SEMINAIRE MERCREDI 16 JUILLET 2003
14 heures
Salle Séminaire 5
Centre de Physique Théorique
Marseille-Luminy

Olaf Post
Université d'Aix-la Chapelle

Titre: Propriétés spectrales des variétés convergeant vers un graphe

Résumé: (en collaboration avec Pavel Exner, Prague)

Nous considérons des propriétés spectrales d'une famille de variétés
Riemanniennes qui converge vers un graphe par rapport à un paramètre
convenable. On a utilisé de tel modèles depuis longtemps pour calculer le
spectre d'une molécule complexe ou plus récemment pour décrire le mouvement d'une
particule quantique dans un semi-conducteur avec une structure qui ressemble à
un voisinage ouvert d'un graphe dans l'espace Euclidien.

Dans cet exposé, nous considérons une situation plus abstraite. On suppose que
la direction transversale est une variété compacte quelconque. Le paramètre
dejà mentionné décrit le rayon de la variété transversale. On montre que le
spectre du Laplacien sur la variété converge vers le spectre d'un operateur
sur le graphe. Dans le cas d'une contraction uniforme sur toute la variété,
cet opérateur limite est dans un certain sens naturel, c.à.d., parmi les
opérateurs auto-adjoints de second ordre sur le graphe, l'opérateur limite
qui est défini par des conditions au bord de Kirchhoff à chaque sommet est
un choix naturel. Si la contraction est différente autour des sommets et
des arêtes on obtient d'autres opérateurs limites. Ce travail est lié aux
articles de Kuchment-Zeng (2001) et Rubinstein-Schatzman (2001).