Motivé par l’informatique quantique, Nechita et Pellegrini se sont intéréssés à un état quantique aléatoire dont la loi est issue du noyau de la chaleur sur l’espace projectif complexe. Le calcul de la fonction caractéristique des modules d’un k-uplet mène à une EDP que Nechita et Pellegrini ont résolu que pour k = 1. Dans cet exposé, nous reviendrons sur leur approche et donnerons la solution définitive au problème de calcul de loi du k-uplet. En particulier, la densité du semi-groupe fait intervenir les polynômes de Koornwinder sur le simplexe et repose du point de vue algébrique sur la décomposition des harmoniques sphériques du groupe unitaire sous l’action de sous groupes unitaires.