SEMINAIRE MERCREDI 11 JUIN 2008
14 heures
Salle Séminaire 5
Centre de Physique Théorique
Marseille-Luminy

Valérie Berthé
LIRMM, Montpellier

Titre: Beta-développements purement périodiques

Résumé: L'extension naturelle associée à un système dynamique peut permettre dans de
nombreux exemples une caractérisation des orbites purement périodiques. Considérons
par exemple le cas de la transformation de Gauss pour les fractions continues et le
théorème de Galois. Nous considérons ici le cas de la beta-numération: etant donné
un réel beta plus grand que 1, il s'agit de développer les nombres réels positifs
en base 1/beta. Nous donnons une caractérisation des réels ayant un développement
purement périodique. Il est bien connu que les nombres réels ayant un développement
décimal purement périodique sont les rationnels qui, réduits, ont un dénominateur
premier avec 10. Nous étendons ce résultat aux beta-développements qui ont une base
Pisot. La caractérisation que nous donnons est donnée en termes d'un sous-ensemble
compact d'un produit direct d'espaces euclidiens et p-adiques, appelé fractal de
Rauzy. Nous détaillons les liens entre fractals de Rauzy, pavages apériodiques et
quasi-cristaux.

Il s'agit d'un travail commun mené en collaboration avec S. Akiyama, G. Barat and
Anne Siegel.