Une représentation L d’un groupe G dans un espace vectoriel E (sur le corps K) est un cas particulier de la notion d’action. L’espace E n’étant pas quelconque mais doté d’une structure d’espace vectoriel, on impose à l’action Lg d’être linéaire. En d’autres termes, à tout élément g de G, on associe un automorphisme Lg de E (une transformation linéaire bijective de E sur lui-même). Si E est de dimension finie p, moyennant un choix de bases, on peut écrire l’automorphisme Lg à l’aide d’une matrice inversible p × p encore désignée par Lg. On peut donc définir une représentation L comme un homomorphisme du groupe G dans le groupe GL(p,K). On dit qu’une représentation est fidèle lorsque l’homomorphisme L ci-dessus est injectif.
La théorie des représentations est un chapitre essentiel de la théorie des groupes et est également d’une importance capitale dans pratiquement toutes les branches de la physique. Les différents aspects de la théorie des représentations ne seront pas étudiés dans cet ouvrage.