ESPACES FIBRÉS

et

CONNEXIONS

Une introduction aux géométries

classiques et quantiques

de la physique théorique

A mes enfants Valérie, Eric et Raphaël

Table des matières

Préface
Introduction
 Modèles mathématiques et réalité
 Du classique au quantique
 Guide de lecture, autocritique et perspectives

1 Variétés différentiables
 1.1 Variétés topologiques
  1.1.1 Définition
  1.1.2 Variétés à bord
  1.1.3 Contre-exemples
 1.2 Variétés différentiables
  1.2.1 Variétés, cartes, atlas
  1.2.2 Atlas maximal
  1.2.3 Variétés et calcul différentiel “intrinsèque”
 1.3 Applications différentiables, difféomorphismes
  1.3.1 Définition
  1.3.2 Difféomorphismes et changements de coordonnées
  1.3.3 Fonctions différentiables
 1.4 Champs de vecteurs
  1.4.1 Notions élémentaires et intuitives
  1.4.2 Vecteurs, espace tangent et champs de vecteurs
  1.4.3 Règle de Leibniz
  1.4.4 Crochet de deux champs de vecteurs
  1.4.5 Repère naturel associé à une carte
  1.4.6 Changement de carte
  1.4.7 Repères mobiles (repères quelconques)
 1.5 Tenseurs et formes extérieures
  1.5.1 Algèbre tensorielle d’un espace vectoriel
  1.5.2 Algèbre extérieure d’un espace vectoriel. Produit extérieur
  1.5.3 Produit intérieur d’une forme par un vecteur
  1.5.4 Transformation du produit extérieur et du produit intérieur par endomorphismes
 1.6 Formes différentielles
  1.6.1 Définition
  1.6.2 La différentielle extérieure d
  1.6.3 L’équation de Maurer-Cartan pour un repère mobile
  1.6.4 Produit intérieur d’une forme par un champ ou vecteurs
 1.7 Application tangente et cotangente
 1.8 Dérivées de Lie
 1.9 Flots
 1.10 Orientation et intégration
  1.10.1 Orientation – Partition de l’unité
 1.11 Variétés riemanniennes (propriétés élémentaires)
 1.12 Divers
  1.12.1 Compléments sur les dérivations d’algèbre
  1.12.2 Cohomologie de De Rham
  1.12.3 Homologie de De Rham
  1.12.4 Espace des p-vecteurs
  1.12.5 Espace des courants de De Rham
  1.12.6 Les algèbres de Frölicher – Nijenhuis et de Nijenhuis–Richardson
2 Groupes de Lie et espaces homogènes
 2.1 Généralités sur les groupes de Lie
  2.1.1 Généralités et définitions élémentaires
  2.1.2 Exemples élémentaires de groupes classiques
 2.2 Généralités sur les algèbres de Lie
  2.2.1 Application exponentielle et algèbres de Lie
  2.2.2 Correspondance entre groupes et algèbres de Lie
  2.2.3 Classification des groupes et algèbres de Lie. Généralités.
  2.2.4 Message
 2.3 Actions de groupes et représentations
  2.3.1 Généralités
  2.3.2 Groupe G opérant à gauche sur un ensemble E
  2.3.3 Action à droite (anti-action)
  2.3.4 Passage de la droite à la gauche (et inversement)
  2.3.5 Orbites, espace quotient
  2.3.6 Efficacité
  2.3.7 Liberté et stabilisateur
  2.3.8 Transitivité
  2.3.9 Action d’un sous-groupe H sur un groupe G, normalisateur, centralisateur
  2.3.10 Stratification
  2.3.11 Remarques
 2.4 Champs de vecteurs fondamentaux
  2.4.1 Cas d’un groupe de Lie agissant sur une variété
  2.4.2 Exemple : le groupe euclidien agissant sur le plan ℝ²
  2.4.3 Un cas particulier fondamental : le groupe G agissant sur lui-même par translations à gauche et à droite
  2.4.4 L’action adjointe de G
  2.4.5 Exemple : l’algèbre de Lie du groupe euclidien
  2.4.6 Exemple : champs invariants sur SU(2)
  2.4.7 Une remarque sur les constantes de structure
  2.4.8 La forme de Maurer-Cartan
 2.5 Représentations
 2.6 Espaces homogènes
 2.7 Algèbres de Clifford et groupes Spin
  2.7.1 Définitions générales
  2.7.2 Le groupe Spin
  2.7.3 Structure des algèbres de Clifford réelles
  2.7.4 La structure des algèbres de Clifford complexes
  2.7.5 Type des représentations
  2.7.6 Spineurs
3 Espaces Fibrés
 3.1 Généralités
  3.1.1 Le langage des fibrés
  3.1.2 Fibrations. Fibrés différentiables localement triviaux
 3.2 Espaces fibrés principaux
  3.2.1 La structure d’espace fibré principal
  3.2.2 Sections locales et trivialisations locales
  3.2.3 Exemple fondamental : le fibré des repères linéaires
  3.2.4 Sous-espace des vecteurs verticaux en un point z d’un espace fibré
  3.2.5 Fibré principal trivial
  3.2.6 Formes basiques, invariantes et horizontales
  3.2.7 Exemples
 3.3 Fibrés associés
  3.3.1 Introduction
  3.3.2 Espaces fibrés associés généraux
  3.3.3 Espaces fibrés en espaces homogènes, associés à un fibré principal de groupe structural G
  3.3.4 Fibration principale relative à un fibré quotient
  3.3.5 Espaces fibrés en … espaces fibrés
  3.3.6 Le fibré adjoint E = AdP
  3.3.7 Le rôle du normalisateur
  3.3.8 Les espaces fibrés vectoriels
  3.3.9 Trivialité des fibrés vectoriels, variétés parallélisables
  3.3.10 Sections de fibrés associés et champs
 3.4 Elargissement et réduction
  3.4.1 Définitions
  3.4.2 Elargissement (passage de H à G avec H ⊂ G)
  3.4.3 Réduction (passage de G à H avec H ⊂ G)
 3.5 Extension et quotient
  3.5.1 Extension (passage de G à ^ G avec G ~ ^ G|H)
  3.5.2 Quotient (passage de G à K avec K ~ G|H, H sous-groupe distingué de G)
 3.6 Groupe des automorphismes. Groupe de jauge
  3.6.1 Remarque terminologique
  3.6.2 Automorphismes verticaux d’un espace fibré principal (définition)
  3.6.3 Ecriture locale des transformations de jauge
  3.6.4 Deux autres définitions des transformations de jauge
  3.6.5 Automorphismes quelconques d’un espace fibré principal
  3.6.6 Action des automorphismes sur les espaces fibrés associés
  3.6.7 Le cas des espaces vectoriels (un cas trivial mais instructif !)
4 Connexions
 4.1 Connexions dans un fibré principal
  4.1.1 Motivations
  4.1.2 Distributions horizontales équivariantes
  4.1.3 Relèvement horizontal
  4.1.4 Forme de connexion
  4.1.5 Ecriture locale de la forme de connexion: le potentiel de jauge
 4.2 Connexions dans les fibrés vectoriels associés
  4.2.1 Matrice de connexion A_jⁱ, coefficients de connexion A _jμⁱ
  4.2.2 Différentielle covariante des sections ∇, dérivée covariante ∇_μ, parallélisme
  4.2.3 Remarques concernant les notations
  4.2.4 Loi de transformation des coefficients de connexion
  4.2.5 Dérivation covariante des sections du fibré dual
  4.2.6 Dérivation covariante dans les puissances tensorielles d’un fibré vectoriel
  4.2.7 L’opérateur D
  4.2.8 Différentielle extérieure covariante d^∇
  4.2.9 Différentielles et dérivées covariantes généralisées ∇
 4.3 Courbure
  4.3.1 Linéarité de (d^∇)²
  4.3.2 Expression de l’opérateur de courbure dans les fibrés vectoriels associes
  4.3.3 Equation de structure pour la courbure
  4.3.4 Identité de Bianchi pour la courbure
  4.3.5 Transformation de jauge pour la courbure
  4.3.6 Forme de connexion, différentielle covariante et courbure dans les fibrés principaux (compléments)
  4.3.7 Ecritures diverses de la courbure F (récapitulatif)
  4.3.8 Connexions et opérations de Cartan
  4.3.9 Groupe d’holonomie d’une connexion, fibré d’holonomie
  4.3.10 Réduction des connexions
 4.4 Cas particulier des connexions linéaires
  4.4.1 Définition et généralités
  4.4.2 Potentiel de jauge et courbure des connexions linéaires
  4.4.3 Différentielle extérieure covariante (cas des connexions linéaires)
  4.4.4 Forme canonique (ou forme de soudure)
  4.4.5 Torsion
  4.4.6 Equation de structure pour la torsion
  4.4.7 Identités de Bianchi pour les connexions linéaires
  4.4.8 Dérivées covariantes secondes, hessien et identités de Ricci
  4.4.9 Tenseur de Ricci
  4.4.10 Courbes autoparallèles
  4.4.11 Connexions linéaires sur les groupes et espaces homogènes
 4.5 Connexions métriques
  4.5.1 La métrique
  4.5.2 Compatibilité avec la métrique
  4.5.3 Calcul des coefficients de connexion
  4.5.4 Compléments sur le tenseur de Riemann. Propriétés de symétrie.
  4.5.5 Equation des géodésiques
  4.5.6 Tenseur de Ricci, courbure scalaire et tenseur d’Einstein, courbures sectionelles
  4.5.7 Dualité de Hodge et laplaciens
  4.5.8 Connexions spinorielles et opérateur de Dirac
  4.5.9 Métriques sur les groupes et espaces homogènes
5 Un saut dans l’infini
  5.0.1 Action du groupe de jauge sur l’espace des connexions
  5.0.2 L’espace des orbites
  5.0.3 Conclusion
6 Calcul différentiel pour algèbres non commutatives
 6.1 Remarques philosophico-mathématiques sur les espaces non commutatifs
 6.2 Calculs différentiels
  6.2.1 Remarques
  6.2.2 L’algèbre différentielle des formes universelles Ω
  6.2.3 L’algèbre différentielle Ω_Der
  6.2.4 Algèbres différentielles pour espaces non connexes
  6.2.5 L’algèbre différentielle Ω_D
 6.3 Excursion au pays des mathématiques non commutatives
  6.3.1 Remarques et présentation générale
  6.3.2 Topologie non commutative et théorie de la mesure non commutative
  6.3.3 Calcul différentiel non commutatif
  6.3.4 Espaces fibrés non commutatifs et modules projectifs
  6.3.5 Connections généralisées en geometrie non commutative
  6.3.6 Cohomologie des espaces non commutatifs
  6.3.7 Remarque finale

Préface

Il est quelquefois plus facile de présenter un livre en disant ce qu’il n’est pas et en dressant une liste des motivations de l’auteur qu’en essayant d’en expliciter le contenu.

Ce livre, bien qu’il contienne un exposé de géométrie différentielle (avec un accent particulier mis sur les groupes de Lie, la théorie des espaces fibrés, la théorie des connexions et la géométrie riemannienne) n’est certainement pas un cours de mathématiques traditionnel. En général les mathématiciens cultivent la précision du style et la concision du discours, alors que l’exposé qui suit essaye de présenter les idées importantes en faisant souvent appel à l’intuition, en effectuant de nombreux retours en arrière et en ne négligeant pas les clins d’oeil à la physique. On peut donc espérer que la lecture de l’ouvrage présent sera un peu moins aride que celle d’un traité traditionnel.

Ce livre n’est pas non plus un cours de physique théorique. Il y manque beaucoup trop d’informations ! Celui ou celle qui souhaite se lancer à la découverte de l’Espace-Temps et déchiffrer certains des mystères de notre univers devrait s’attaquer à de saines lectures (par exemple [5]). L’ouvrage présent ressemble plus à un cours de mathématiques qu’à un cours de physique ; la physique n’est cependant pas absente, au contraire : des idées physiques sont cachées derrière chaque paragraphe, et ce sont elles qui sont, la plupart du temps, à l’origine des notions “abstraites” que nous allons présenter.

Bien qu’il ne s’agisse pas là d’un ouvrage de vulgarisation sur la physique théorique ou les mathématiques, j’ai pourtant rédigé de nombreux paragraphes en pensant à certains de mes amis ayant une culture mathématique relativement modeste mais néanmoins dotés d’un esprit curieux et aimant vagabonder de temps à autres sur des terrains situés au confluent de l’infiniment petit, de l’infiniment grand, des mathématiques et de la métaphysique. Je dois dire, en relisant l’ouvrage après coup, que, de ce point de vue, j’ai peur d’avoir echoué : le contenu présenté ressemble plus à un cours de troisième cycle spécialisé qu‘à un ouvrage de vulgarisation… Cela dit, je pense — et j’espère — qu’à la condition de commencer la lecture à la première page sans essayer de démarrer en plein milieu, l’ouvrage reste accessible à tout lecteur disposant d’un bagage mathématique équivalent à celui qu’on est censé acquérir à l’issue d’un premier cycle universitaire, ou d’une classe de Mathématiques Spéciales. A propos de motivations, je dois aussi signaler que d’autres de mes amis, dotés d’une culture mathématique plus que respectable n’ont malheureusement jamais eu le temps ou la patience de traduire le jargon quelquefois flou des physiciens dans la langue bourbakiste qu’ils affectionnent. Le présent ouvrage, bien que résolument peu bourbakiste dans le style, est également écrit pour eux. Finalement, ce livre est également —et probablement surtout— écrit pour les étudiants en mathématiques ou en physique, mais qu’on ne vienne pas me demander “De quelle année ?” ! En effet, certains des thèmes qui seront abordés peuvent être rencontrés dans un cours de maîtrise de mathématiques (ou de DEA) et on les trouvera souvent incorporés à un enseignement de troisième cycle de physique théorique ou de géométrie différentielle, mais d’autres thèmes, probablement aussi intéressants, et quelquefois même fondamentaux, risquent fort de ne figurer dans le programme d’aucun enseignement universitaire. L’étudiant, physicien ou mathématicien, trouvera peut-être, dans cet ouvrage, ce qu’il cherche (en utilisant l’index et la table des matières) et le non-spécialiste y trouvera peut-être ce qu’il ne cherchait pas…

Enfin, ce livre n’est pas un ouvrage de philosophie ou de métaphysique (Dieu m’en garde !) bien que certaines réflexions de nature éminemment philosophiques ne soient pas absentes des pages qui suivent, surtout dans la section Introduction.

La partie “géométrie différentielle” de ce travail est issue d’un cours de troisième cycle que j’ai eu l’occasion de donner pendant plusieurs années au sein du Diplôme d’Etudes Approfondies (DEA) de Physique Théorique, organisé au Centre de Physique Théorique, à Luminy (Marseille) ainsi qu’en 1997, dans le DEA de Physique Théorique organisé à l’Ecole Normale Supérieure de Lyon. La partie “non commutative” (la dernière section) est un court extrait d’une série de cours que j’ai donnés dans les universités de Rio de Janeiro (URJ, UFRJ et CBPF), de Saragosse et de La Plata ainsi qu’à San Carlos de Bariloche, en 1996 et 1997. L’ouvrage a également servi de support à un cours semestriel de l’IMPA, Rio de Janeiro, en 2012 (Pós-Graduação em Matemática, curso de Doutorado).

Introduction

Modèles mathématiques et réalité

Qu’est ce que la “Réalité” ? Existe-t-elle seulement ? Que signifie le verbe “exister” de la proposition interrogative précédente ? Que le lecteur allergique aux discussions philosophiques se rassure, nous n’allons pas continuer longtemps dans cette direction. Cependant, pour ne pas nous enliser dans de faux problèmes sémantiques et pour bien apprécier en quel sens nous comprenons ou prétendons comprendre les phénomènes naturels (y en a-t-il qui ne le soient pas ?) il nous faut apporter une réponse pragmatique aux questions précédentes et tenter de définir les mots eux-mêmes que nous utilisons.

Le point de vue adopté par l’auteur est le suivant :

∙ Il est impossible de donner une signification quelconque à la phrase suivante : La Réalité est. L’auteur croit cependant en l’existence d’une réalité objective dont la nature est indépendante de l’analyse qui peut en être faite. Malheureusement, il s’avère également impossible de donner un sens raisonnable à l’assertion précédente. La croyance de l’auteur est donc un acte de foi au sens métaphysique du terme. On pourra donc utiliser le mot “phénomène” comme synonyme du mot “réalité”, le vocable en question étant lui-même non défini.

∙ La description d’un phénomène, quel qu’il soit, fait toujours appel aux mathématiques, même si le spectateur n’en est pas conscient. Ainsi, déclarer que deux individus font partie de la même lignée (au sens héréditaire du terme) signifie qu’on assimile –peut être inconsciemment– les individus en question aux éléments d’un ensemble sur lequel on a défini une relation d’ordre partiel. De la même façon, la traversée d’un terrain par un ballon de foot-ball est un phénomène admettant une description (en fait plusieurs) dont la nature est essentiellement mathématique. Par exemple, on peut considérer la trajectoire d’un point traversant un rectangle en ligne droite. Il existe cependant une description du même phénomène ou le ballon n’est plus un point mais une sphère et ou le terrain n’est plus assimilé à un rectangle mais une figure géométrique plus complexe (coins plus ou moins arrondis, côtés plus ou moins parallèles etc.) On peut d’ailleurs continuer dans ce sens et tenir en compte l’existence de creux et de bosses sur la surface du ballon, de la couleur etc. Les humains n’ont pas besoin de suivre des cours de mathématiques supérieures pour apprécier un match de foot-ball, mais il est important de constater l’aptitude de l’esprit à créer inconsciemment des modèles mathématiques relativement élaborés pour analyser l’expérience quotidienne. Notons enfin qu’un phénomène donné possède d’ordinaire plusieurs descriptions mathématiques (et même une infinité).

∙ La croyance en l’existence d’une réalité objective n’a aucune importance pratique ; seule compte l’ensemble de ses descriptions mathématiques. En effet, lors de l’analyse d’un phénomène (la traversée de la cour par un ballon de foot-ball), nous pouvons adopter les deux points de vue suivants. 1) La traversée de la dite cour par le ballon en question est un phénomène “réel” dont nous pouvons donner une quantité de descriptions mathématiques compatibles, et il est d’ailleurs possible de préciser la notion de compatibilité des descriptions. 2) La traversée de la dite cour par le ballon en question est en fait définie par un ensemble (infini) de descriptions mathématiques compatibles. Peu importe que nous adoptions l’un ou l’autre de ces deux points de vue, car si un aspect d’un phénomène n’est pas mathématiquement modèlisable, cet aspect relève –presque par définition– de la métaphysique et il n’est pas clair qu’on puisse y attribuer un sens (même si on a envie de croire sans comprendre). On peut se convaincre du fait que l’exercice classique de méditation sur le thème de la chaise (Quelle est cette chaise ? Quelle est sa fonction ? Quelle est sa nature ? Quelle est son histoire ? etc.) est complètement modèlisable en termes mathématiques...

Pour nous, un phénomène est donc défini par l’ensemble de ses descriptions mathématiques. Du point de vue linguistique, on devrait peut-être distinguer en général le phénomène lui-même (concept assez flou) de sa description mathématique – ou plutôt, de ses descriptions mathématiques. On peut alors parler de modélisation du phénomène, mais il faut bien voir que c’est la modélisation elle-même qui rend le phénomène accessible à l’analyse. Le modèle mathématique, qu’il soit choisi consciemment (par un physicien, par exemple) ou inconsciemment (par exemple, par un spectateur du match) apporte avec lui son propre langage, c’est à dire les mots qui permettent à l’observateur de se poser des questions à propos du phénomène qu’il contemple. Chacun de ces mots est censé être susceptible d’une traduction mathématique précise dans un cadre formel — que l’observateur ne défini pas nécessairement — faute de quoi, les mots en question sont simplement vides de sens. Il faut bien être conscient du fait que la phrase “mais que se passe-t-il vraiment ?” posée par le profane repose sur la croyance en une réalité objective, réalité qui, de notre point de vue, échappe à toute analyse scientifique.

Qu’en est-il donc de la distinction entre physique et mathématiques ? Pour nous, dire qu’une figure dessinée sur une feuille de papier est un triangle, c’est “faire de la physique” : le triangle est une notion abstraite appartenant au monde des mathématiques, associer cette notion au dessin qu’on a sous les yeux est un travail de physicien. Dans un genre différent, supposons qu’on fabrique des “choses” avec un canon à électrons… qu’est ce donc qu’un électron ? On peut dire que c’est une petite boule, on peut dire que c’est une fonction (complexe) –une onde !–, on peut dire que c’est une section d’un certain espace fibré vectoriel (un “champ de Dirac”) ou que c’est un élément d’un module projectif de type fini sur une algèbre non nécessairement commutative… Toutes ces descriptions sont mathématiques et la première (la boule) est la plus simple du point de vue du bagage mathématique utilisé mais toutes ces descriptions sont également “vraies” et apportent avec elles leur propre langage. Il y a des questions qu’on ne peut poser qu’après avoir choisi une certaine description. C’est ainsi que les mathématiques sont nécessaires à la description de ce que nous appelons les phénomènes naturels (conséquence immédiate : si vous avez des difficultés en physique, c’est que vous n’avez pas proprement assimilé les mathématiques nécessaires !). La physique consiste essentiellement à habiller le phénomène de notre choix avec des mathématiques appropriées et c’est cet habillage qui rend les choses accessibles au discours. C’est là quelque chose qu’il ne faut pas oublier mais il faut avouer qu’il est néanmoins commode de vivre en faisant “comme si” on croyait à l’existence d’une réalité objective ! On pourrait aussi passer au cran supérieur et se demander si les mathématiques elles-mêmes “existent”. Il n’est pas clair que la phrase ait un sens mais il est certain que, de la même façon qu’il est commode de croire en l’existence d’une réalité physique objective, il est également commode de croire en l’existence d’une réalité mathématique qu’il s’agit pour nous de découvrir (comme un explorateur dans la jungle ou comme un physicien expérimentateur). Les chapitres qui suivent présentent des concepts mathématiques. Indépendamment de la beauté ou de l’élégance intrinsèque des concepts en question, nous voulons attirer l’attention du lecteur (même s’il n’est pas physicien) sur le fait que ces concepts jouent un rôle majeur dans l’“habillage” contemporain des théories physiques, et que, dans de nombreux cas, ces concepts sont eux-mêmes issus de considérations relevant de la physique théorique.

Du classique au quantique : mathématiques commutatives et non commutatives

Avant d’arrêter là ces considérations épistémologiques pour passer à notre premier chapitre consacré à l’étude des variétés différentiables, nous voulons dire un mot sur la distinction entre physique classique et physique quantique, en parallèle avec la distinction entre “mathématiques commutatives” et “mathématiques non commutatives”. Cette remarque risque de n’être comprise que par les lecteurs ayant déjà une certaine familiarité avec les sujets mentionnés mais le lecteur intéressé pourra peut-être relire ce commentaire en y revenant un peu plus tard. Les mathématiques commutatives (la géométrie commutative en particulier) s’occupe des propriétés mathématiques des “espaces” (théorie de la mesure, espaces topologiques, différentiables, riemanniens, homogènes, possédant une structure de groupe…) Pour le physicien, ces espaces fournissent un modèle mathématique concernant le système qu’il a choisi d’étudier et toutes les quantités qui l’intéressent peuvent être décrites à l’aide d’une classe appropriée de fonctions définies sur de tels espaces. Il se trouve que les propriétés des espaces en question peuvent elles-mêmes être codées en termes des propriétés de ces algèbres de fonctions ; il s’agit là d’un résultat profond dont l’expression précise est due à Gelfand (voir chapitre 6). Le vocable “mathématiques commutative” vient du fait que toutes ces algèbres sont des algèbres commutatives pour les lois d’addition et de multiplication des fonctions. Attention, de ce point de vue, la théorie des groupes de Lie (voir plus loin) –groupes qui ne sont pas, en général, commutatifs– fait partie des “mathématiques commutatives” car l’algèbre des fonctions (à valeurs réelles ou complexes) définie sur un groupe est une algèbre commutative ! Les “mathématiques non commutatives”, au contraire, s’occupent des propriétés d’algèbres qui ne sont pas commutatives et des objets qui généralisent les constructions usuelles lorsqu’on remplace les algèbres de fonctions (et les “espaces” eux-mêmes) par des algèbres d’opérateurs. Les quantités qui intéressent le physicien ne sont plus alors codées par des fonctions numériques mais, typiquement, par des opérateurs agissant dans des espaces hilbertiens. Il est inutile d’en dire plus à ce niveau mais nous effectuerons deux remarques. La première est terminologique : un physicien dit qu’il fait de la physique classique lorsqu’il utilise des mathématiques commutatives pour décrire un phénomène (ce qui, philosophiquement, revient à le définir ! Voir la discussion précédente) et de la physique quantique lorsqu’il utilise des mathématiques non commutatives (idem). La seconde remarque a trait au contenu de cet ouvrage : il traite de géométrie, et la plupart du temps de géométrie utilisée en physique fondamentale, cependant il s’agira presque toujours de géométrie commutative, vocable englobant d’ailleurs toute la géométrie, au sens usuel du terme, qu’elle soit euclidienne ou non. Du point de vue de la physique, nos constructions correspondront donc à des constructions de théorie classique des champs (même s’il nous arrive de parler de quarks ou d’électrons de Dirac) et non de théorie quantique des champs.

Le dernier chapitre est une introduction aux “mathématiques non commutatives” (un point de vue assez particulier sur la théorie des algèbres associatives) et présente quelques notions fondamentales relevant de le géométrie différentielle non commutative. Ce dernier chapitre pourrait donc aussi s’intituler : Introduction à la géométrie quantique.

Guide de lecture, autocritique et perspectives

Le lecteur ne connaissant rien au sujet et désirant “se faire une idée”, peut dans un premier temps, parcourir les sections 1.1, 1.2, 2.1, 2.2.1, ainsi que 3.1, (3.2.1 → 3.2.5), 3.3.1, 3.3.2, (4.1.1 → 4.1.4) et (4.4.1, 5.6.1, 6.1, 6.2.1, 6.3.1) dont le contenu, à peu près exempt de formules, fait appel à l’intuition et ne suppose que très peu de connaissances préalables.

Les autres sections sont assez inégales ; certaines présentent un matériel qui fait ou devrait faire partie du bagage mathématique standard de tout mathématicien ou physicien théoricien, certaines autres sont d’un niveau plus avancé et peuvent contenir des informations qui ne sont pas nécessairement disponibles ailleurs (sauf peut-être dans quelques articles spécialisés). En fait, comme le titre l’indique, le but initial de ce travail était de fournir une présentation — si possible pédagogique — des espaces fibrés et de la théorie des connexions. Il se trouve que certains lecteurs potentiellement intéressés, en particulier les étudiants de troisième cycle de physique théorique, n’ont souvent pas, au départ, les bases mathématiques nécessaires pour attaquer, de front, un cours relativement complet sur les espaces fibrés : il leur manque souvent un cours préalable de calcul différentiel sur les variétés et un cours sur les groupes de Lie. C’est la raison d’être des parties 1 et 2 de cet ouvrage. On a essayé d’y présenter les notions indispensables à la lecture des chapitres 3 et 4 consacrés aux espaces fibrés et à la théorie des connections. Nous suggérons donc à ceux qui ont déjà acquis une formation raisonnable en ce qui concerne les variétés différentiables (par exemple en lisant le premier volume de [13] et les groupes de Lie, de jeter d’abord un coup d’œil au sommaire, puis de sauter les deux premiers chapitres — qui ne leur apprendront sans doute pas grand chose — et d’entamer directement la lecture de cet ouvrage au chapitre 3. Pour les autres… il vaudrait peut-être mieux s’astreindre à lire les différentes parties dans l’ordre. Comme nous l’avons mentionné dans la préface, l’ensemble de l’ouvrage devrait être lisible par quelqu’un ne disposant pas d’un bagage mathématique supérieur à celui qu’on acquiert d’ordinaire, ou qu’on est sensé acquérir, en premier cycle. Son contenu, néanmoins, serait plutôt d’un niveau 3^èmecycle.

Le plan et la structure de ce livre répond à la préoccupation suivante : faire du lecteur un “honnête homme” en géométrie différentielle classique en présentant un certain nombre de notions qui sont fréquemment utilisées en physique théorique ou en mathématiques. Savoir si le but sera atteint est une autre histoire… Enfin, et au risque de faire hurler certains mathématiciens, il nous semble plus important, tout au moins dans un premier temps, de se familiariser avec les idées fondamentales ainsi qu’avec de nombreux exemples, que de connaître le détail de toutes les démonstrations relatives aux propositions et théorèmes cités.

Le style adopté dans ce livre étant volontairement informel, il peut être parfois difficile au lecteur de retrouver la définition précise de tel ou tel concept. Pour cette raison, il peut être utile de consulter l’index situé en fin d’ouvrage, et, bien entendu, la table des matières.

Notre présentation est bien, sur, incomplète. Certains aspects ne sont qu’effleurés, d’autres sont totalement absents et bien qu’il ne s’agisse pas ici, loin s’en faut, d’une tentative encyclopédique, voici quelques têtes de chapitres dont on pourra déplorer l’absence… : compléments de géométrie différentielle élémentaire en basse dimension (la liste serait longue), géométrie symplectique et mécanique, opérateurs différentiels, pseudo-différentiels, symboles etc., étude des équations de Yang-Mills, instantons etc., classification des espaces fibrés, fibrés universels et espaces classifiants, K-théorie, classes caractéristiques (et classes caractéristiques secondaires), géométries sur les groupes de Lie et les espaces homogènes, applications harmoniques, aspects conformes, métriques et connexions invariantes (symétries, isométries), variétés complexes, hypercomplexes etc., géométrie de l’espace des orbites des connexions, géométrie de l’espace des métriques, etc.

Par ailleurs, l’auteur aurait aimé insérer, à la fin de chaque chapitre, une section consacrée aux généralisations des idées rencontrées, lorsqu’on passe de la géométrie commutative à la géométrie non commutative, c’est à dire lorsqu’on passe du classique au quantique ¹ . Il est sans doute dommage de devoir parler au conditionnel passé… mais il fallait bien mettre fin à la rédaction ! De fait, faisant suite à une première version de cet ouvrage, rendue disponible sur Internet, en format html, en mai 1997, la dernière section (section 6), consacrée à une présentation générale des mathématiques non commutatives et au calcul différentiel sur les algèbres non commutatives, a été rajoutée en mars 1998. Ce rajout répond donc, en partie, à la préoccupation mentionnée plus haut.

Bien entendu, toutes les remarques permettant d’améliorer ce document, voire de corriger certaines sections si besoin est, sont les bienvenues : envoyer un courrier à l’auteur ou un courriel à coque at cpt.univ-mrs.fr.

On aura compris que ce livre a été rédigé en français. Certes, il eut été préférable, pour rassembler un plus large lectorat, de rédiger directement l’ouvrage en anglais. L’usage de la langue anglaise, et en particulier la lecture de l’anglais, sont devenus obligatoires dans notre société, et il est certain que l’enseignement de cette langue a fait des progrès considérables en France ; il n’en demeure pas moins que la lecture de textes en anglais, même de textes scientifiques, pose toujours à nos étudiants ainsi qu’à certains de leurs aînés, des difficultés. Il en va d’ailleurs de même pour une vaste partie du monde francophone, où le français n’est parfois qu’une deuxième langue (l’anglais venant en troisiìeme position). Il n’est pas certain que le présent ouvrage devienne un livre de chevet ( !) mais pour faciliter sa lecture sans rajouter une difficulté linguistique, l’auteur a décidé de rédiger ce livre directement en français. Ces notes sont donc dédiées aux étudiants et aux chercheurs de la francophonie, et à tous les esprits curieux qui souhaitent acquérir un certain nombre de notions géométriques des mathématiques contemporaines avant de s’embarquer eux-mêmes dans l’aventure de la recherche, que ce soit en Physique ou en Mathématique, ou qui souhaitent tout simplement satisfaire leur curiosité intellectuelle. Une version anglaise serait la bienvenue mais l’auteur n’a pas eu, jusqu’à présent, le courage de s’atteler à cette tâche.

Disponibilité

L’ensemble du document (sa dernière version) est accessible, via internet, en version html ou pdf sur http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/.

Bibliographie

On trouvera assez peu de références mentionnées dans cet ouvrage. Il existait évidemment la tentation de citer tous les livres traitant, de près ou de loin, de géométrie différentielle, d’espaces fibrés, de connexions, de géométrie riemannienne etc . Un tel effort bibliographique semble évidemment, dès le départ, voué à l’échec. Une autre solution eût été de ne citer que les ouvrages élémentaires. Malheureusement, les ouvrages en question ne recouvrent pas nécessairement tous les sujets qui sont abordés ici. Enfin, on rappelle que la première rédaction de ces notes, avant leur mise à disposition sur internet, date de 1996 ; plusieurs ouvrages d’enseignement sur des sujets voisins sont apparus depuis. L’attitude que nous avons choisi d’adopter est de ne citer que les livres et autres travaux pour lesquels l’auteur a conscience d’avoir subi une influence possible ou certaine. Les documents en question sont assez variés : certains sont des ouvrages de référence, d’autres sont des monographies spécialisées, d’autres encore, des articles de recherche. L’auteur n’a pas cherché à suivre tel ou tel traité et a essayé de rédiger ces notes de façon originale… certains pourront peut-être s’en plaindre ! Tout ceci explique la raison du petit nombre de références, que voici.

Bibliographie

Chapitre 1
Variétés différentiables

1.1 Variétés topologiques

1.1.1 Définition

Une variété topologique est tout d’abord un espace topologique, mais on suppose, de surcroît, que chacun de ses points possède un voisinage homéomorphe à un ouvert de ℝⁿ. On dit alors que cet espace est une variété topologique de dimension n.

Intuitivement, une variété topologique de dimension 2 est un espace qui, localement, c’est à dire si on ne regarde pas trop loin, ressemble à un petit morceau de feuille de papier qu’on aurait pu découper avec des ciseaux après en avoir tracé le pourtour au crayon (on peut d’ailleurs froisser le bout de papier en question). La structure globale de cet espace peut être évidemment assez différente puisque la variété elle-même est obtenue par recollement de tous ces petits morceaux de papier. Ainsi, un pneu de bicyclette, éventuellement dégonflé, plié et “froissé” fournit un exemple d’objet physique qu’on peut modéliser à l’aide d’une variété topologique de dimension 2 : un tore.

1.1.2 Variétés à bord

Les variétés dont il vient d’être question n’ont pas de bord (au sens intuitif du terme). En effet, si nous nous transformons en êtres plats, rampant sur la surface d’un ballon – ou d’un pneu – nous ne sommes jamais arrêtés par une quelconque barrière. Cela ne serait pas le cas si nous nous déplacions sur la surface d’un quartier d’orange ou d’un pneu crevé (nous nous arrêterions au bord du trou !). Sans se transformer en êtres plats, cela ne serait pas le cas non plus si nous nous déplacions à l’intérieur d’une boule fermée. De façon générale, il est possible de fabriquer des “variétés à bord” en effectuant un ou plusieurs trous dans une variété sans bord (à l’aide d’une petite cuillère multi-dimensionelle !) ; la partie enlevée, comme la partie qui reste, devient une variété topologique à bord.

Pour préciser cette notion, il nous faut élargir la définition de variété que nous avons donné plus haut puisque certains des points (ceux du bord) ont un voisinage non pas homéomorphe à un ouvert de ℝⁿ mais à un voisinage de ℝ ₊ⁿ (le fermé de ℝⁿ formé des points dont la dernière composante est positive ou nulle).

Attention : si nous nous promenons dans une boule ouverte, nous ne pourrons jamais atteindre aucun bord... par définition d’une boule ouverte ! Une boule ouverte est une variété sans bord de dimension 3 qui est d’ailleurs homéomorphe à ℝ³. Par contre, une boule fermée est une variété à bord de dimension 3, les points du bords sont ceux de la sphère (une variété de dimension 2) et ils possèdent – dans la boule fermée – des voisinages particuliers. Le disque ouvert (la boule de dimension 2) est aussi une variété sans bord et le disque fermé est une variété à bord (son bord est constitué d’un cercle qu’on peut appeler également “sphère de dimension 1”. Dans le même genre, un intervalle ouvert est une variété sans bord (la boule de dimension 1) et un intervalle fermé est une variété à bord (son bord est constitué de deux points dont la réunion constitue ce qu’on peut appeler la sphère de dimension 0. Les exemples qui précèdent sont généralisables en toutes dimensions.

Terminologie : Si on ne précise pas davantage, une variété topologique est censée être une variété sans bord.

1.1.3 Contre-exemples

La plupart des objets mathématiques auxquels nous avons tendance à penser de prime abord sont des exemples de variétés topologiques (avec ou sans bord), et, pour cette raison, il est bon de donner quelques exemples d’espaces topologiques qui ne sont pas des variétés. Considérez par exemple une croix (réunion de deux segments d’intersection réduite à un point) ; ce n’est pas une variété car le point situé à l’intersection des deux segments possède des voisinages en forme de croix, et une croix n’est jamais homéomorphe à un ouvert de ℝ = ℝ¹. Le globe impérial est un objet qu’on pourrait penser à modéliser mathématiquement par une sphère (variété de dimension 2) sur laquelle on aurait collé une croix (réunion de deux segments) Cet espace n’est pas une variété pour deux raisons. La première vient du point d’intersection des deux branches de la croix (déjà vu) et la deuxième est analogue puisque le point ou on a collé la croix sur la sphère possède des voisinages qui ne sont homéomorphes ni à des ouverts de ℝ¹ ni à des ouverts de ℝ².

Ces derniers exemples ne sont pas des variétés mais sont néanmoins obtenus par recollement de variétés... (CW complexes) Ils ne possèdent pas une dimension déterminée mais ont néanmoins une structure assez simple. On peut cependant faire bien pire... Les exemples d’espaces topologiques qui ne sont pas des variétés abondent (prenez par exemple des espaces topologiques qui ne sont pas de Haussdorf, c’est à dire qui possèdent des points qu’on ne peut pas séparer à l’aide d’ouverts disjoints). Il ne faudrait pas croire que les espaces qui ne sont pas des variétés n’ont pas d’intérêt mathématique ou physique, bien au contraire. En fait, la géométrie non commutative (dont nous ne parlerons pratiquement pas dans cet ouvrage) s’est développée en grande partie pour forger des outils permettant de “calculer” dans de tels espaces, espaces qui sont en fait complètement décrits par des algèbres associatives mais généralement non commutatives… Par ailleurs, on sait que la description mathématique de la mécanique quantique repose sur l’utilisation des algèbres d’opérateurs, ce qui explique la raison pour laquelle les phénomènes physiques relevant de cette mécanique soient si peu intuitifs puisqu’il nous faut, dans ce cas, abandonner nos notions familières de géométrie “commutative”. C’est à l’étude de cette géométrie commutative qu’est consacrée le présent ouvrage. Attention à la terminologie (mise en garde destinée au lecteur trop savant) : l’expression classique des théories de jauge non abéliennes ainsi que l’étude des groupes de Lie (en général non commutatifs), relèvent de la géométrie commutative ! Le calcul différentiel – et la physique classique – se sont développés dans le cadre des variétés et c’est pourquoi nous commençons par là. La structure de variété topologique est d’ailleurs elle-même insuffisante pour pouvoir travailler dans de bonnes conditions : Il nous faudra pouvoir différentier les fonctions un nombre de fois suffisant. Pour ce faire il nous faudra supposer que les variétés (en anglais manifolds) considérées ne sont pas “froissées” : elles doivent être “lisses” (bien repassées !). Ce sont les variétés différentiables (en anglais smooth manifolds).

1.2 Variétés différentiables

1.2.1 Variétés, cartes, atlas

Intuitivement, on peut considérer une variété différentiable comme une variété topologique (voir exemples supra) qui soit “lisse”, c’est à dire sans plis, sans coins etc. Une variété différentiable M de dimension n est donc avant tout une variété topologique. Nous définissons tout s’abord la notion de carte qui généralise la notion usuelle de carte géographique. Une carte consiste en la donnée d’un ouvert U_i de M ainsi que d’une application x : ∈ U_i ⊂ M(x^μ()) ∈ ℝⁿ avec μ ∈{1…n}. Il importe de bien établir une distinction entre le point lui-même et ce qu’on appelle ses coordonnées x^μ() dans la carte choisie. On suppose, de plus, que l’application x est bijective et bi-continue de U_i sur son image.

Mis à part le cas relativement trivial où M est homéomorphe à ℝⁿ, il nous faut plusieurs cartes pour recouvrir la variété M. On appellera atlas (sous-entendu différentiable) la donnée d’un ensemble de cartes (U_i,x) qui recouvrent M c’est à dire telles que ∪_iU_i = M et telles que les changements de cartes ϕ_ij soient des bijections différentiables, ainsi que leurs inverses. Précisons ce dernier point. Supposons que ∈ U_i ∩ U_j ⊂ M, on peut donc représenter par un point x^μ() de ℝⁿ dans la carte (U _i,x) ou par un autre point y^μ() de ℝⁿ dans la carte (U _j,y). On note ϕ_ij le changement de cartes (encore appelé transformation de coordonnées) ; c’est une application de l’ouvert x(U_i) de ℝⁿ dans l’ouvert y(U _j) de ℝⁿ. On sait ce que signifie “différentiable” pour une application de ℝⁿ dans ℝⁿ : les dérivées partielles, par rapport à chacune des variables, doivent exister. On impose donc à ϕ_ij d’être une application différentiable. On lui impose également d’être bijective (donc inversible) et on impose à son inverse ϕ_ji = ϕ_ij^-1 d’être également différentiable. Bien entendu, il faut préciser un peu plus ce qu’on entend par différentiable : suivant qu’on impose aux applications ϕ_ij d’être une seule fois différentiable, r fois différentiables ou infiniment différentiables, on parle d’atlas de classe C¹, C^r ou C^∞. Dans la suite de l’ouvrage et sauf mention explicite du contraire, c’est de classe C^∞ qu’il s’agira. La première façon de définir une variété différentiable est de se donner une variété topologique ainsi qu’un atlas différentiable. Du pont de vue des notations, il n’est pas très commode de faire figurer l’indice i qui se rapporte à la carte, sur le système de coordonnées x ; dans le cas où on en considère deux (par exemple x et y) on écrira les formules de changement de carte (l’application ϕ_ij) sans introduire de nouvelle notation en écrivant simplement y^μ comme une fonction de x^ν, c’est à dire y^μ = y^μ(x^ν).

1.2.2 Atlas maximal

En géographie ordinaire (celle du globe terrestre) il est bien connu qu’il nous faut au moins deux cartes pour décrire la Terre. Par contre, rien ne nous interdit d’en utiliser trois ou plus …. Si on réunit les cartes d’un atlas avec celles d’un atlas différent (concernant la même variété topologique), on peut s’attendre à fabriquer ainsi un atlas plus grand, un peu redondant, certes, mais néanmoins utile. Il faut cependant prendre la précaution d’imposer aux cartes d’être compatibles, c’est à dire telles que les formules de changements de cartes, d’un atlas à l’autre, puissent s’exprimer en terme de transformations différentiables de ℝⁿ. Cette précaution n’est pas inutile et peut conduire à des surprises. Rien ne nous empêche alors de considérer l’ensemble (assez gros il est vrai !) de tous les atlas compatibles possibles d’une variété donnée et de les réunir en un unique atlas maximal. Bien qu’un seul atlas suffise à caractériser complètement la variété, il peut être très utile de considérer la variété M équipée d’un tel atlas maximal contenant toutes les cartes compatibles possibles. En d’autres termes, on peut complètement caractériser une variété différentiable par la donnée d’une variété topologique et d’un atlas maximal. Il se trouve que, dans certains cas, une variété topologique donnée possède plusieurs structures différentiables (plusieurs atlas maximaux distincts). C’est le cas pour ℝ⁴ (le seul, parmi les espaces numériques ℝⁿ à posséder des structures différentiables “exotiques”) et c’est aussi le cas pour les sphères Sⁿ lorsque n ≥ 7. Nous ne nous intéresserons pas à ces phénomènes dans le cadre de cet ouvrage.

1.2.3 Variétés et calcul différentiel “intrinsèque”

En mathématiques élémentaires, on définit souvent les espaces géométriques intéressants (par exemple une sphère) comme sous espace d’un espace affine ℝⁿ. L’idée fondamentale du calcul sur les variétés (calcul différentiel intrinsèque comme on l’appelait autrefois) est de faire abstraction du fait que la variété qui nous intéresse est, ou non, plongée dans un espace ℝⁿ “plus grand” et de développer un calcul qui soit totalement indépendant du plongement en question. Les motivations physiques sont analogues. Par exemple, l’expérience quotidienne nous montre que tout événement de l’univers sensible (whatever it means) peut se décrire à l’aide de quatre nombres spécifiant sa position (trois nombres) et sa date (un nombre). Mais pourquoi supposer, a priori que l’ensemble de ces événements doive être décrit à l’aide d’un un espace ℝ⁴ ? Pourquoi pas une hyper-sphère (ou n’importe quoi d’autre ?) Mais alors, si on décide d’utiliser une hyper-sphère de dimension 4 pour décrire notre espace-temps, ou, comme dans certains modèles cosmologiques, comme le produit d’une hyper-sphère (gonflable) de dimension 3 par une droite ou une demi-droite, pourquoi supposer que notre variété est plongée dans un espace de dimension 5 ou plus dont les points sont sans signification physique ? Puisque c’est possible, autant travailler dans la variété qui nous intéresse sans chercher à en “sortir”.

L’idée la plus fondamentale et la plus simple du calcul différentiel sur les variétés est la suivante. Grâce à l’existence locale des cartes, on peut toujours faire “comme si” on était sur ℝⁿ et développer des outils et des méthodes de calcul sans se soucier – dans un premier temps – de leur globalisation, quitte à vérifier, par la suite, que tout se recolle comme il faut lorsqu’on passe d’une carte à l’autre. C’est ainsi que l’essentiel des notions qui suivent sont en fait des notions qui peuvent être définies dans un espace ℝⁿ et dont la généralisation, au cas des variétés, est quasi-immédiate. Nous ne supposons pas que le lecteur est déjà familier des notions en question ; c’est la raison d’être des paragraphes qui suivent.

1.3 Applications différentiables, difféomorphismes

1.3.1 Définition

Soient M et N deux variétés différentiables de dimensions respectives m et n. Une application différentiable ϕ de M dans N est une application qui peut s’écrire localement à l’aide d’une application différentiable (encore notée ϕ) de ℝ^m dans ℝⁿ. En d’autres termes, si on a Q ∈ N = ϕ(P) avec P ∈ M, alors, grâce au choix de cartes P ∈ U_i ⊂ M → x^μ(P) ∈ ℝ^m et Q ∈ V _i ⊂ N → y^ν(Q) ∈ ℝⁿ, on pourra écrire (et on écrira !) y = ϕ(x) ce qui signifie, en fait y^ν(Q) = ϕ(x^μ(P)). L’ensemble des applications différentiables de M dans N se note C^∞(M,N).

Petite parenthèse sur le problème des notations en mathématiques : Il est important de comprendre la signification de ce qu’on écrit, mais il est (de l’avis de l’auteur) absurde de vouloir que la notation utilisée nous rappelle à tout moment les différents abus d’écriture commis depuis le chapitre 1 du tome 1 de Bourbaki et sans lesquels il n’est pas de calcul possible !

L’application ϕ (celle qui va de M dans N) est donc caractérisée – les cartes étant choisies – par n fonctions différentiables y^ν de m variables x^μ. Il est alors naturel de considérer la matrice jacobienne de cette application, c’est à dire la matrice rectangulaire m × n des dérivées partielles ∂y^ν ∂x^μ. Nous en reparlerons un peu plus tard.

1.3.2 Difféomorphismes et changements de coordonnées

Il existe deux cas particuliers particulièrement intéressants.

Le premier est celui où M et N coïncident. Dans ce cas, il peut se faire que l’application différentiable ϕ soit non seulement différentiable mais encore bijective et que son inverse soit également différentiable. On dit alors que ϕ est un difféomorphisme. Notons qu’une application différentiable est automatiquement continue et que, par conséquent, un difféomorphisme est automatiquement un homéomorphisme. Il est facile de vérifier que l’ensemble des difféomorphismes d’une variété différentiable M constitue un groupe pour la composition des applications. On note ce groupe Diff(M) ⊂ C^∞(M,M) ; c’est un sous groupe de l’ensemble Hom(M) ⊂ C⁰(M,M) des homéomorphismes de M. Notons qu’il existe une correspondance assez subtile entre difféomorphismes d’une part – qui sont des transformations que l’on appelait autrefois “actives” car elles transforment les points de M en d’autres points de M – et changements de coordonnées – qui sont des transformations que l’on appelait autrefois “passives” car elles ne transforment pas les points de M mais résultent seulement d’un changement de carte.

Il est à peu près évident que ces deux notions coïncident dans le cas où M est l’espace ℝⁿ lui-même (muni de la structure différentiable définie par une unique carte canonique, l’application identique). Examinons de plus près le cas général. Les cartes étant elles-mêmes des difféomorphismes locaux entre ouverts de M et ouverts de ℝⁿ, effectuer un changement de carte (changement de système de coordonnées) se traduit par un difféomorphisme local y(x) de ℝⁿ. Par contre, un difféomorphisme de M est, par définition, une notion globale qui se traduit elle-aussi, après choix de cartes, par un difféomorphisme local de ℝⁿ. L’équivalence des points de vue “actifs” et “passifs” n’existe donc que pour ℝⁿ et il semble préférable d’éviter cette terminologie. Une idée physique fondamentale, à la base de la théorie de la relativité générale est que les équations de la physique doivent pouvoir s’écrire de façon tout à fait indépendante de l’observateur, quelle que soit l’état de mouvement de ce dernier. Traduite en termes de coordonnées, ce “Principe de Relativité Générale” a souvent été exprimé de par le passé comme affirmant l’indépendance des lois de la physique par rapport aux changements de systèmes de coordonnées. Une telle affirmation manque de précision, dès lors qu’on travaille sur une variété quelconque et non sur un espace numérique. Il semble d’ailleurs qu’A. Einstein lui-même n’ait jamais pu exprimer correctement ce principe de façon vraiment précise et moderne (cela n’enlève rien à son génie !). Le principe en question peut s’énoncer ainsi : l’espace-temps étant décrit par une variété différentiable, les lois de la physique doivent être invariantes sous l’action du groupe des difféomorphismes de cette variété.

1.3.3 Fonctions différentiables

La deuxième classe de cas particuliers intéressants est celle où l’application différentiable considérée ϕ, de M dans N est définie sur une variété quelconque M, mais ou N coïncide avec l’ensemble ℝ des nombres réels. Les applications différentiables en question sont désignées sous le nom de fonctions différentiables sur M  ; l’utilisation du mot “fonction” est en accord avec les habitudes terminologiques anglaises, où les applications quelconques sont des “maps” , mais où les applications à valeurs réelles (ou complexes) sont des “functions”. L’ensemble des fonctions différentiables sur M se note C^∞(M) = C^∞(M, ℝ).

Remarque : l’ensemble des fonctions différentiables C^∞(M) est une algèbre pour l’addition des fonctions [f + g](x) = f(x) + g(x), la multiplication des fonctions définie (ponctuellement) par [fg](x) = f(x)g(x) et l’opération externe de multiplication par un nombre réel. C’est une sous-algèbre de l’algèbre commutative C⁰(M).

Le lecteur peut s’étonner de la présence et de la signification de l’indice supérieur 0 ou ∞ dans les notations C⁰(M) ou C^∞(M). Cet indice se réfère à l’ordre de différentiabilité supposé des fonctions appartenant à l’ensemble considéré. On pourrait bien entendu considérer des ensembles tels que C^p(M) constitués de fonctions qui sont, au moins, p fois différentiables. Dans la suite de cet ouvrage, cependant, nous nous limiterons aux cas p = 0, c’est à dire les fonctions continues (qui peuvent évidemment être différentiables ou non) et p = ∞, c’est à dire les fonctions infiniment différentiables.

1.4 Champs de vecteurs

1.4.1 Notions élémentaires et intuitives

Avant de donner une définition générale des vecteurs et champs de vecteurs, définition qui pourrait sembler assez abstraite de prime abord, nous souhaitons motiver quelque peu cette définition. Le lecteur est déjà supposé être familier de la notion élémentaire de vecteur, à savoir une classe d’équivalence de bi-points parallèles et de même sens, dans l’espace affine ℝⁿ. Un champ de vecteurs de ℝⁿ, au sens élémentaire du terme, est donc une application qui, à tout point de ℝⁿ – considéré comme espace affine – associe un vecteur de ℝⁿ –considéré comme espace vectoriel. Intuitivement, on a une “flèche” en tout point ; on peut penser à l’exemple du champ des vitesses d’un solide en mouvement, mais on peut aussi penser au champ magnétique en tout point de l’espace, etc. En physique – mais aussi, comme nous allons le voir, en mathématiques – un vecteur peut être considéré comme un “petit déplacement”. Soit M une variété différentiable, f une fonction différentiable ainsi que P et Q deux points de M. Si M était un espace affine (comme ℝⁿ), cela aurait un sens de considérer la différence de Q et de P, puisque cette différence définirait simplement le vecteur = Q - P. On pourrait aussi (mais on peut de toutes façons) considérer la différence f(Q) - f(P) des valeurs prises par f en Q et P. Dans le cas de M = ℝⁿ et lorsque Q (coordonnées x′) tend vers P (coordonnées x), le théorème des accroissement finis (ou celui de Taylor) nous dit que ¹ f(x′) - f(x) = (x′- x)ⁱ∂∕∂xⁱf(x) + … = vⁱ∂∕∂xⁱf(x) + … où les nombres vⁱ = (x′-x)ⁱ ne sont autres que les composantes du vecteur = Q-P dans le repère où P et Q ont des composantes xⁱ et x′ⁱ. Dans le cas des variétés, l’expression (x′- x)ⁱ∂∕∂xⁱf(x) a encore un sens. En effet, choisissons tout d’abord une carte, et notons v la quantité v = vⁱ∂∕∂xⁱ. Si x(P) sont les coordonnées de P dans le domaine de la carte x, on pourra considérer la quantité

1.4.2 Vecteurs, espace tangent et champs de vecteurs

Dans le cas des variétés, il est clair que les vecteurs ne peuvent pas être définis comme des bi-points (ou des classes d’équivalences de bi-points), par contre, rien ne nous empêche d’utiliser leur propriété de machine-à-fabriquer-des-dérivées-partielles pour les définir de façon générale. Dans le domaine d’une carte x, un champ de vecteurs sera donc défini comme un opérateur de différentiation d’ordre 1 à savoir

L’opérateur différentiel d’ordre 1 noté v = vⁱ∂∕∂xⁱ est un champ de vecteurs car les vⁱ sont des fonctions sur M alors que v(P) = vⁱ(P)∂∕∂xⁱ est un vecteur au point P, de composantes vⁱ(P).

En géométrie élémentaire des courbes, la tangente en P à une courbe (différentiable) est définie comme limite des sécantes PQ lorsque Q tends vers P ; cela signifie que les vecteurs tendent vers un vecteur tangent à la courbe. En géométrie des variétés différentiables, on pourrait faire de même, à condition de plonger notre variété (par exemple la sphère usuelle S²) dans un espace plus grand (par exemple ℝ³) et voir ainsi, un vecteur de S² comme un vecteur tangent à la sphère (et donc “sortant” de celle-ci) ; mais une telle contrainte serait précisément contraire à l’idée même du calcul intrinsèque sur les variétés, calcul qui se veut, justement, indépendant de l’existence de plongements possibles. La définition adoptée précédemment est bien indépendante de la présence d’un espace affine ambiant, mais il est néanmoins commode, pour l’intuition, de visualiser nos vecteurs de façon élémentaire et d’adopter une terminologie qui nous rappelle des situations bien connues. Pour ces raisons, un vecteur de la variété M en un point P est souvent appelé vecteur tangent en P, l’ensemble de ces vecteurs se note T(M,P) ou encore T_P M et est désigné sous le nom de espace tangent à M en P ; on a donc un espace tangent en chaque point de la variété. L’ensemble des vecteurs eux-mêmes (tous les vecteurs), se note T(M) ou simplement TM et est appelé l’espace tangent à M ou encore, pour une raison qu’on expliquera ultérieurement le fibré tangent à M (“tangent bundle”). Un élément de TM est donc la donnée (P,u) d’un point de M et d’un vecteur en ce point. Attention, il faut bien distinguer les notions de vecteur en un point et de champs de vecteurs (mais nous allons très souvent oublier cette distinction). L’ensemble des champs de vecteurs se note ΓTM. Notons que cet espace est un espace vectoriel (de dimension infinie), et T(M,P) est un espace vectoriel de dimension n (supposant que M est elle-même de dimension n), alors que TM n’est pas un espace vectoriel du tout (on ne peut pas additionner un vecteur en P avec un vecteur en Q !). On verra que TM, que l’on peut considérer comme une collection d’espaces vectoriels paramètrisés par les points de M, possède la structure d’espace fibré vectoriel (cette structure sera définie et étudiée plus loin). Notons que l’espace TM est lui-même une variété différentiable. Supposons que M soit une variété de dimension n, un point P de M est en effet caractérisé (dans une certaine carte) par n composantes x^μ et un “point” (c’est à dire un élément) de TM consistera en la donnée d’un couple (P,u) ∈ M × T(M,P) c’est à dire 2n nombres (n nombres x^μ et n composantes du vecteur u dans une base choisie de l’espace vectoriel T(M,P). Ainsi TM est une variété de dimension 2n. Intuitivement, on peut se représenter par exemple TS² comme la donnée d’une infinité de plans tangents collés à la sphère ; il s’agit, dans ce cas d’une variété de dimension 4.

1.4.3 Règle de Leibniz

Soit v un champ de vecteurs. Il pourra donc s’écrire localement (c’est à dire dans une certaine carte) v = v^μ∂∕∂x^μ. Si f et g désignent deux fonctions sur M, il est clair que

∈

1.4.4 Crochet de deux champs de vecteurs

Notons que le produit de deux vecteurs n’est pas un vecteur (produit défini par composition de l’action des vecteurs sur les fonctions) mais un opérateur différentiel d’ordre 2. En effet, soient v = v^μ∂∕∂x^μ et w = w^ν∂∕∂x^ν deux champs de vecteurs (attention les v^μ est les w^ν n’ont aucune raison d’être constants dans la carte choisie). Alors, (vw)[f] = v[w[f]] = v[w^ν∂∕∂x^ν[f]] = v^μ∂∕∂x^μ[w^ν∂∕∂x^ν[f]] = v^μ∂∕∂x^μ[w^ν]∂∕∂x^ν[f]+v^μw^ν∂²∕∂x^μ∂x^ν[f] Par contre, le commutateur (notation crochet) de deux champs de vecteurs, défini par

Antisymétrie

1.4.5 Repère naturel associé à une carte

On appelle repère sur U ⊂ M, la donnée, en chaque point P ∈ U, d’une base de l’espace vectoriel tangent en P. Un repère est en général “local”, c’est à dire qu’on n’essaye pas, ou qu’on ne peut pas choisir U = M. Si x^μ(P) désignent les composantes de P dans une carte locale (U,x), on a déjà vu que des vecteurs quelconques en P ou dans un voisinage de P peuvent se décomposer sur les vecteurs ∂∕∂x^μ. En d’autres termes, l’ensemble des

1.4.6 Changement de carte

Soit P ∈ M → y(P) ∈ ℝⁿ un nouveau système de coordonnées. Si x désigne l’ancien système, on notera également y : ℝⁿℝⁿ les fonctions de changement de carte, on écrira donc y(P) = y(x(P)). Le repère naturel associé aux coordonnées x est e_μ = {∂∕∂x^μ}, celui associé aux coordonnées y est e _μ^′ = {∂∕∂y^μ}. Nous savons (depuis le secondaire) comment calculer la dérivée d’une fonction composée, et donc

Il est souvent commode de noter tout simplement ∂_μ les vecteurs du repère naturel {e_μ = ∂∕∂x^μ} associés à la carte x^μ. La décomposition d’un vecteur quelconque v suivant ce repère s’écrit v = v^μ∂ _μ, où les v^μ sont des nombres réels.

1.4.7 Repères mobiles (repères quelconques)

Dans un espace vectoriel, nous savons que les changements de base sont décrits par des matrices “de passage” qui ne sont autres que des matrices inversibles Λ_α^μ quelconques. En géométrie différentielle, nous pouvons bien entendu faire de même, à ceci près que la matrice Λ_α^μ peut maintenant dépendre du point de la variété. En d’autres termes, on a des matrices de passage dont les éléments sont des fonctions sur la variété. Supposons que nous nous trouvons dans le domaine d’une carte et que {∂_μ} désigne le repère naturel associé. Ce repère, au point P, constitue une base de l’espace tangent en P. Mais rien ne nous empêche de choisir une autre base au même point. Si Λ_α^μ désigne une matrice inversible en P, alors la famille de vecteurs {e_α = Λ_α^μ∂ _μ} est une autre base de l’espace tangent T_pM, c’est à dire un repère au point P. Un tel repère est couramment désigné sous le nom de repère mobile. Notons qu’il n’y a aucune raison, a priori, pour que ce repère coïncide avec le repère naturellement associé à une autre carte que celle des x^μ ; pour que cela soit le cas, il faudrait qu’on puisse trouver une solution locale y^α au système d’équations ∂y^α∕∂x^μ = (Λ^-1) _μ^α) où Λ^-1 désigne la matrice inverse de la matrice Λ. Le théorème garantissant l’existence de solutions pour une équation différentielle aux dérivées partielles nous assure seulement l’existence d’une telle solution y^μ(x^ν)) le long d’une ligne, mais pas dans un voisinage ouvert de la variété.

Soit {e_α} un repère mobile. Nous avons déjà vu que le crochet (commutateur) de deux champs de vecteurs est un champ de vecteurs. En particulier [e_α,e_β] est un champ de vecteurs qui, évalué au point P, appartient à l’espace tangent en ce point et peut donc se décomposer sur une base de l’espace tangent en P. On écrira donc

Par ailleurs, on posera souvent ∂_α = e_α même s’il n’existe pas de système de coordonnées {y^α} tel que ∂ _α soit le repère naturel associé. Le lecteur doit donc se méfier de cet abus d’écriture pourtant commode : il est des cas où ∂_α et ∂_β ne commutent pas !

1.5 Tenseurs et formes extérieures sur les espaces vectoriels

Avant de passer au cas des variétés, il convient d’effectuer quelques rappels d’algèbre linéaire puisque le passage du cas vectoriel au cas des variétés s’effectue essentiellement en remplaçant un espace vectoriel unique par une famille d’espaces vectoriels “de même nature”, paramètrisée par les points de la variété.

1.5.1 Algèbre tensorielle d’un espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K. On note E^* son dual, c’est à dire l’ensemble des formes K-linéaires sur E (applications linéaires sur E à valeurs dans le corps de base, qu’on suppose commutatif). En terme de composantes, soit {e_μ} une base de E, et {e^μ} la base duale correspondante de E^*, on a

L’espace vectoriel E de référence étant choisi, on écrira (comme le font toujours les physiciens) les vecteurs de base avec des “indices en bas” et les composantes avec des “indices en haut”. Bien entendu, la convention est opposée pour ce qui concerne l’espace vectoriel dual. Par ailleurs nous adoptons également la “convention d’Einstein”, c’est à dire que nous effectuons toujours une sommation (le signe somme étant sous-entendu) sur les indices répétés, lorsque l’un des indices est en position haute et l’autre en position basse. Nous avons déjà utilisé cette convention dans les sous-sections précédentes. Cette convention allège considérablement l’écriture des formules.

Nous n’adopterons pas, dans cet ouvrage, la notation dyadique chère à Dirac utilisant des bra et des ket car elle est peu usuelle en géométrie mais il est peut-être utile d’y consacrer quelques lignes. Avec cette notation, les éléments d’un certain espace vectoriel E choisi une fois pour toutes sont notés avec des “kets”, par exemple |v⟩ et les éléments du dual avec des “bras”, par exemple ⟨σ|. L’évaluation d’une forme sur un vecteur se note ainsi naturellement sous forme de “bracket” ⟨σ|v⟩. La relation précédente caractérisant la dualité entre une base de E et une base de E^* s’écrira donc

Par contre, la quantité |e_ν⟩⟨e^μ| désigne une application linéaire de E dans E puisque |e_ν⟩⟨e^μ|e _ρ⟩ = |e_ν⟩δ_ρ^μ = |e _ρ⟩. Ainsi, en prenant |v⟩ = v^ρ|e _ρ⟩, on obtient |e_ν⟩⟨e^μ|v⟩ = v^μ|e _ν⟩. Pour les mêmes raisons, l’écriture |v⟩⟨σ| désigne un opérateur (alors que ⟨σ|v⟩ désigne un nombre).

L’identification des vecteurs de E avec des applications de K dans E (à v ∈ E on associe l’application λ ∈ K → λv ∈ E) permet de bien comprendre cette dualité et l’intérêt de la notation dyadique.

Si on se souvient “qui est qui”, et si on fait attention à l’ordre des termes, on peut simplifier les notations à l’extrême et ne noter ni les produits tensoriels, ni les symboles ⟨| ou |⟩. On écrira ainsi parfois de façon un peu provocante les éléments de E sous la forme

L’ordre adopté ci-dessus (le fait d’écrire les composantes —qui sont pourtant des nombres !— à droite des vecteurs, etc) est particulièrement adapté aux généralisations non commutatives de la géométrie différentielle – cela vient du fait qu’en Occident, nous écrivons de gauche à droite !– mais rappelons nous que, bien entendu, en géométrie ordinaire “commutative” (celle qui nous intéresse ici), on peut toujours écrire v = e_μv^μ = v^μe _μ. Un dernier mot de mise en garde : lorsqu’on veut insister sur le fait que le vecteur e_μ désigne une dérivation ∂_μ, il est préférable – pour ne pas se tromper ! – d’écrire les composantes du côté gauche. Il en va de même en géométrie non commutative où champs de vecteurs et dérivations d’algèbre sont de toute façon des concepts différents puisque les premiers forment un module sur l’algèbre associative des “fonctions” alors que les dérivations ne forment un module que sur le centre de cette algèbre. Aucune ambiguïté n’est donc possible dans ce cadre plus général.

On note ⊗ E l’algèbre tensorielle sur E c’est à dire la somme directe ⊕_p=0^∞E^⊗p où E^⊗p désigne la puissance tensorielle d’ordre p de E, c’est à dire encore l’ensemble des applications multilinéaires d’ordre p sur E^*. Soit T ∈ E^⊗p alors on peut écrire

Bien entendu, nous pourrons considérer des tenseurs p-fois contravariants et q-fois covariants (éléments T de E^⊗p ⊗ E^*⊗q) et pour rester cohérents avec nos notations, nous écrirons les produits tensoriels des vecteurs de E à gauche de ceux de E^*, c’est à dire

1.5.2 Algèbre extérieure d’un espace vectoriel. Produit extérieur

On notera Λ^k(E^*) l’espace vectoriel des formes k-linéaires alternées sur E. Rappelons que T ∈ E^*⊗k est alternée lorsque T(v ₁,…,v_i…,v_j,…,v_k) = 0 dès que v_i = v_j,i≠j. Il est équivalent de dire (si le corps de base n’est pas de caractéristique 2) que T est antisymétrique, c’est à dire que T(v₁,…,v_i…,v_j,…,v_k) = -T(v₁,…,v_j…,v_i,…,v_k). On dit aussi que T est une forme extérieure d’ordre k et que Λ(E^*) est l’algèbre extérieure construite sur E^*.

L’antisymétriseur Alt

Le groupe symétrique _k des substitutions sur k éléments opère de façon évidente sur les k-uplets de vecteurs. Soit s ∈_k

Grâce à cette action, on peut définir un opérateur Alt qui projette les tenseurs covariants d’ordre k sur les formes k-linéaires antisymétriques où ϵ désigne la parité de la substitution s. On peut vérifier les propriétés suivantes du projecteur Alt. Tout d’abord, c’est effectivement un projecteur de E^*⊗p sur Λ^p(E^*), par ailleurs, si ω,η et θ désignent trois tenseurs de ⊗ E, alors Alt(Alt(ω ⊗η) ⊗θ) = Alt(ω ⊗Alt(η ⊗θ) et on peut donc écrire cette quantité sous la forme Alt(ω ⊗η ⊗θ). La présence du k! dans la définition de Alt est indispensable pour que la propriété précédente d’associativité soit vérifiée.

Le produit extérieur ∧

Soient ω ∈ Λ^k(E^*) et η ∈ Λ^p(E^*). On définit Le produit extérieur ∧,

Propriétés :

∧ est associatif et distributif à droite et à gauche sur +

aω ∧ η = ω ∧ aη = a(ω ∧ η) avec a ∈ ℝ

ω ∧ η = (-1)^(pk)η ∧ ω En particulier, si ω est impaire, ω ∧ ω = 0

Ces propriétés font de Λ(E^*) = ⊕ _k=0ⁿΛ^k(E^*) une algèbre super-commutative (une algèbre commutative ℤ₂-graduée).

De plus, si ω ∈ Λ^k(E^*), η ∈ Λ^p(E^*) et θ ∈ Λ^q(E^*), alors

La présence des diverses factorielles dans les expressions ci-dessus, aussi bien dans la définition de Alt que dans celle du produit extérieur, disparaît dans bien des cas ; par exemple, le lecteur pourra se convaincre que si {θ^μ} désigne une base de 1-formes, les définitions précédentes conduisent aux expressions suivantes :

et

Il faut signaler ici qu’il existe une autre définition du produit extérieur où les membres de droite des expressions précédentes sont respectivement multipliés par 1∕2! et 1∕3! La définition adoptée ici est telle que si {e_μ} désigne une base de l’espace vectoriel considéré et {θ^μ} la base duale correspondante, nous avons

Dépendance et indépendance linéaire des formes extérieures

Désignons par {θ^μ} _{μ∈{1,2…n}} une base de E^*. Considérons un monôme tel que θ^μ₁ ∧ θ^μ₂ ∧… ∧ θ^μ_k. Par suite de l’antisymétrie du produit extérieur, il est clair qu’une telle expression est nulle dès qu’un vecteur de base est répété deux fois (c’est une autre façon de dire qu’un tenseur complètement antisymétrique est nul dès que deux indices sont répétés). Par ailleurs, deux monômes de ce type qui ne diffèrent que par l’ordre des termes sont soit égaux, soit opposés. On peut donc supposer que les indices sont ordonnés de la façon suivante : 1 ≤ μ₁ < μ₂ < … < μ_k ≤ n. Enfin, il est facile de voir que toute forme extérieure d’ordre k, c’est à dire tout élément de Λ^k(E^*) peut se décomposer sur des monômes de ce type. La dimension de l’espace vectoriel Λ^k(E^*) est donc ( _kⁿ). Bien entendu, lorsque k > n, toute forme extérieure est nulle (deux indices sont alors automatiquement répétés !). La dimension de l’algèbre extérieure est donc Σ_k=0ⁿ _kⁿ = 2ⁿ. Pour conclure ce paragraphe, citons sans démonstration (mais elle est facile) le petit résultat bien utile suivant : Les formes linéaires ω¹,ω²,…,ω^p sont indépendantes si et seulement si leur produit extérieur ω¹ ∧ ω² ∧… ∧ ω^p est non nul.

Ecriture des formes extérieures

Une forme extérieure ω d’ordre k peut s’écrire de trois façons possibles. Tout d’abord, on peut la considérer comme un tenseur k fois covariant, et , à ce titre, on peut la décomposer (existence et unicité) sur la base des tenseurs d’ordre k. On peut donc écrire

On peut aussi la décomposer sur la base des formes extérieures θ^μ₁ ∧ θ^μ₂ ∧… ∧ θ^μ_k, à condition d’ordonner les indices (sinon, la famille précédente est génératrice mais n’est pas libre et donc n’est pas une base !).

La deuxième égalité utilise une notation |…| qui signifie que non seulement on utilise la convention d’Einstein (sommation sur les indices répétés) mais qu’on décide d’ordonner les indices.

La troisième écriture — de loin, la plus utilisée — est celle où on décompose la forme ω (toujours la même) sur la famille génératrice des formes extérieures θ^μ₁ ∧θ^μ₁ ∧…∧θ^μ_k mais sans ordonner les indices ! Bien entendu, pour un ensemble d’indices donnés (pour un ensemble de vecteurs de base donné), k! des monômes précédents vont être égaux (ou opposés) et il faudra “corriger” le développement de ω en rajoutant un 1∕k! devant l’expression. Ainsi donc,

Notons que la première écriture contient n^k termes (et il y a unicité de la décomposition), la seconde contient n! ____ k!(n-k)! termes (et il y a unicité de la décomposition), la troisième contient n^k termes (mais il n’y a pas unicité de la décomposition). Il est quelquefois utile, pour alléger les notations, d’introduire des multi-indices M = (μ₁μ₂…μ_k). Alors, les deux décompositions précédentes s’écrivent

1.5.3 Produit intérieur d’une forme par un vecteur

Soit E un espace vectoriel et Λ(E^*) l’algèbre extérieure sur son dual. Nous avons défini précédemment le produit extérieur, qui est une loi de composition interne à l’algèbre extérieure. Au contraire, l’opération que nous allons maintenant définir, le produit intérieur n’est pas un produit au sens usuel du terme, en effet, il associe, à la donnée d’une forme extérieure ω d’ordre k (un élément de Λ^k(E^*)) et d’un vecteur v (un élément de E) une autre forme différentielle, mais maintenant d’ordre k - 1, c’est à dire un élément de Λ^k-1(E^*). Cette nouvelle forme est simplement obtenue en “contractant” ω et v, plus précisément, en écrivant

Il résulte de l’antisymétrie des formes extérieures que deux opérations i_v et i_w anticommutent, en particulier, le carré de l’opération i_v est nul :i_vi_wω = -i_wi_vω et i_vi_vω = 0, ce qu’on écrit simplement

1.5.4 Transformation du produit extérieur et du produit intérieur par endomorphismes

Soit f_~ un endomorphisme de l’espace vectoriel E et soit f^~ l’endomorphisme dual (aussi appelé transposé). Rappelons ce que cela signifie : f_~ est une application linéaire de E dans E et f^~ est une application linéaire du dual E^* dans lui-même définie comme suit : soient v ∈ E et θ ∈ E^*, alors f^~(θ)(v) = θ(f _~(v)), c’est à dire encore f^~(θ) = θof _~. On peut alors vérifier aisément que

1.6 Formes différentielles

1.6.1 Définition

Nous avons déjà défini la notion de vecteur au point P d’une variété différentiable M ainsi que la notion de champ de vecteurs. L’ensemble des vecteurs au point P se notant T_P M, l’ensemble de tous les vecteurs (le fibré tangent) se notant TM et l’ensemble des champs de vecteurs se notant ΓTM, on obtient, par dualité, les notions qui suivent. Tout d’abord l’espace vectoriel dual de T_P M se note T_P ^*M ; ses éléments sont donc des formes extérieures de degré 1, ou plus simplement, des “1-formes” . L’ensemble T^*M, baptisé fibré cotangent, est l’ensemble de toutes les 1-formes, lorsque le point P décrit M, c’est-à-dire T^*M = ∪ _p∈MT_P ^*M.

Une forme différentielle (en degré un) est tout simplement un champ de formes extérieures, c’est-à-dire une application qui à tout point P ∈ M associe une forme extérieure en ce point. Nous verrons un peu plus loin la raison d’être de cette terminologie. L’ensemble des formes différentielles de degré 1 peut se noter ΓT^*M ou Ω¹M.

Toutes les constructions algébriques du paragraphe précédent (tenseurs et formes extérieures sur un espace vectoriel) sont en particulier valables ici puisqu’on peut choisir comme espace vectoriel, l’espace vectoriel tangent au point P, c’est-à-dire T_P M. Les tenseurs p fois contravariants, q fois covariants au point P sont donc des éléments de (T_P M)^⊗p ⊗ (T _P ^*M)^⊗q. Si on considère tous les tenseurs de ce type (c’est-à-dire qu’on effectue la réunion de ces espaces lorsque P décrit M) on obtient (TM)^⊗p ⊗ (T^*M)^⊗q et on peut bien entendu considérer des champs de tenseurs de ce type, dont l’ensemble constitue Γ(TM)^⊗p ⊗ (T^*M)^⊗q.

Le cas particulier des tenseurs complètement antisymétriques est particulièrement intéressant. On notera Λ(T_P M)^* = ⊕ _kΛ^k(T _P M)^* l’algèbre extérieure sur le dual de l’espace vectoriel T_P M et Λ(T^*M) = ∪ _p∈MΛ(T_P M)^*.

Les formes différentielles de degré q sont des “sections” de Λ^q(T^*M) c’est-à-dire des champs de formes extérieures de degré q. Leur ensemble peut se noter, bien entendu, ΓΛ^q(T^*M). Lorsque q = 1, on a Λ¹(T^*M) = T^*M. Pour alléger la notation, on décide de poser Ω^q(M) = ΓΛ^q(T^*M). On sait que q ne peut pas être trop grand ; plus précisément 0 ≤ q ≤ n avec n = dim M. Attention, ne pas confondre la dimensionalité de Λ(T_P M)^* – qui est 2ⁿ – et celle de ΩM = ⊕_q=0ⁿΩ^qM, qui est infinie. Notons que les éléments de Ω^∘M sont simplement les fonctions sur M c’est-à-dire Ω⁰M = C^∞(M). Nous avons déjà étudié les propriétés du produit extérieur et il n’y a rien à rajouter ici : le produit extérieur α ∧ β de deux formes différentielles α et β est obtenu en “globalisant” la définition déjà connue pour chaque point P de M.

ΩM, munie des opérations de multiplication par un scalaire, d’addition et de produit extérieur, devient ainsi une algèbre. Cette algèbre n’est pas commutative mais elle est commutative graduée puisque α∧β = (-1)^#α#ββ ∧α où #α désigne le degré de α. On appelle cette algèbre algèbre de De Rham des formes différentielles.

Pour ce qui est de l’écriture locale d’une forme différentielle, il n’y a pas grand-chose à rajouter non plus puisque nous savons déjà décomposer une forme extérieure sur une base de l’espace vectoriel T_P ^*M. Le seul problème qui se pose est de savoir comment la base en question varie avec le point P.

Soient x^μ(P) les coordonnées de P dans une carte locale. On sait que l’ensemble des vecteurs e_μ = ∂ __ ∂x^μ fournit le repère naturel associé à cette carte, c’est-à-dire que {e_μ} est une base de l’espace tangent en tout point d’un voisinage de P.

On désignera par {dx^μ} la base duale correspondante et on écrira avec des indices “en haut” {e^μ = dx^μ}. On peut, si on veut, “visualiser” dx^μ par “un petit accroissement” , mais ceci présente un intérêt purement psychologique ; en effet dx^μ est défini par dualité et donc par la relation ⟨dx^μ,  ∂__ ∂x^ν⟩ = δ_ν^μ. De la même façon qu’on avait un repère naturel associé aux coordonnées x^μ, on a donc aussi un corepère naturel {dx^μ}.

Dans le cas de l’espace tangent, nous avons défini la notion de repère mobile {e_α} (qui était issu de ∂ __ ∂x^μ par changement de base arbitraire), nous aurons donc aussi un corepère mobile {e^α} défini, en chaque point P de la carte, comme la base duale de {e_α}, c’est-à-dire ⟨e^α, e _β⟩ = δ_β^α.

Venons-en maintenant à la notion de différentielle proprement dite. Pour ce qui est des fonctions (0-formes), on pose bien entendu

La 1-forme df peut être évaluée sur le champ de vecteurs v = v^μ ∂ __ ∂x^μ. On obtient

La règle de Leibniz usuelle pour la différentielle d’un produit de deux fonctions, à savoir

Nous allons généraliser aussi bien la définition de d que la règle de Leibniz à des formes différentielles de degré supérieur.

1.6.2 La différentielle extérieure d

Soit ω une k-forme différentielle ; on va définir un opérateur d qui, appliqué à ω, crée une (k + 1)-forme. Cet opérateur est désigné sous le nom de différentielle extérieure ou différentielle de De Rham.

Définition 1. La forme différentielle dω peut se définir directement par son action sur tout (k + 1)-uplet {v₁,v₂,…,v_k+1} de champs de vecteurs, en posant

Cette définition possède un intérêt pratique certain. Pour se rappeler des signes, on peut signaler le moyen mnémotechnique suivant : le premier type de termes s’obtient en faisant passer les vecteurs v_i devant ω et en comptant un signe “-” chaque fois que v_i “traverse” un des autres vecteurs ; le second type de terme s’obtient en choisissant une paire v_i,v_j et en la faisant passer en position 1 et 2 de la forme ω, tout en utilisant l’antisymétrie de ω lorsqu’on effectue des transpositions. On remplace alors la paire (v_i,v_j) par son crochet [v_i,v_j] et on multiplie le tout par un signe -1.

Exemple 1 : Soit f une 0-forme, c’est à dire une fonction sur M. La définition ci-dessus conduit à

Exemple 2 : Soit ω, une 1-forme, alors

Le lecteur aura reconnu, dans le cas de la dimension 4, l’expression du champ électromagnétique (le tenseur F ) en terme du (quadri) potentiel vecteur ω. Soit dit en passant, il faut incorporer le troisième terme (l’évaluation de ω sur le commutateur [u,v]) lorsqu’on veut exprimer le champ F = dω dans un repère quelconque.

Exemple 3 : Soit ω, une 2-forme, alors

En utilisant la définition de d, donnée ci-dessus, on montre immédiatement que, si ω₁ ∈ Ω^k₁ et ω ₂ ∈ Ω^k₂, alors

De la même façon, on montre que

Les deux propriétés ci-dessus sont absolument fondamentales et peuvent même servir à définir l’opérateur d lui même.

Définition 2. d est l’unique opérateur (application linéaire) de Ω^kM dans Ω^k+1M tel que, pour tout k, ω ₁ ∈ Ω^k₁, ω ₂ ∈ Ω^k₂, k = k ₁ + k₂, on ait d(ω₁ ∧ ω₂) = dω₁ ∧ ω₂ + (-1)^k₁ω ₁ ∧ dω₂ et d² = 0. En d’autre terme d étend la définition usuelle de différentiation des fonctions en une dérivation graduée de carré nul de l’algèbre ΩM. En physique, si ω désigne le quadri-potentiel vecteur, alors, F = dω obéit automatiquement à l’équation dF = 0, puisque d² = 0. Ceci nous donne donc la moitié des équations de Maxwell (les équations sans source).

Il existe une troisième définition possible de l’opérateur d, définition qui est également d’un intérêt pratique certain. La voici :

Définition 3. Relativement à un choix de coordonnées on peut écrire ω = ω_Idx^I, où I est un multi-indice et ω_I est une 0-forme, c’est-à-dire une fonction. On définit d’abord d sur les fonctions dω_I = ∂ω_I ∂x^μdx^μ. Ensuite, plus généralement, on pose dω = dω_I ∧ dx^I.

Nous venons de voir trois définitions équivalentes possibles de l’opérateur d. Toutes les trois sont utiles et nous laissons au lecteur le soin de démontrer l’équivalence des définitions.

Terminons par un petit calcul élémentaire (clin d’œil au cours d’électromagnétisme). Soit A = A_μdx^μ une 1-forme (le quadri-potentiel vecteur). Le champ de Maxwell est défini par

Ainsi

1.6.3 L’équation de Maurer-Cartan pour un repère mobile

Soit {e_α} un repère mobile et f_βγ^α les fonctions de structure correspondantes, c’est-à-dire que ce repère vérifie l’équation de structure : [e_β,e_γ] = f_βγ^αe _α.

Soit {e^α} le co-repère mobile correspondant défini, comme on l’a vu, par dualité. Le co-repère vérifie également une équation de structure (souvent désignée sous le nom d’équation de Maurer-Cartan)

D’autre part

1.6.4 Produit intérieur d’une forme par un champ ou vecteurs

Cette opération généralise celle étudiée précédemment (produit intérieur d’une forme extérieure par un vecteur). On associe, à une k forme ω et un vecteur v une k - 1 forme notée i_vω. La définition en est très simple : pour une 1-forme, c’est tout simplement l’évaluation. C’est-à-dire i_vω = ω(v) = ⟨ω,v⟩. Pour une k-forme, on généralise simplement en contractant l’indice du vecteur v avec le premier indice de la forme ω ; en d’autres termes (et sans utiliser d’indices) i_vω est la k - 1 forme définie par

1.7 Application tangente et cotangente

Soit f un difféomorphisme de la variété M, ou, plus généralement, une application différentiable de M (de dimension m) dans N (de dimension n). En coordonnées locales, f s’écrit à l’aide de n fonctions f^α de m variables y^α = f^α(x^μ). La matrice jacobienne de cette application est la matrice (n,m) des éléments ∂y^α∕∂x^μ. Une telle matrice définit une application linéaire de l’espace vectoriel tangent à M au point P dans l’espace tangent à N au point f(P). Soit {∂_μ} un repère naturel de M défini dans un voisinage de P et {∂_α} un repère naturel de N défini dans un voisinage de f(P). Soit v ∈ T_P (M), on peut écrire v = v^μ∂ _μ. On obtient un vecteur w ∈ T_f(P)(N) en écrivant w = w^α∂ _α avec

Cette application, dite application linéaire tangente (ou “push forward”) se note, suivant les auteurs f_*, Tf, f_~, ou même et on dit que w = (v) est l’image directe de v. On peut bien entendu définir directement sans utiliser de systèmes coordonnés. De façon générale, à toute application différentiable f : M → N, on associe une application linéaire tangente : TM → TN, et si v ∈ T_P M, alors [v] ∈ T_f(P)M. Remarque : on peut toujours prendre l’image d’un vecteur tangent par l’application tangente, mais l’image d’un champ de vecteurs v sur M ne définit pas nécessairement un champ de vecteur sur N ; d’une part, en effet, rien ne prouve qu’un point Q quelconque de N soit nécessairement dans l’image de f, et par ailleurs, même si f est surjective, rien ne dit, dans le cas où deux points distincts P₁ et P₂ seraient tels que f(P₁) = f(P₂) que l’image par du vecteur v(P₁) coïncide avec l’image par du vecteur v(P₂). En fait, pour une application differentiable surjective f : M → N donnée, il est commode d’introduire la notion de champ de vecteurs projetable  : v ∈ Γ(TM) est dit projetable (par f) si, pour tout Q ∈ N et pour toute paire (P₁,P₂) de points de M tels que Q = f(P₁) = f(P₂) on ait [v(P₁)] = [v(P₂)] ; dans ce cas on obtient bien un champ de vecteur sur N. La même matrice jacobienne (∂y^α∕∂x^μ) définit également une application linéaire de l’espace cotangent à N au point f(P) dans l’espace cotangent à M au point P. En effet, soit τ ∈ T_f(P)^*N, alors τ = τ _αdy^α. L’image de la forme τ est la forme σ ∈ T_P ^*M, avec σ = σ _μdx^μ et

Cette application, qu’on pourrait appeler application linéaire cotangente , (ou “pull back”) et noter f^*, T^*f, f^~, ou même n’est donc autre que la transposée de l’application linéaire tangente au point P ∈ M : elle envoie les co-vecteurs de N au point f(P) (i.e. les 1-formes de N au point f(P) ) dans les co-vecteurs de M au point P. Si τ ∈ T_f(P)^*N, alors (τ) = τ ∘ ∈ T_P ^*M. Cette application de T _f(P)^*N dans T _P ^*M ne peut manifestement pas, en général, se généraliser à une application de T^*N dans T^*M ; la situation n’est donc pas tout à fait analogue à celle de l’application tangente, qui, elle, est bien définie, comme application de TM dans TN. Par contre, si ω est une 1-forme differentielle sur N, c’est à dire un champ de co-vecteurs, on peut toujours considérer son image par  ; en effet, dans ce cas, si v est un vecteur quelconque en P ∈ M, alors (P) est un vecteur en Q = f(P) ∈ N et le nombre ω_Q[(P)] est bien défini. On obtient ainsi une 1-forme differentielle sur M qu’on notera f^*ω ou (ω). On l’appelle en général “pull back” de ω par f. Quelques remarques sur les notations : on peut trouver commode d’utiliser de nouveau le symbole df et d’écrire tout simplement (en un point P donné, non explicitement indiqué par la notation)

La notation suivante est également très commode :

Si on choisit un repère mobile e = Λ^β∂ _β dans N et un co-repère mobile e = L _νdx^ν dans M, on pourra écrire également

Nous venons de voir que les 1-formes de N peuvent être “rappelées” sur M à l’aide de  :

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer les propriétés suivantes :

1.8 Dérivées de Lie

La notion usuelle de dérivée d’une fonction numérique f nous permet de préciser la notion de variation locale de cette fonction lorsque son argument croît ou décroît. Lorsque l’argument se déplace sur une variété de dimension supérieure à 1, la variation ne sera définie que si on précise dans quelle direction se déplace le point (l’argument). En d’autres termes, la généralisation de la notion de dérivée invoque obligatoirement la notion de vecteur tangent. La dérivée d’une fonction f : M → ℝ par rapport à un champ de vecteurs X se note L_Xf et est tout simplement définie par l’égalité

Cette notion de dérivée se généralise au cas où f n’est plus une fonction sur M à valeurs réelles mais un champ t de tenseurs quelconques (ou même, comme on le verra plus tard, une section d’un fibré quelconque au-dessus de M). On a envie de donner un sens à la limite de t(x+ϵX)-t(x) ϵ lorsque ϵ tend vers 0. La quantité correspondante se note toujours L_Xt et s’appelle dérivée de Lie du tenseur t par rapport au champ de vecteurs X. C’est un tenseur de même type que t. On veut que L_X soit une dérivation de l’algèbre tensorielle, c’est-à-dire qu’on impose

Le cas particulier où ω est une 1-forme se retrouve aussi aisément. Notons que, dans ce dernier cas, si e_μ et e^μ désignent deux repères duaux l’un de l’autre (un repère mobile et le co-repère mobile dual), on a

Dans le cas des formes, la définition de la dérivée de Lie implique immédiatement que L_X commute avec d (car d² = 0), ainsi qu’avec i _X (puisque i_vi_v = 0), et que, par ailleurs

Enfin, si f est une application différentiable et ω une forme différentielle, on voit que

Nous terminons ce paragraphe en montrant que la dérivée de Lie du tenseur de Kronecker δ = e_μ ⊗ e^μ est nulle dans toutes les directions. En effet

1.9 Flots

Un flot sur la variété M est un sous-groupe differentiable à un paramètre {ϕ_t} de difféomorphismes de M : on suppose que pour tout t réel, l’application t ∈ ℝϕ_t ∈ Diff(M) est un homomorphisme de groupe et que l’application (t,P) ∈ ℝ × Mϕ_t(P) ∈ M est différentiable.

La trajectoire du flot aussi appelée courbe intégrale du flot passant par le point P ∈ M est la courbe tϕ_t(P). L’application linéaire tangente à cette courbe associe au vecteur unité 1 de R (identifié avec son espace tangent en 0) un vecteur tangent en Q = ϕ_t(P) ∈ T(M,Q). Ce vecteur tangent en Q ne dépend que du flot. En effet, les propriétés d’homomorphisme ϕ_t1+t2 = ϕ_t1 ∘ ϕ_t2, et de bijectivité de ϕ_f , montrent que si deux trajectoires passent par le même point Q, c’est à dire si ϕ_t(P₁) = ϕ_t2(P₂), avec t ≥ t₂ par exemple, on peut poser t₁ = t-t₂ et P₂ = ϕ_t1(P₁), ce qui montre que les vecteurs tangents en Q à ces deux trajectoires coïncident. Le vecteur tangent obtenu, notons le X(Q), définit un champ de vecteurs X quelquefois désigné sous le nom de champ des vitesses du flot.

Puisque le flot choisi définit un champ des vitesses, il définit également une dérivée de Lie par rapport à ce champ de vecteurs.

On peut démontrer qu’inversement, un champ de vecteurs sur une variété définit un flot local, c’est à dire qu’il ne sera en général défini que sur un ouvert strictement inclus dans ℝ × M ; si cette inclusion devient une égalité, le champ de vecteur est dit “complet” et il engendre un flot : les diffeomorphismes ϕ_t sont alors définis quel que soit t.

1.10 Orientation – Elément de volume
Déterminant – Intégration

En géométrie élémentaire, l’orientation d’un espace vectoriel réel est spécifiée par le choix d’une base (choix ordonné d’un système libre et générateur). Le choix d’une autre base ′ détermine un isomorphisme g qui envoie les vecteurs de sur les vecteurs de ′. On dit que g préserve l’orientation si det g > 0 et renverse l’orientation si det g < 0. Dans le premier cas on dit que et ′ ont la même orientation ; dans le second cas, et ′ ont des orientations opposées. On peut alors répartir les bases de l’espace vectoriel en question en deux classes d’équivalence correspondant aux deux orientations possibles. Afin de généraliser cette discussion au cadre des variétés, il est utile de reformuler ce qui précède en terme de formes extérieures. Nous allons donc travailler avec les bases duales et poser e^μ′ = f(e^μ).

Soit ^* = {e¹,e²,…,eⁿ} et ω = e¹ ∧ e² ∧∧ eⁿ.

Soit ′^* = {e^1′,e^2′,…,e^n′} avec e^μ′ = f(e^μ) et ω′ = f(e¹) ∧ f(e²) ∧∧ f(eⁿ). L’espace des formes extérieures de degré n sur un espace vectoriel de dimension n est un espace vectoriel de dimension 1. Les formes ω et ω′ sont donc proportionnelles et le coefficient de proportionnalité n’est autre que le déterminant de f : ω′ = (det f)ω. Nous laissons au lecteur le soin de retrouver la définition élémentaire des déterminants en écrivant e^μ′ = Λ _μ^μ′e^μ.

L’orientation de l’espace vectoriel qui était définie par le choix de peut tout aussi bien se définir par le choix de la n-forme ω. Deux n-formes ω et ω′ (obligatoirement proportionnelles) définissent la même orientation si le coefficient de proportionnalité est positif et deux orientations de sens contraire si le coefficient en question est négatif. Nous pouvons maintenant passer au cas des variétés. Nous venons de voir que l’orientation, en chaque point P de M, de l’espace tangent T_P M, est équivalente au (ou définie par le) choix d’une n-forme extérieure en ce point. On pourrait donc naïvement penser que, pour définir une orientation globale de la variété M, il suffit de choisir une n-forme différentiable ω. Le problème est que, si ω s’annule en un point, l’orientation cesse d’être définie en ce point ! Pour pouvoir parler d’orientation de façon globale, il faut donc qu’il soit possible de choisir une n-forme différentielle sur M qui ne s’annule nulle part. Ceci n’est pas toujours possible : on dit que la variété est orientable ou non orientable suivant les cas. Tout le monde connaît l’exemple fameux du ruban de Moebius ou de la bouteille de Klein.

On appelle “élément de volume” sur M le choix d’une n-forme ω sur M qui ne s’annule nulle part (ce qui suppose, par définition, que M soit orientable). On note [ω] l’ensemble des éléments de volume proportionnels à ω, avec un coefficient de proportionnalité positif et [-ω] l’ensemble des éléments de volume proportionnels à ω, avec un coefficient de proportionnalité négatif. Une variété orientable possède donc deux orientations possibles, l’une quelconque d’entre elles étant caractérisée par le choix d’un élément de volume appartenant à l’une des deux classes possibles. Soient maintenant M et N deux variétés différentiables de même dimension n et f un difféomorphisme de M dans N ; on suppose M et N orientables et orientées par le choix des éléments de volume ω_M et ω_N. On dit que f préserve l’orientation si et seulement si (ω_N) ∈ [ω_M] et renverse l’orientation si (ω_N) ∈ [-ω_M].

1.10.1 Orientation – Partition de l’unité

Notre but, dans ce paragraphe, est d’introduire la notion d’intégration des formes différentielles. Comme d’habitude, on va commencer par définir cette notion pour l’espace numérique ℝⁿ, puis, grâce à un système de cartes, on va pouvoir généraliser la construction au cas des variétés. On suppose le lecteur familier avec la notion d’intégrale (de Riemann) sur ℝⁿ. Soit f une fonction (numérique) c’est-à-dire une fonction – que nous supposons différentiable – de ℝⁿ à valeurs réelles. Nous supposons, de plus, que f est à support compact. Son intégrale est notée ∫ _ℝⁿf ou ∫ _ℝⁿf(x)dⁿx, comme d’habitude. Choisissons maintenant une orientation sur ℝⁿ et considérons la n-forme

Notre étude générale des formes différentielles implique en particulier

L’orientation étant choisie une fois pour toutes, on note ∫ _M et non plus ∫ _[M] l’intégrale correspondante. Il reste alors à démontrer que la définition adoptée ne dépend pas des cartes choisies. . .

On appelle élément de volume sur M (de dimension n) ou forme volume un élément quelconque ϵ de ΩⁿM. Le volume de M, supposée compacte, est alors égal, par définition, à ∫ _Mϵ. Il faut bien noter que sur une variété quelconque (orientée), on intègre des n-formes, et non des fonctions, à moins, précisément, d’avoir choisi un élément de volume ϵ une fois pour toutes, auquel cas on peut évidemment poser ∫ _Mf = ∫ _Mfϵ où f ∈ C^∞(M). Un cas particulièrement important à considérer est celui où la forme volume est associée canoniquement au choix d’une structure riemannienne (voir section 1.11) sur la variété en question.

1.11 Variétés riemanniennes (propriétés élémentaires)

En toute logique, cette section ne devrait pas se trouver dans ce premier chapitre consacré aux variétés différentielles. En effet, la définition de la structure de variété riemannienne est liée à un cas particulier de restriction d’espace fibré (les espaces fibrés font l’objet du chapitre 4). Cela dit, pour des raisons à la fois historiques et pédagogiques, il est sans doute préférable que le lecteur se familiarise d’ores et déjà avec certaines propriétés des variétés riemanniennes.

En géométrie élémentaire, on étudie d’abord les propriétés linéaires et affines et on passe, ensuite, aux notions métriques. Il en va de même dans l’étude des variétés. Une variété différentiable est encore un objet flasque et mou. . . la donnée d’une métrique rigidifie l’espace considéré et permet, d’une part, de parler de norme des vecteurs tangents et, d’autre part, de parler de distances entre points. La définition élémentaire d’une métrique g, sur une variété différentiable M, est la suivante : c’est un champ de tenseurs covariants symétriques de degré deux (en général on impose également une condition de non dégénérescence). Si {x^μ} désigne un système de coordonnées locales, on écrira

Une variété différentiable munie d’une métrique (non dégénérée) est, par définition, une variété riemannienne. Nous n’avons pas imposé au produit scalaire défini par (g_μv) d’être positif et nous ne l’imposerons pas. En général, une forme bilinéaire symétrique est caractérisée par sa signature (p,q) – le nombre de signes +(p) et de signes -(q) obtenus lorsqu’on la diagonalise. Si on tient à préciser que la signature est de type (p, 0) ou (0,p), on dira que la variété est proprement riemannienne. Si on tient à préciser que la signature est de type (p, 1) ou (1,p), on dira que la variété est lorentzienne (on dit aussi, dans ce dernier cas, que la signature est hyperbolique). Les cas riemanniens et lorentziens sont particulièrement importants en physique mais nous n’avons pas besoin de nous restreindre à ce cadre pour l’essentiel de ce qui suit.

∙ Pour une variété riemannienne (M,g) orientée, on peut définir une forme de volume canonique de la façon suivante. Soit {e} un repère mobile orthonormal, c’est-à-dire g(e,e) = η, avec η = ±δ, le signe ± dépendant de la signature de la métrique. Pour l’instant nons pouvons supposer que l’espace est proprement riemannien, et orienté, mais à la fin de cette section, nous verrons comment compléter les propriétés qui suivent lorsque la signature de la métrique est quelconque, et plus particulièrement lorsqu’elle est hyperbolique. Désignant par {e} le co-repère dual du repère mobile choisi, l’élément de volume riemannien est

Soit {σ_α} un autre repère, non nécessairement orthonormal, et Λ_α la matrice de passage, c’est-à-dire σ_α = Λ_αe. Alors g_αβ = Λ_αΛ _βg, ce qui implique

En particulier, si {σ_α} désigne un repère naturel ∂ __ ∂x^μ, on a g = g_μνdx^μ ∧dx^ν et

∙ La métrique g permet également d’établir un isomorphisme canonique entre l’espace tangent TM et l’espace cotangent T^*M. Cette propriété est évidente puisqu’en chaque point, l’existence d’un produit scalaire permet d’identifier les espaces vectoriels T_P M avec T_P ^*M. En d’autres termes, on peut “monter” et “descendre” les indices à l’aide de la métrique : au vecteur v = v^μe _μ on associe la 1-forme ^bv = v _μe^μ définie par v _μ = g_μνv^ν ( {e^μ} désignant la base duale de {e_μ}). Inversement, à la 1-forme σ = σ_μe^μ on associe le vecteur ♯σ = σ^μe _μ avec σ^μ = g^μvσ _ν. On peut écrire ⟨^bv ₁,v₂⟩ = g(v₁,v₂) et ⟨σ, ,♯σ₂⟩ = (σ₁,σ₂). Les isomorphismes ♭ et ♯ sont appelés isomorphismes musicaux (pour des raisons évidentes !).Cela dit, les physiciens choisissent en général une métrique une fois pour toutes et décident donc de passer sous silence ces isomorphismes musicaux. En d’autres termes, ils identifient v et ♭v ainsi que σ et ♯σ et écrivent tout simplement v = v^μe _μ = v_μe^μ ou σ = σ _μe^μ = σ^μe _μ. Pour des raisons analogues ils écrivent g = g_μve^μ ⊗ e^ν = g^μve _μ ⊗ e_v (mais il faut bien entendu se rappeler que (g_μv) est la matrice inverse de (g^μv). Les isomorphismes musicaux permettent, de la même façon, d’identifier les tenseurs covariants et contravariants de même rang . Attention, lorsqu’on n’utilise pas de métrique pour monter ou baisser les indices, il n’y a pas de raison de faire attention à la position relative des indices covariants et contravariants (par exemple, on peut parler de T_νρ^μ sans dire s’il s’agit de T^μ _νρ, de T_νρ^μ ou de T_ν^μ _ρ). Les trois types de composantes correspondent d’ailleurs à des objets différents puisque on travaille, suivant les cas, dans TM ⊗ T^*M ⊗ T^*M, T^*M ⊗ T^*M ⊗ TM ou T^*M ⊗ TM ⊗ T^*M. Par contre, si on utilise la métrique pour procéder à des identifications, il faut faire attention aux positions relatives des indices haut et bas ! Ainsi, par exemple, T_μνρ désignera g_μμ′T^μ′ _νρ. Tout ceci est assez trivial, mais peut être fallait-il le dire une fois ?

Lorsqu’on a choisi une métrique, on écrira donc abusivement (sans utiliser la notation ♭ et ♯), par exemple T = T_μvρe^μ ⊗e^v ⊗e^ρ = T _μ^νρe^μ ⊗e _v ⊗e_ρ = T^μvρe _μ ⊗e_v ⊗e_ρ = …

Les isomorphismes musicaux sont quelquefois simplement désignés par le même symbole g que la métrique elle même, le nombre d’arguments permettant de décider si on parle des isomorphismes en question ou de la métrique. Par exemple, on peut noter g(e_μ) = g_μve^ν et g(e^μ) = g^μve _ν. Ceci est en accord avec les notations précédentes puisque par exemple g(v) = g(v^μe _μ) = v^μg(e _μ) = v^μg _μve^ν = v _ve^ν.

Avec ces notations, nous avons alors g(v,w) = ⟨g(v),w⟩ = ⟨g(w),v⟩ = g(w,v).

∙ L’existence d’une métrique permet non seulement de calculer le produit scalaire de deux vecteurs (ou de deux 1-formes) mais de contracter n’importe quel tenseur d’ordre k covariant, contravariant ou partiellement covariant et contravariant avec n’importe quel autre tenseur d’ordre k. On utilisera encore la notation ⟨|⟩ pour écrire ces contractions de type assez général. Plutôt que de décrire les différents cas, il suffit de dire, en termes imagés, qu’on “monte” tous les indices du premier à l’aide de la métrique, qu’on “descend” tous les indices du second et qu’on contracte complètement les objets obtenus. Par exemple, si S = S_μν^ρe^μ ⊗ e^ν ⊗ e _ρ et T = T_μ^νρe^μ ⊗ e _ν ⊗ e_ρ on fabrique S_μvρ′ = g_ρ′ρS_μv^ρ et T^μ′νρ = g^μ′μT _μ^νρ. On peut alors calculer ⟨S,T⟩ = S^μνρT _μνρ. En particulier, si {φ¹,φ²,…,φ^k} désignent une famille de 1-formes et {ψ¹,ψ²,…,ψ^k} en désigne une autre, on peut vérifier que cette définition conduit à

∙ Lorsque la signature de la métrique n’est pas proprement riemannienne, c’est à dire lorsqu’elle est de type (p,q), il faut supposer que la variété admet une orientation temporelle et qu’elle est temporellement orientée. Dans le cas usuel de l’espace-temps de la physique (signature (3, 1)), on utilisera des indices 0, 1, 2, 3, comme c’est l’usage, plutôt que 1, 2, 3, 4 ; on posera alors

∙ Pour terminer, notons que l’existence d’une métrique permet d’associer à la différentielle df d’une fonction f, un champ de vecteurs, le gradient de f défini par gradf = ♯df. Ainsi, dans un repère naturel, on écrira

Encore une fois, la présente section consacrée aux variétés riemanniennes n’est destinée qu’à introduire certaines notations utiles et quelques notions élémentaires. Nous reviendrons plus en détail sur les variétés riemanniennes à la fin du chapitre consacré aux connexions.

1.12 Divers

Nous regroupons dans ce paragraphe un certain nombre de notions et de commentaires qui peuvent être considérés comme un peu moins élémentaires que ce qui précède ; cela ne signifie pas qu’ils sont moins “importants” mais simplement que nous utiliserons peu ou pas ces concepts dans la suite de l’ouvrage. On se contente donc ici de présenter quelques définitions de façon à suggérer au lecteur des lectures plus approfondies et à donner quelques idées intuitives.

1.12.1 Compléments sur les dérivations d’algèbre

L’ensemble des dérivations de l’algèbre associative se note Der. Rappelons qu’une dérivation est une application linéaire v de A dans A telle que v[fg] = v[f]g + fv[g] avec f,g ∈. Il est facile de voir que la somme de deux dérivations est une dérivation, par contre le produit de deux dérivations n’est pas une dérivation (dans les cas où on peut le définir, c’est un opérateur du “second ordre” ). Il est intéressant de savoir si l’opérateur w défini par w = hv avec h ∈ et v ∈ Der est, ou non, une dérivation. En d’autres termes, on veut savoir si l’espace Der est stable lorsqu’on multiplie (à gauche) ses éléments par des éléments de . Dans l’affirmative, on dit que Der est un module sur . La réponse est oui, mais seulement dans le cas où est commutative. En effet, prenons f et g dans . Alors, (hv)[fg] = h(v[fg]) = h(v[f]g + fv[g]) = hv[f]g + hfv[g] mais (hv)[f]g + f(hv)[g] = hv[f]g + fhv[g]. Ces deux expressions ne coïncident que si hf = fh.

Conclusion : L’ensemble des dérivations d’une algèbre associative n’est pas, en général, un module sur cette algèbre, sauf si cette cette dernière est commutative. Il est facile de voir que Der est un module sur le centre de , centre qui peut être assez petit...

Par contre, l’ensemble des dérivations est toujours une algèbre de Lie : on peut y définir une loi de composition interne (notée [, ]) non associative et anti-commutative ([u,v] = -[v,u]), qui vérifie l’identité suivante (l’identité de Jacobi) :

Rappelons que l’ensemble des champs de vecteurs sur une variété n’est autre que l’algèbre de Lie DerC^∞(M).

Le fait que l’ensemble des dérivations de soit un module sur lorsque est commutative admet une généralisation supersymétrique. Supposons que A soit une algèbre ℤ₂-graduée. Chaque élément a de peut donc s’écrire comme somme d’un élément pair (#a = 0) et d’un élément impair (#a = 1). On définit les dérivations graduées (ou super-dérivations ) des algèbres ℤ₂-graduées comme les dérivations usuelles, mais en introduisant un signe. On dit qu’une super-dérivation est paire si c’est une dérivation, au sens usuel du terme. On dit qu’une super-dérivation est impaire si c’est une application linéaire de A dans A telle que v[fg] = v[f]g + (-1)^#ffv[g]. On introduit donc alors une ℤ ₂ graduation pour les super-dérivations et on réunit les deux types de formules de la façon suivante :

∈

L’ensemble des super-dérivations d’une algèbre A ne constitue pas, en général, un module sur , sauf lorsque est commutative graduée (on dit aussi super-commutative ), c’est à dire lorsque fg = (-1)^#f#ggf. Par contre l’ensemble des dérivations graduées constitue toujours un module sur le super-centre de (l’ensemble des éléments de qui commute – au signe près – avec ) et il constitue également une super-algèbre de Lie , c’est à dire que les dérivations graduées super-anticommutent :

1.12.2 Cohomologie de De Rham

Nous avons vu que l’opérateur d satisfait d² = 0 et envoie Ω^kM dans Ω^k+1M. Soit Z^k le noyau de d, c’est-à-dire Z^k = {ω ∈ Ω^kM tq dω = 0}. Les éléments de Z^k sont appelés cocycles de De Rham de degré k (ou formes fermées). Soit B^k l’image par d de Ω^k-1M dans Ω^kM, c’est-à-dire B^k = {ω ∈ Ω^kM tq ∃τ ∈ Ω^k-1 avec ω = dτ}. Les éléments de B^k sont les cobords de De Rham de degré k ou formes exactes . Le fait que d² = 0 implique l’inclusion B^k ⊂ Z^k.

Il résulte de la linéarité de d que Z^k et B^k sont stables par addition, ce sont donc des groupes abéliens ; on peut alors considérer le groupe quotient H^k = Z^k∕B^k qu’on appelle groupe de cohomologie (de De Rham) de degré k. On peut calculer, pour toute variété, les groupes H⁰,H¹,…,Hⁿ. Ces groupes fournissent, en quelque sorte une “mesure” de la non-trivialité de la topologie de la variété M. En effet, tous ces groupes sont triviaux (se réduisent à l’élément neutre 0) dans le cas de l’espace numérique ℝⁿ, ce que le lecteur sait déjà puisque, dans un autre contexte, celui de la théorie des équations différentielles sur ℝⁿ, on montre de façon élémentaire que, pour résoudre une équation df = 0, il faut poser f = dg (Lemme de Poincaré).

1.12.3 Homologie de De Rham

La définition de l’homologie de De Rham est plus délicate que celle de la cohomologie. De façon à en donner une image intuitive, disons qu’on s’intéresse à des “morceaux” de la variété M (comptés possiblement avec multiplicité). Un tel morceau C (techniquement une chaîne ) peut avoir un bord (le bord d’un disque est un cercle) ou pas de bord (le bord d’un cercle est nul). On peut formellement additionner les chaînes (avec des coefficients réels, dans le cas présent). On définit alors un opérateur bord ∂, de carré nul lui aussi (∂² = 0, le bord d’un bord est nul) et on peut considérer les cycles (chaînes C dont le bord ∂C est nul) et les bords (chaînes C qui sont le bord de quelque chose C = ∂D).

Tous les bords étant des cycles, on peut là aussi considérer les cycles Z_k de dimension k modulo les bords B_k et définir les groupes d’homologie H_k = Z_k∕B_k. De façon générale, on parle de cohomologie lorsqu’on a un opérateur de carré nul (tel d) dont l’action sur un espace vectoriel ℤ-gradué fait croître le degré d’une unité et d’homologie lorsqu’on a un opérateur de carré nul (tel ∂) dont l’action fait décroître le degré.

Paradoxalement, la définition de d est plus simple que celle de ∂ (nous avons passé cette dernière sous silence) alors que l’action de ∂ est plus intuitive, plus “visuelle” que celle de d. Le lien entre les deux est fournit par le théorème de Stokes : de façon générale on peut intégrer les k-formes sur les k-chaînes et on a la propriété

1.12.4 Espace des p-vecteurs

Nous avons choisi de développer la notion de produit extérieur en partant du fibré cotangent , c’est-à-dire que nous avons considéré des produits tensoriels complètement antisymétriques de vecteurs covariants. Ceci nous a amené au concept de forme différentielle. Nous aurions pu faire de même en partant des vecteurs contravariants. Le formalisme est très semblable et les objets contravariants Ω_p(M) correspondant aux formes différentielles Ω^p(M) sont simplement baptisées “p-vecteurs”. On peut alors bien entendu évaluer une p-forme sur un p-vecteur, le résultat étant une fonction sur M.

1.12.5 Espace des courants de De Rham

Le lecteur est sans doute déjà familier avec la notion de distribution. Pour les fonctions numériques sur un compact de ℝⁿ les distributions sont définies comme dual des fonctions infiniment différentiables. Cet espace contient d’une part des éléments “réguliers” mais aussi toutes les mesures (en particulier la mesure de Dirac) et même des objets encore plus singuliers (les dérivées de la distribution de Dirac par exemple). On peut généraliser la théorie des distributions aux formes différentielles  de degré quelconque sur une variété ; on définit ce qu’on appelle l’espace des courants de De Rham comme dual (sur ℝ) des formes différentielles. L’évaluation d’un courant C sur une forme ω est donc un nombre ⟨C,ω⟩. Si la variété M est compacte et si ω est une k-forme, un élément “régulier” peut être représenté par une n - k forme σ puisque l’évaluation de l’intégrale ∫ _Mσ ∧ ω est bien une fonctionnelle linéaire. L’intégration d’une forme sur une chaîne (théorie de l’homologie), l’évaluation d’un p-vecteur sur une p-forme suivie de l’intégration sur M de la fonction obtenue, fournissent aussi des exemples de courants de De Rham. La théorie de l’homologie de De Rham (opérateur ∂) se généralise d’ailleurs au cadre des courants et le théorème de Stokes s’écrit dans ce cas ⟨∂C,ω⟩ = ⟨C,dω⟩.

1.12.6 Les algèbres de Frölicher – Nijenhuis et de Nijenhuis–Richardson

Nous savons que l’algèbre de De Rham Ω(M), munie du produit extérieur, est une algèbre commutative graduée.

Nous savons aussi que l’ensemble des dérivations graduées d’une algèbre commutative graduée constitue une super-algèbre de Lie pour laquelle le crochet de Lie est donnée par le commutateur (gradué) que nous noterons simplement [.,.].

En conséquence Der(Ω(M)) est une algèbre de Lie graduée. Reste à identifier explicitement les éléments de cette algèbre.

Tout d’abord, puisque Ω(M) est ℤ-graduée, on dira qu’une dérivation est de degré p (qui peut être positif, négatif ou nul) si elle fait passer de Ω^k(M) à Ω^k+p(M). On notera Der _p(Ω(M)) l’espace des dérivations de degré p. La dérivée extérieure est elle-même un élément de Der₁(Ω(M).

Soit Ω(M,TM) l’espace des formes différentielles sur M à valeurs dans le fibré tangent, c’est à dire Ω^k(M,TM) = Γ(Λ^kT^*M ⊗ TM). Une k-forme K à valeurs vectorielles s’écrira, dans un repère naturel,

Un résultat du à Richardson et Nijenhuis montre que l’algèbre de Lie graduée des dérivations (graduées) de l’algèbre de De Rham Ω(M) peut s’identifier à deux copies de Ω(M,TM) munies de deux crochets différents, connus respectivement sous le nom de crochet de Nijenhuis-Richardson et crochet de Frölicher-Nijenhuis. Plus précisément, pour tout toute dérivation D, de degré k de l’algèbre Ω(M) on peut trouver un unique K ∈ Ω^k(M,TM) et un unique L ∈ Ω^k+1(M,TM) tels que

Il se trouve que les éléments de Ω(M,TM) peuvent en effet agir par dérivation sur Ω(M), et ce, de deux façons distinctes.

La première consiste en une généralisation du produit intérieur. Au lieu de considérer le produit intérieur d’une forme par un vecteur, on remplace le vecteur par une k-forme à valeurs vectorielles. En effet, soit K ∈ Ω^k(M,TM), L ∈ Ω^l(M,TM) et ω une forme différentielle de degré q sur M. On va définir i _Kω, qui sera une forme différentielle de degré k + (q - 1) (la partie “champ de vecteurs” présente dans K fait passer de q à q - 1 mais les k indices de forme demeurent). Soient X_i i ∈{1, 2,…,k + (q - 1) des champs de vecteurs. On pose

La deuxième façon d’agir consiste en une généralisation de la dérivée de Lie. Soit encore K ∈ Ω^k(M,TM). On définit _K par

Chapitre 2
Groupes de Lie et espaces homogènes

2.1 Généralités sur les groupes de Lie

2.1.1 Généralités et définitions élémentaires

Les groupes de Lie et les espaces homogènes fournissent une multitude d’exemples particulièrement simples de variétés différentiables et c’est une des raisons pour lesquelles nous leur consacrons une section de cet ouvrage. Une autre raison importante est que les groupes de Lie vont être utilisés comme “outils” dans les chapitres suivants.

Chacun est censé être déjà familier avec la notion de structure de groupe. L’introduction aux groupes et leur utilisation dans toutes les branches de la physique est un thème présenté et étudié, suivant les années et les réformes de l’enseignement secondaire, entre la classe de quatrième et les années de Licence... Rappelons donc qu’un groupe est un ensemble (fini ou infini) muni d’une loi de composition interne associative, possédant un élément neutre, et tel que tout élément possède un symétrique pour la loi en question. Du point de vue du calcul, notons que, dans un groupe, il est toujours possible de résoudre une équation du premier degré (du type ax = b, la solution étant x = a^-1b). Les exemples les plus simples habituellement présentés aux élèves de nos lycées sont les suivants : Le groupe (ℤ, +) des entiers relatifs, les groupes (additif et multiplicatif) de nombres rationnels (Q, +) et (Q -{0},×) ainsi que leurs généralisations réelles et complexes, les groupes de congruence ℤ_p = ℤ∕pℤ, les groupes de symétrie des solides platoniques, les groupes de transformations linéaires, affines ou projectives et les groupes de substitutions. Les groupes ne sont pas nécessairement commutatifs, comme les derniers exemples le montrent clairement. Les groupes peuvent être finis (comme ℤ∕pℤ), infinis mais discrets (comme ℤ) ou infinis et “continus” (comme ℝ ou comme le groupe U(1) des rotations autour d’un axe). Regardons ce dernier exemple d’un peu plus près. Toute rotation autour d’un axe est parfaitement caractérisée par un angle θ compris entre 0 et 2π ; de surcroît, les rotations d’angle 0 et 2π sont identiques. En d’autres termes, on peut considérer les rotations en question comme les différents points d’un cercle S¹ de rayon quelconque, l’élément neutre (c’est à dire la rotation d’angle nul) étant un point marqué de ce cercle S¹. Ceci nous fournit un image “visuelle” de ce groupe U(1), image qui peut nous faire oublier momentanément la structure algébrique proprement dite de cet ensemble (un groupe) mais qui attire notre attention sur sa structure topologique ou même différentiable (un cercle). La notion de groupe de Lie généralise ce dernier exemple en juxtaposant de façon axiomatique la structure de groupe et celles de variété.

Par définition, un groupe de Lie G est donc une variété différentiable munie d’une structure de groupe, de façon à ce que les deux structures soient compatibles, c’est à dire de façon à ce que la multiplication ¹ et le passage à l’inverse soient des applications différentiables. Notons que la multiplication est une application de G×G dans G alors que le passage à l’inverse est une application de G dans G. Le lecteur pourra visuellement se représenter un groupe de Lie comme un “patatoïde” avec multiplication (entre points) et origine marquée (voir 2.1).

Figure 2.1: Un groupe de Lie

La dimension d’un groupe de Lie est, par définition, sa dimension en tant que variété (nous verrons de nombreux exemples un peu plus loin) ; notons dès à présent que le groupe U(1) présenté plus haut est de dimension 1.

2.1.2 Exemples élémentaires de groupes classiques

On désigne par M(n, ℂ) l’algèbre (de dimension complexe n²) des matrices carrées d’ordre n à coefficients complexes et par a^† l’adjointe d’une matrice a de M(n, ℂ) (si a = (a_ij), alors a^† = (a _ji)). L’ensemble précédent n’est certes pas un groupe pour la loi de multiplication des matrices puisqu’il contient de nombreux éléments non inversibles (toutes les matrices de déterminant nul) mais il contient plusieurs sous-ensembles intéressants qui, eux, sont bien des groupes multiplicatifs, comme on pourra le vérifier aisément.

• GL(n, ℂ) = {a ∈ M(n, ℂ)∕|deta≠0}, le groupe linéaire complexe.
• U(n) = {a ∈ GL(n, ℂ)∕|a^† = a^-1}, le groupe unitaire.
• SU(n) = {a ∈ U(n, ℂ)∕|deta = 1}, le groupe unitaire unimodulaire, aussi appelé groupe spécial unimodulaire.

Notons que les éléments de U(n) ont automatiquement un déterminant (un nombre complexe) de module 1, puisque deta^† = deta = 1∕deta, mais pas nécessairement égal à 1.

Les groupes précédents sont définis comme groupes de matrices ; les entrées de ces matrices (les “éléments de matrice”) sont des nombres qui peuvent être réels mais sont généralement complexes. Si on impose à ces éléments de matrice d’être réels, on obtient de nouveaux groupes. Soit M(n, ℝ) l’algèbre (de dimension réelle n²) des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels. Cet ensemble, comme M(n, ℂ) est une algèbre associative mais n’est pas un groupe multiplicatif. On définit

• GL(n, ℝ) = GL(n, ℂ) ∩ M(n, ℝ), le groupe linéaire réel.
• O(n, ℝ) = U(n, ℂ) ∩ M(n, ℝ), le groupe orthogonal, encore appelé groupe des rotations.
• SO(n, ℝ) = SU(n) ∩ M(n, ℝ), le groupe spécial orthogonal.

Les éléments du groupe unitaire ayant un déterminant de module 1, ceux de O(n, ℝ) auront un déterminant égal à -1 ou à 1 ; ceux pour lesquels il est précisément égal à 1 constituent le groupe SO(n, ℝ). On désigne par la transposée d’une matrice a de M(n, ℝ).

2.2 Généralités sur les algèbres de Lie

2.2.1 Application exponentielle et algèbres de Lie

Définition

Une algèbre de Lie 𝔤 sur un corps commutatif K est un ensemble qui est, d’une part un espace vectoriel sur K (sa loi de groupe abélien est notée + et sa loi externe sur K est notée multiplicativement), de dimension finie ou non, et qui, d’autre part, est muni d’une loi de composition interne –non associative– généralement notée [,] vérifiant les propriétés suivantes

Anticommutativité

∀X,Y ∈ 𝔤 [X,Y ] = -[Y,X]

Identité de Jacobi

∀X,Y,Z ∈ 𝔤 [X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y ]] + [Y, [Z,X]] =  0

On suppose également vérifiée la linéarité par rapport aux scalaires, c’est à dire [αX,Y ] = [X,αY ] = α[X,Y ] si α ∈ K. La loi [,] est généralement désignée sous le nom de “crochet de Lie”. Dans toute la suite, le corps K coïncidera avec le corps ℂ des nombres complexes.

Exemple fondamental

Soit une algèbre associative ; on peut lui associer canoniquement une algèbre de Lie en définissant le crochet de Lie de la façon suivante (auquel cas le crochet de Lie peut également être désigné sous le nom de commutateur) :

Constantes de structure d’une algèbre de Lie 𝔤

Supposons que 𝔤, en tant qu’espace vectoriel sur le corps des complexes ℂ soit de dimension finie n et soit {X_α}_α∈{1…n} une base de 𝔤. Le crochet de Lie [X_α,X_β] de deux vecteurs de base est a priori un élément de 𝔤 et peut donc se développer sur la base choisie :

Application exponentielle dans M(n, ℂ)

On désigne par exp : α →∑ _p=0^∞α^p∕p! l’application exponentielle définie sur M(n, ℂ). Posons g = e^A. Il est facile de voir que

△ ATTENTION : On n’a pas dit que tout élément de GL(n, ℂ) pouvait être atteint par la fonction exp (c’est faux !).

Cas des groupes de matrices : Correspondance entre groupes et algèbres de Lie

Soit G un groupe de Lie défini comme sous-ensemble de M(n, ℂ). On définit son algèbre de Lie notée 𝔤 ou LieG comme suit,

La définition ci-dessus de l’algèbre de Lie d’un groupe G semble un peu restrictive en ce sens qu’elle semble ne pouvoir s’appliquer qu’aux groupes de matrices, mais il existe une définition plus abstraite de la notion d’algèbre de Lie d’un groupe de Lie, définition ne faisant pas l’hypothèse d’une réalisation matricielle ; nous y reviendrons plus loin.

Soient g et h deux éléments de G et supposons qu’on puisse écrire g = e^tA et h = e^tB avec A,B ∈ 𝔤. Tout d’abord, notons que g^-1 = e^-tA. On peut alors considérer le commutateur de g et h au sens de la théorie des groupes, c’est à dire l’élément c = ghg^-1h^-1 de G. Au second ordre en t, il vient

Soit g ∈ G et supposons qu’on puisse écrire g = e^A ; alors, en utilisant la structure d’espace vectoriel de LieG, on voit qu’on peut décomposer A sur une base {X_α} ;ainsi, A = ∑ a^αX _α. Les n nombres a^α permettent donc de définir sur G un système de coordonnées (une carte). Ceci montre également que la dimension de G, en tant que variété, est égale à celle de LieG, considéré comme espace vectoriel.

2.2.2 Correspondance entre groupes et algèbres de Lie

Algèbres de Lie des groupes classiques

Notons d’abord que, pour les groupes unitaires,

Nous avons déjà rencontré la relation dete^A = e^TrA ; il s’ensuit que, si le déterminant de g = e^A est égal à 1, la trace de A est nulle. Ainsi,

Pour calculer la dimension des groupes de Lie, le plus simple est en général de calculer la dimension des algèbres de Lie correspondantes. Voici un exemple que lecteur pourra généraliser sans peine : “Fabriquons” une matrice carrée antihermitienne. Une matrice n × n dépend, a priori, de n² paramètres complexes ; nous enlevons d’abord la diagonale (donc il reste n² - n paramètres), puis nous fabriquons une matrice triangulaire inférieure stricte (donc (n² - n)∕2 paramètres) ; la partie triangulaire supérieure est alors complètement déterminée par la condition d’anti-hermiticité ; finalement, cette même condition implique que les éléments diagonaux sont imaginaires purs : il nous faut donc rajouter n paramètres réels. Au total, on a donc 2(n² - n)∕2 + n = n²paramètres réels. Ainsi donc dim_RU(n) = dim_RLieU(n) = n².

Le lecteur pourra sans doute ainsi retrouver sans difficulté la dimension des algèbres de Lie suivantes. Remarque : La notation Sp(n) utilisée ci-dessous désigne le groupe unitaire-quaternionique (voir “remarques diverses” en fin de section 2 concernant les groupes symplectiques) ; les matrices de l’algèbre de Lie correspondante sont du type avec A^† = -A et = B.

G	LieG	dimℝG
GL(n, ℂ)	M(n, ℂ)	2n2
GL(n, ℝ)	M(n, ℝ)	n2
U(n)	Matrices anti-hermitiennes	n2
SU(n)	Matrices anti-hermitiennes de trace nulle	n2 - 1
SO(n)	Matrices antisymétriques réelles
Sp(n)	Voir ci-dessus

Remarques

• Si nous ne précisons pas davantage, c’est que les algèbres de Lie que nous considérons sont des algèbres de Lie réelles. Il y a là une petite subtilité que nous allons illustrer en considérant le cas de 𝔲(n) = LieU(n). Il s’agit d’ un espace vectoriel sur ℝ de dimension d = n², ce qui signifie qu’une base de cet espace vectoriel réel possède d = n² éléments (appelons les {X _α}_α=1…d) et qu’un élément quelconque A de 𝔲(n) peut s’écrire A = ∑ _α=1^da^αX _α, avec des composantes a^α qui sont des nombres réels. Par contre, les éléments {X_α} sont, dans le cas présent des matrices antihermitiennes dont les éléments de matrice sont généralement complexes (comme ceux de A, d’ailleurs). Pour compliquer légèrement les choses, les éléments {X_α} qu’on appelle traditionnellement générateurs de l’algèbre de Lie 𝔲(n) ou encore générateurs infinitésimaux, sont souvent écrits sous la forme X_α = iY _α (dans le cas de 𝔲(n) les Y _α sont donc hermitiens) et le développement de A sur la base X_α se re-écrit A = ∑ _α=1^da^αiY _α, de sorte que si on pose A = iB on obtient simplement B = ∑ _α=1^da^αY _α ; dans ce cas, il y a des facteurs i au second membre des relations de commutation des Y _α entre eux. Pour couronner le tout les Y _α sont eux-aussi quelquefois désignés sous le nom de “générateurs infinitésimaux”, bien qu’ils n’appartiennent même plus à l’algèbre de Lie si cette dernière est réelle !
• L’application exp est continue. L’image continue d’un espace connexe est un espace connexe. Une algèbre de Lie est un espace vectoriel et donc un espace connexe. L’ensemble exp 𝔤 = {e^X|X ∈ 𝔤} est donc connexe. Conclusion : si un groupe de Lie G n’est pas connexe, les éléments qui n’appartiennent pas à la composante connexe de l’identité ne peuvent pas être atteints par la fonction exp (ils ne peuvent pas s’écrire sous la forme e^X). Ceci montre que, dans bien des cas, l’application exp n’est pas surjective. Le calcul effectué plus haut et concernant le groupe orthogonal O(n) reflète le fait que ce dernier n’est pas connexe. Par contre les groupes U(n), SU(n), SO(n) et Sp(n) sont connexes.

  Même si G est connexe, l’application exp n’est pas nécessairement surjective. Par contre, on démontre que si G est compact et connexe, cette application est surjective (c’est le cas de U(n), SU(n), SO(n) et Sp(n)). Si G est connexe mais non compact, on démontre que exp est “presque” surjective, en ce sens que

  
• Par définition, le rang d’un groupe de Lie compact est égal à à la dimension d’un sous groupe abélien maximal contenu dans G (on dit alors souvent “tore maximal” au lieu de “sous groupe abélien maximal”).
  Cette définition sera suffisante pour nous, mais voici néanmoins une définition valable dans un contexte plus général : le rang d’un groupe de Lie est défini comme étant celui de l’algèbre de Lie correspondante, lui-même défini comme la dimension de l’une quelconque de ses sous-algèbres de Cartan (si le corps de base est celui des complexes et que l’algèbre de Lie est de dimension finie, toutes ses sous-algèbres de Cartan sont isomorphes) ; dans ce cadre général une sous-algèbre de Cartan est une sous-algèbre de Lie nilpotente qui coincide avec son propre normalisateur. Dans le cas semi-simple une sous-algèbre de Cartan est simplement une sous-algèbre de Lie abélienne maximale.