Il est quelquefois plus facile de présenter un livre en disant ce qu’il n’est pas et en dressant une liste des motivations de l’auteur qu’en essayant d’en expliciter le contenu.
Ce livre, bien qu’il contienne un exposé de géométrie différentielle (avec un accent particulier mis sur les groupes de Lie, la théorie des espaces fibrés, la théorie des connexions et la géométrie riemannienne) n’est certainement pas un cours de mathématiques traditionnel. En général les mathématiciens cultivent la précision du style et la concision du discours, alors que l’exposé qui suit essaye de présenter les idées importantes en faisant souvent appel à l’intuition, en effectuant de nombreux retours en arrière et en ne négligeant pas les clins d’oeil à la physique. On peut donc espérer que la lecture de l’ouvrage présent sera un peu moins aride que celle d’un traité traditionnel.
Ce livre n’est pas non plus un cours de physique théorique. Il y manque beaucoup trop d’informations ! Celui ou celle qui souhaite se lancer à la découverte de l’Espace-Temps et déchiffrer certains des mystères de notre univers devrait s’attaquer à de saines lectures (par exemple [5]). L’ouvrage présent ressemble plus à un cours de mathématiques qu’à un cours de physique ; la physique n’est cependant pas absente, au contraire : des idées physiques sont cachées derrière chaque paragraphe, et ce sont elles qui sont, la plupart du temps, à l’origine des notions “abstraites” que nous allons présenter.
Bien qu’il ne s’agisse pas là d’un ouvrage de vulgarisation sur la physique théorique ou les mathématiques, j’ai pourtant rédigé de nombreux paragraphes en pensant à certains de mes amis ayant une culture mathématique relativement modeste mais néanmoins dotés d’un esprit curieux et aimant vagabonder de temps à autres sur des terrains situés au confluent de l’infiniment petit, de l’infiniment grand, des mathématiques et de la métaphysique. Je dois dire, en relisant l’ouvrage après coup, que, de ce point de vue, j’ai peur d’avoir echoué : le contenu présenté ressemble plus à un cours de troisième cycle spécialisé qu‘à un ouvrage de vulgarisation… Cela dit, je pense — et j’espère — qu’à la condition de commencer la lecture à la première page sans essayer de démarrer en plein milieu, l’ouvrage reste accessible à tout lecteur disposant d’un bagage mathématique équivalent à celui qu’on est censé acquérir à l’issue d’un premier cycle universitaire, ou d’une classe de Mathématiques Spéciales. A propos de motivations, je dois aussi signaler que d’autres de mes amis, dotés d’une culture mathématique plus que respectable n’ont malheureusement jamais eu le temps ou la patience de traduire le jargon quelquefois flou des physiciens dans la langue bourbakiste qu’ils affectionnent. Le présent ouvrage, bien que résolument peu bourbakiste dans le style, est également écrit pour eux. Finalement, ce livre est également —et probablement surtout— écrit pour les étudiants en mathématiques ou en physique, mais qu’on ne vienne pas me demander “De quelle année ?” ! En effet, certains des thèmes qui seront abordés peuvent être rencontrés dans un cours de maîtrise de mathématiques (ou de DEA) et on les trouvera souvent incorporés à un enseignement de troisième cycle de physique théorique ou de géométrie différentielle, mais d’autres thèmes, probablement aussi intéressants, et quelquefois même fondamentaux, risquent fort de ne figurer dans le programme d’aucun enseignement universitaire. L’étudiant, physicien ou mathématicien, trouvera peut-être, dans cet ouvrage, ce qu’il cherche (en utilisant l’index et la table des matières) et le non-spécialiste y trouvera peut-être ce qu’il ne cherchait pas…
Enfin, ce livre n’est pas un ouvrage de philosophie ou de métaphysique (Dieu m’en garde !) bien que certaines réflexions de nature éminemment philosophiques ne soient pas absentes des pages qui suivent, surtout dans la section Introduction.
La partie “géométrie différentielle” de ce travail est issue d’un cours de troisième cycle que j’ai eu l’occasion de donner pendant plusieurs années au sein du Diplôme d’Etudes Approfondies (DEA) de Physique Théorique, organisé au Centre de Physique Théorique, à Luminy (Marseille) ainsi qu’en 1997, dans le DEA de Physique Théorique organisé à l’Ecole Normale Supérieure de Lyon. La partie “non commutative” (la dernière section) est un court extrait d’une série de cours que j’ai donnés dans les universités de Rio de Janeiro (URJ, UFRJ et CBPF), de Saragosse et de La Plata ainsi qu’à San Carlos de Bariloche, en 1996 et 1997. L’ouvrage a également servi de support à un cours semestriel de l’IMPA, Rio de Janeiro, en 2012 (Pós-Graduação em Matemática, curso de Doutorado).