A haute fréquence, les propriétés de (dé)localisation de
modes propres du
laplacien sur une variété riemannienne compacte sont reliées aux
propriétés dynamiques du flot géodésique. Dans les cas où ce flot
est fortement chaotique, par exemple sur les variétés de
courbure sectionnelle négative (flot d’Anosov), le théorème d’ergodicité
quantique affirme que presque tous les modes propres sont
équidistribués sur la variété, dans la limite de haute fréquence. La conjecture
d’unique ergodicité quantique affirme que cette équidistribution ne
souffre aucune exception, et concerne tous les modes propres à haute fréquence.

Cette conjecture reste ouverte, mais on peut chercher à contraindre
la possible localisation des modes de haute fréquence. Dans cette
optique, nous montrons que sur les surfaces
compactes de courbure négative, tous les modes
propres sont totalement délocalisés (à défaut d’être
équidistribués), dans le sens où tout ouvert porte une masse L2 bornée
inférieurement, uniformément par rapport à la fréquence.

La preuve de cette délocalisation généralise celle de Dyatlov-Jin (cas
de courbure
constante). Elle conjugue des méthodes d’analyse semiclassique, la
structure du flot géodésique d’Anosov, et un "principe d’incertitude
fractal" récemment montré par
Bourgain-Dyatlov.

Travail en commun avec Semyon Dyatlov et Long Jin