Explications fractales :

Il existe 4 triangles dont les angles sont des multiples de pi/7 (deux sont isoceles et les deux autres sont images mirroir l'un de l'autre), ils sont associes aux partitions [5,1,1], [3,3,1], [4,2,1] et [4,1,2] de l'entier 7.

Il existe une maniere de partager n'importe lequel de ces triangles de facon telle qu'a l'etape n du processus de decoupage, les nombres (n1,n2,n3) de triangles de type donne soient egaux aux nombre de chemins (issus de l'origine) se terminant en des points differents a l'étage numero n du diagramme de Bratteli defini par un carquois du diagramme de Dynkin A6. A ce diagramme de Bratteli est associe une tour d'algebres incluses les unes dans les autres.

En clair : dessiner un segment de droite horizontal, marquer six points de gauche a droite sur ce segment, replier ce segment comme un bandoneon en l'articulant au niveau des points marques ( zig - zag) puis effectuer une reflexion de ce zig-zag par rapport a l'horizontale, et continuer ainsi a l'infini. Une fois qu'on a le diagramme, le remplir avec des entiers, en partant d'en haut a gauche, comme un triangle de Pascal.

A l'etage numero n, on obtient ainsi une algebre M(n1,C)+M(n2,C)+M(n3,C) - une somme directe d'algebres de matrices - qui "approxime", en dimension finie, un sous-facteur dont l'indice de Jones est 4 cos^2 pi/7. L'algebre obtenue a l'etage n agit naturellement sur l'espace vectoriel gradue, indexe par les triangles des differents types. A chaque etape apparaissent 3 entiers (n1,n2,n3) et donc trois triangles, mais il faut distinguer les etapes paires et impaires.

La facon de "decouper" geometriquement un triangle de type donne pour que les entiers (n1,n2,n3) fournis par le decoupage coincide avec les suites de chemins dessines sur la tour des inclusions est, en soi, un petit exercice diophantien non trivial... C'est d'ailleurs la seule vraie difficulte de l'exercice !

Les nombres (n1,n2,n3) donnent aussi la multiplicite des representations irreductibles de dimension quantique non nulle lorsqu'on considere les puissances tensorielles de la fondamentale de la "petite" algebre de Hopf su_q(2), quotient de l'enveloppante quantique du groupe su2 par l'ideal de Hopf engendre par les relations (X+)^7 = (X-)^7 = 0, K^7 = 1. Les dimensions "classiques" de ces representations sont 1,2,3,4,5,6.

C'est facile de voir que la suite commence par {{1,1,1},{2,2,1},{2,4,3},{6,7,3},{6,13,10},..} Sur le dessin, je suis alle - si je me souviens bien - jusqu'a l'etape n = 11. On obtient ainsi n1 = 197 triangles de type [2,2,3] rouges, n2 = 352 triangles de type [1,1,5] jaunes, et n3 = 441 triangles de type [4,1,2], bleus. A moins que tout cela soit ne soit rendu en niveaux de gris !

Par cette methode, on "dissecte" un seul triangle de depart, mais, pour faire plus joli, j'ai decide de fabriquer une etoile a 7 branches en effectuant des rotations successives a partir du triangle fondamental (que j'ai choisi arbitrairement de type [4,2,1]).

Remarque: si on prenait q^5 = 1 au lieu de q^7 = 1, on obtiendrait seulement deux types de triangles, et tous les triangles d'un type donne apparaissant au niveau n seraient non seulement semblables mais isometriques. Chaque petit triangle (inclus dans le grand) coderait alors l'approximation finie d'un pavage de Penrose. Dans le cas present (N=7) le pavage est "fractal" car les differents triangles de type donne sont semblables (memes angles) mais non isometriques.

Les nombres (n1,n2,n3) obtenus sont "associes" avec l'entier 7 de la meme facon que les paires de nombres de Fibonacci successifs (n1,n2) sont "associes" avec l'entier 5.

On peut faire la meme chose pour tout entier, pas seulement pour N=5 ou N=7, evidemment !

Si ca vous... branche, voir le petit article : Triangular dissections, aperiodic tilings and Jones algebras, Advances in Applied Mathematics, Vol 16, pp 402-424, 1995.

Question phyllotaxique: si vous trouvez quelque part une etoile de mer possedant 7 branches, "verrez-vous" les triplets (n1,n2,n3) ?

R.C.