Nous avons déjà fait agir le groupe euclidien G (éléments
) sur l'espace affine 
. Nous
allons maintenant faire agir G sur lui-même, à droite.
Soit 
. On considère l'application
ce qui, avec des coordonnées, s'écrit
soit, explicitement
La différentielle de 
, c'est à dire l'application tangente est égale à
On choisit, comme base de T(G,e) la base
,
,
.
On calcule 
, 
,
.
La base correspondante de 
est donc
Nous laissons au lecteur le soin de vérifier les relations de commutation
