SEMINAIRE MERCREDI 29 NOVEMBRE 2006 14 heures Salle Séminaire 5 Centre de Physique Théorique Marseille-Luminy Marc Lefranc Laboratoire de Physique des Lasers, Atomes, Molécules, UFR de Physique des Lasers, Atomes, Molécules Université de Lille 1 Titre: LA TOPOLOGIE DU CHAOS: ÉTIREMENTS, REPLIEMENTS ET ENLACEMENTS Résumé: Si la représention d'un attracteur chaotique dans un espace des phases se reconnaît souvent au premier coup d'oeil, c'est que les trajectoires qu'il contient ne sont pas disposées au hasard mais contraintes par le principe de déterminisme. En effet, ce dernier leur interdit de se croiser en un point, sauf à permettre au point d'intersection d'avoir deux futurs. En dimension trois, cette propriété devient particulièrement intéressante lorsqu'on l'applique aux orbites périodiques instables qui sont plongées dans l'attracteur de manière dense. Associées dans l'espace des phases à des courbes fermées qui ne peuvent se croiser, leur enchevêtrement peut en effet être caractérisé par la théorie des noeuds, les invariants topologiques d'une orbite périodique constituant de véritables empreintes digitales. Or, l'enchevêtrement des orbites périodique montre une organisation systématique, qui est due aux phénomènes d'étirement et de repliement qui façonnent l'attracteur chaotique et tressent les trajectoires périodiques. Cette organisation est décrite par des surfaces à plusieurs branches, des gabarits, telles que toutes les orbites contenues dans le flot peuvent y être projetées sans modifier leurs invariants. Cette propriété est le fondement d'une méthode topologique d'analyse du chaos déterministe, qui procède en extrayant un certain nombre d'orbites périodiques de de signaux expérimentaux, où elles se manifestent par des bouffées de comportement périodique, en calculant leurs invariants topologiques dans un espace des phases recontruit, et en déterminant le gabarit le plus simple compatible avec ces invariants [1]. Cette approche a été utilisée avec succès pour classifier les différents types d'étirement et de repliement d'après la structure topologique du gabarit [2], ou construire des codages symboliques d'attracteurs [3]. Une autre application particulièrement puissante de la théorie des noeuds est le fait que certains types de noeud ne peuvent exister que dans un système chaotique, car ils impliquent une entropie topologique positive, ce qui a été mis à profit pour obtenir des signatures de chaos dans des systèmes non stationnaires [4]. Malheureusement, l'analyse topologique de courbes fermées par la théorie des noeuds n'est définie qu'en dimension trois. Nous avons récemment proposé de baser le formalisme, non sur la contrainte de non intersection, mais sur le concept plus général de conservation de l'orientation. Nous avons pu montrer qu'en dimension trois, cette approche redonne des entropies topologiques identiques à celles fournies par les méthodes usuelles, ce qui permet d'envisager son extension à des espaces de dimensions supérieures [5]. [1] R. Gilmore and M. Lefranc, "The Topology of Chaos" (Wiley, 2002). [2] G. Boulant et al., Phys. Rev. E 55, 3801-3804(R) (1997). [3] J. Plumecoq and M. Lefranc, Physica D 144, 231-258 (2000). [4] A. Amon and M. Lefranc, Phys. Rev. Lett. 92, 094101 (2004). [5] M. Lefranc, Phys. Rev. E 74, 035202(R) (2006)