si H est un sous-groupe distingué de G, alors N=G. Notons que, dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué.

• Il faut distinguer (précisément !) les notions de normalisateur et de centralisateur. Le centralisateur  de H dans G est l'ensemble des éléments de G qui commutent (élément par élément) avec ceux de H :

  

  Le centralisateur de H dans G (que nous notons également pour préciser) est bien évidemment un sous-groupe - non nécessairement abélien - de G. Il nous faut également rappeler la définition du centre  d'un groupe G qui n'est autre que le centralisateur de G dans lui-même. Bien entendu, le sous-groupe H possède lui-même son propre centre et on a .