Champs de vecteurs fondamentaux

2.4 Champs de vecteurs fondamentaux

2.4.1 Cas d’un groupe de Lie agissant sur une variété

On se donne un groupe de Lie G et une action à gauche (supposée différentiable) de G sur une variété M. Il y a, au moins, trois façons de considérer cette action :
1. Comme une application de G × M dans M : $L (g,P ) ∈ G × M ↦-→ gP ∈ M$
2. Comme la donnée, pour tout point P dans M, d’une application $RP g ∈ G ↦-→ gP ∈ M$
3. Comme la donnée, pour tout élément g du groupe G, d’une application $Lg P ∈ M ↦-→ gP ∈ M$
Attention : Une action à gauche fournit une application notée L_g quand on gèle l’élément g du groupe mais fournit une application notée R_P quand on gèle le point P. L’application L_g n’est autre que celle qui nous a permis précédemment de définir l’action d’un groupe sur un ensemble. Notons que L_g = L(g,⋅). C’est en fait surtout le point de vue 2 qui nous intéresse ici et nous allons donc étudier l’application R_P = L(⋅,P). L’application R_P étant supposée différentiable, nous pouvons considérer sa différentielle notée suivant les auteurs, R_P_*, TR_P ou simplement dR_P. Comme on le sait (voir la première partie de cet ouvrage), dR_P est une application linéaire de l’espace tangent T(G,g) dans l’espace tangent T(M,gP) dont l’expression, relativement à un couple de repères mobiles dans G et M s’écrit à l’aide de la matrice jacobienne. Si on choisit alors g = e (l’élément neutre de G), on obtient ainsi une application linéaire T(G,e)T(M,P) qu’on devrait noter (dR_P)_g=e mais que nous préférons ne pas baptiser du tout. L’important est d’observer qu’on obtient ainsi, pour tout vecteur X appartenant à T(G,e) un vecteur noté X^L(P) appartenant à T(M,P). Puisque cette application existe pour tout P de M, on obtient donc un champ de vecteurs P ∈ MX^L(P) ∈ T(M,P). On dit que X^L est le champ de vecteurs fondamental gauche associé à l’élément X de l’espace tangent à G en l’identité.
Nous verrons un peu plus loin que l’algèbre de Lie de G, que nous avons précédemment définie de façon élémentaire à l’aide de la fonction exponentielle, peut s’identifier, en tant qu’espace vectoriel à l’espace tangent à G en l’identité : Lie(G) = T(G,e). En anticipant légèrement, nous voyons donc qu’à tout élément X de Lie(G) on peut associer un champ de vecteurs X^L sur M. Résumons cette construction simple et fondamentale par le diagramme suivant :
$( ) ( ) G → M ( ) LieG = T (G, e) → T (M, P) g → gP → T (G, g) → T (M, gP ) → X → XL (P ) On diff ´erentie On particularise$
Le champ fondamental gauche associé à X ∈ LieG se note, soit X^L(P) comme ci-dessus, soit, encore plus simplement $XL (P ) = X ⋅ P$ Pour rendre cette notation naturelle, il suffit de développer l’exponentielle dans l’écriture $g(t) ⋅ P = etX ⋅ P ≈ P + tX ⋅ P + ...$ et ne garder que les termes du premier ordre. Ainsi X^L(P) = X.P = d dt(g(t).P)|_t=0.
Tout ce que nous avons décrit depuis le début de cette section consacrée à l’étude des champs fondamentaux supposait donnée une action à gauche de G sur M. Nous obtenons des notions analogues en supposant que G agit à droite sur M. En particulier, lorsque M = G, nous pouvons aussi bien considérer l’action à gauche que l’action à droite du groupe sur lui-même, et donc, de la même façon que nous avons construit des champs fondamentaux gauche, nous pouvons également construire, pour tout élément X de Lie(G) = T(G,e), un champ de vecteurs fondamentaux droit (le champ fondamental droit $R X (P ) = P ⋅ X$ associé à X).
Certains auteurs désignent les champs fondamentaux sous le nom de champs de Killing. Pour nous, les champs de Killing sont des champs fondamentaux particuliers, ceux associés à l’action d’un groupe agissant par isométries sur une variété riemannienne.

2.4.2 Exemple : le groupe euclidien agissant sur le plan I R²

Le groupe euclidien E(2) agit sur le plan affine M = I R² par composition de translations et de rotations autour de l’origine (c’est un produit semi-direct du groupe des rotations U(1) par le groupe des translations I R²). Une carte (qui est d’ailleurs globale) de I R² est définie par les coordonnées (x,y) relatives à un repère du plan. L’action du groupe euclidien s’écrit

( ) ( ′ ) (θ,a, b) ⋅ x = x ′= x cosθ - y sin θ + a y y = x sin θ + y cosθ + b

Noter qu’un élément g du groupe euclidien peut s’écrire à l’aide de la carte g → (θ,a,b) ∈ I R³ ; G est un groupe de Lie de dimension 3. La différentielle de l’application

( ) LP ′ x′ g = (θ,a,b) ↦-→ gP = P = y′

s’écrit

( ) ∂x′∕∂θ ∂x ′∕∂a ∂x′∕∂b [dLP ]g= (θ,a,b) = ′ ′ ′ ∂y ∕∂θ ∂y ∕∂a ∂y ∕∂b

En prenant g = e = (0, 0, 0), il vient [dL_P]_e = ( y 1 0)

- x 0 1

. Grâce à l’utilisation de quelques abus de notations évidents, nous voyons que

Le champ fondamental associé à X_θ = est
X_θ(P) = = et donc X_θ(P) = x ∂_ ∂y - y ∂ _ ∂x
Le champ fondamental associé à X_a = est
X_a(P) = = et donc X_a(P) = ∂ _ ∂x
Le champ fondamental associé à X_b = est
X_b(P) = = et donc X_a(P) = ∂ _ ∂y

2.4.3 Un cas particulier fondamental : le groupe G agissant sur lui-même par translations à gauche et à droite

Nous considérons maintenant le cas où G opère sur M = G lui même (g,k ∈ G et P ∈ G). Comme nous le savons, il est possible de considérer deux actions : l’une à gauche g → g ⋅ P et l’autre à droite k → P ⋅ k. En conséquence, nous avons aussi des champs fondamentaux à gauche X^L et des champs fondamentaux à droite X^R. Soit X ∈ LieG, alors $XL (k ) = Xk et XR (k) = kX$ Notons aussi que $XR (k) = kXL (k )k -1$
Les deux actions commutent : (gP)k = g(Pk). Elles commutent donc aussi infinitésimalement, (X^LY ^R - Y ^RX^L)(k) = X(kY ) - (Xk)Y = 0. D’où $L R [X ,Y ] = 0$
La propriété X^L(g)k = X^L(gk) caractérise l’invariance de X^L (champ résultant d’une action à gauche) lorsqu’on le multiplie à droite par k. On peut donc dire que le champ fondamental gauche X^L est un champ invariant à droite . Attention : Un champ fondamental gauche est invariant à droite et un champ fondamental droit est invariant à gauche. Attention, le champ invariant à gauche associé à X se note X^R.
Soit X ∈ Lie(G). Lorsque t varie, l’élément g(t) = e^tX décrit une courbe dans le groupe G et le vecteur tangent à l’origine de cette courbe est donné par dg(t) dt |_t=0 = X. Inversement, à tout élément X de T(G,e) on peut associer une courbe à un paramètre g(t) = e^tX (en fait il s’agit d’un groupe à un paramètre puisque g(t₁ + t₂) = g(t₁)g(t₂)). On peut ainsi identifier Lie(G), en tant qu’espace vectoriel, et défini comme précédemment à l’aide de la fonction exponentielle, avec l’espace tangent en l’identité du groupe G : $Lie (G ) ≡ T (G,e)$
Un champ fondamental droit X^R est parfaitement caractérisé — que M = G ou non — par X ∈ T(G,e) c’est à dire par un élément de l’espace tangent à l’identité du groupe G. Dans le cas où M = G, cependant, la correspondance entre champs fondamentaux droits (champs invariants à gauche) et éléments de T(G,e) est bijective (kX = kY,k ∈ G implique X = Y ). Notons que si dimG = n, alors dimT(G,e) = n et la dimension de l’espace des champs de vecteurs invariants à gauche est encore n, alors que la dimension de l’espace de tous les champs de vecteurs est infinie.
Par ailleurs, on vient de voir que la correspondance entre T(G,e) et l’ensemble des champs de vecteurs invariants à gauche (par exemple) était bijective. En effet X^R(g) est parfaitement caractérisé par X = X^R(e) puisque X^R(g) = g.X. Notons Γ^G(TG) l’ensemble de ces champs de vecteurs. On peut donc identifier Lie(G) avec Γ^G(TG) : $G Lie(G ) ≡ Γ (T G )$ Une autre façon de définir l’algèbre de Lie d’un groupe de Lie G est donc de la définir comme espace des champs de vecteurs invariants à gauche sur un groupe de Lie. Le commutateur dans l’algèbre de Lie (le crochet de Lie) est alors défini simplement comme commutateur des champs de vecteurs ; il faut évidemment montrer que le commutateur de deux champs de vecteurs invariants à gauche est encore invariant à gauche : $[XR, Y R] = [X,Y ]R$ Cette propriété résulte de ce qui précède.
On pourrait bien sur penser à utiliser les champs invariants à droite pour définir l’algèbre de Lie, cependant (noter le signe), le commutateur des champs invariants à droite conduit à la relation (exercice !) $[XL, Y L] = - [X, Y ]L$

A titre d’exercice (ou d’illustration), vérifions ces propriétés générales dans le cadre de SL(2, lC).

Les générateurs (représentation fondamentale) sont donnés par

X₊ = ,	X_- = ,	X₃ =

les actions à droite et à gauche sont données par :

X₊ =	,	X₊ =
X_- =	,	X_- =
X₃ =	,	X₃ =

Notez que les générateurs X_± et X₃ agissent par dérivations. En effet, les actions classiques (droite et gauche) ci-dessus peuvent aussi être écrites à l’aide des opérateurs différentiels suivants :

X₊^L = c ∂_ ∂a + d ∂_ ∂b	,	X₊^R = a ∂_ ∂b + c ∂_ ∂d
X_-^L = a ∂_ ∂c + b ∂_ ∂d	,	X_-^R = b ∂_ ∂a + d ∂_ ∂c
X₃^L = a ∂_ ∂a + b ∂_ ∂b - c ∂_ ∂c - d ∂_ ∂d	,	X₃^R = a ∂_ ∂a - b ∂_ ∂b + c ∂_ ∂c - d ∂_ ∂d

Il est alors facile de vérifier explicitement que, par exemple,

[X3, X+-] = +2X+,- [XR3 ,XR+] = +2XR+, [XL3,XL+ ] = - 2XR+

2.4.4 L’action adjointe de G

Le groupe G agit sur lui-même par multiplications à droite et à gauche, comme nous l’avons vu plus haut, mais également par l’application adjointe. Soit g un élément de G, on définit :

Adg : k ∈ G → Adg (k ) = gkg-1 ∈ G

Cette action n’est pas fidèle en général car les éléments du centre C n’agissent pas. Le groupe G|C qu’on désigne sous le nom de groupe adjoint ou groupe des automorphismes intérieurs agit, bien sur, de façon fidèle. L’application tangente à Ad_g, au point k, envoie T(G,k) dans T(G,gkg^-1). Si on prend alors k = e (l’élément neutre), on voit que l’application tangente, notée ad_g = (d(Ad_g))_k=e envoie T(G,e) dans T(G,gg^-1 = e), c’est à dire Lie(G) dans Lie(G). Posant k(t) = e^tX, on voit que ad_g(X) = d dt(ge^tXg^-1)_|t=0 et donc

adg(X ) = gXg -1

2.4.5 Exemple : l’algèbre de Lie du groupe euclidien

Nous avons déjà fait agir le groupe euclidien G (éléments g = (θ,a,b)) sur l’espace affine I R². Nous allons maintenant faire agir G sur lui-même, à droite.

Soit P ∈ G. On considère l’application

( RP ) G ↦- → M = G g ↦-→ Q = P g

ce qui, avec des coordonnées, s’écrit

(θQ,aQ, bQ ) = (θP,aP, bP )(θg,ag,bg)

soit, explicitement

( ) ( ) ( ) θ 1 0 0 θ θ | a| | 0 cosθ sinθ a | | a | |( |) = |( |) |( |) b 0 - sinθ cos θ b b 1 Q 0 0 0 1 P 1 g

La différentielle de R_P, c’est à direl’application tangente est égale à

( ∂θQ ∂θQ ∂θQ ) | ∂θg ∂ag ∂bg | dRP = ( ∂∂aθQg-∂∂aaQg-∂a∂Qbg-) ∂bQ ∂bQ ∂bQ ∂θg ∂ag ∂bg

On choisit, comme base de T(G,e) la base X_θ(e) = ∂-
∂θ

, X_a(e) = ∂-
∂a

, X_b(e) = ∂-
∂b

On calcule dR_P ( )
1
( 0)
0 = , dR_P ( )
0
( 1 )
0 = ( )
0
( cos θ )
- sin θ , dR_P ( )
0
( 0)
1 = ( )
0
( sinθ)
cosθ .

La base correspondante de LieG ≡ Γ^G(TG) est donc

X (P ) = ∂-,X (P ) = cosθ-∂- - sin θ-∂-etX (P ) = sin θ-∂-+ cosθ-∂- θ ∂θ a ∂a ∂b b ∂a ∂b

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier les relations de commutation

[X θ,Xa ] = - Xb, [Xθ,Xb ] = +Xa et [Xa, Xb ] = 0

2.4.6 Exemple : champs invariants sur SU(2)

Le groupe SU(2) est difféomorphe à la sphère S³. Pour le voir, il suffit d’écrire un élément g de SU(2) comme une matrice ( )
α β
- β * α * , obéissant à la condition g^† = g^-1. Alors, detg^†g = 1, c’est à dire

2 2 2 2 Re (α ) + Im (α ) + Re (β) + Im (β) = 1

On obtient ainsi l’équation cartésienne d’une 3-sphère. On peut donc se représenter visuellement SU(2) comme une sphère dotée d’une structure multiplicative (non commutative d’ailleurs). Attention, il ne faudrait pas se laisser abuser par cet exemple : seules les sphères S⁰ = Z Z₂, S¹ = U(1) et S³ = SU(2) sont des groupes (et S⁷ est “presque” un groupe). Ces particularités des dimensions 0, 1, 3, 7 sont liées à l’existence des algèbres de division suivantes : les corps I R (les réels), lC (les complexes), I H (les quaternions) et les octaves de Cayley (octonions)

Revenons à la sphère S³ qu’on peut donc identifier avec le groupe de Lie SU(2). Posons X_i = i∕2σ_i, où les σ_i sont les matrices de Pauli (section 2.2.2). On peut paramétriser un point quelconque g par trois angles d’Euler ψ,θ,ϕ en écrivant

g = R3 (ψ)R1 (θ )R3 (ϕ), 0 < ψ ≤ 4π,0 < θ ≤ π,0 ≤ ϕ ≤ 2π

R_i(x) = exp(tX_i) est une rotation d’angle x autour de l’axe i. On considère, dans SU(2) les courbes obtenues par translation à droite, D_i(t) = gR_i(t) et nous notons X_i^R(g) les champs fondamentaux à droite correspondants (les champs invariants à gauche). En terme du repère naturel associé aux coordonnées d’Euler, on obtient le repère mobile :

( ) ( ∂ ) XR1 ∂θ- ( XR2 ) = N ( ∂∂ψ-) XR -∂ 3 ∂ϕ

avec

( ) cosϕ sinϕ- - sin ϕ cotθ ( -si cnoθsϕ ) N = sinϕ sinθ cosϕ cotθ 0 0 1

Les relations de commutation s’écrivent

[XR1 ,XR2 ] = - XR3 etc

Le corepère mobile correspondant {X^iR} (le dual du repère mobile {X_i^R}) est donné par

(X1R, X2R, X3R ) = (dθ,dψ, dϕ)N -1

On peut aussi considérer les courbes G_i(t) = R_i(t)g obtenues par translation à gauche. L’expression des champs de vecteurs invariants à droite X_i^L (et des formes correspondantes X^iL) s’exprime à l’aide des formules précédentes en interchangeant simplement partout les coordonnées ϕ et ψ. Les relations de commutation s’écrivent alors

[XL1 ,XL2 ] = +XL3 etc

et on vérifie que

R L [X i ,Xj ] = 0

2.4.7 Une remarque sur les constantes de structure

Soit G un groupe de Lie et choisissons une base X_α dans son algèbre de Lie, ensemble que nous identifions, en tant qu’espace vectoriel, avec l’espace tangent T(G,e). Les vecteurs X_α déterminent, comme nous l’avons vu, des champs de vecteurs invariants à gauche X_α(⋅). L’espace de ces champs de vecteurs étant, comme on le sait, de dimension finie et étant lui-même identifiable à l’algèbre de Lie de G, on peut écrire, en tout point P de G,

[X α(⋅),X β(⋅)](P) = fαγβ(P )X γ(P)

On voit qu’on a ainsi obtenu un repère mobile global (les {X_α(P)}) pour lequel les fonctions de structure sont les f_αβ^γ(P). En fait, ces f_αβ^γ(P) sont des constantes : elles ne dépendent pas de P ∈ G. Ceci résulte du fait que le commutateur de deux champs invariants à gauche est lui-même un champ invariant à gauche.

Rappelons que, pour une variété différentiable quelconque, les fonctions de structure d’un repère mobile dépendent généralement du point où elles sont évaluées ; par contre, on voit ici que, lorsque cette variété est un groupe de Lie et que le repère mobile choisi est un champ de vecteurs invariant à gauche, ces fonctions de structure f_αβ^γ sont des constantes de structure : elles ne dépendent que de la base choisie dans T(G,e) et non du point P où elles sont calculées.

En utilisant des champs invariants à droite, on pourrait mener une discussion analogue, c’est à dire, en particulier, associer à toute base {X_α} de T(G,e) un repère mobile global constitué de champs invariants à droite X^L(g) = Xg et obtenir des constantes de structure g_αβ^γ = -f_αβ^γ.

2.4.8 La forme de Maurer-Cartan

Il existe en fait deux formes de Maurer-Cartan : l’une est “gauche” et l’autre est “droite”. Tout le monde utilisant des champs invariants à gauche pour définir l’algèbre de Lie, on parle alors de “la” forme de Maurer-Cartan.
La forme de Maurer-Cartan θ est une forme au sens généralisé du mot. En effet, elle est à valeurs, non pas dans le corps des réels (ou des complexes) mais dans une algèbre de Lie. Son rôle est de ramener les champs invariants (à gauche) à l‘origine : soit X_α(g) un champ invariant à gauche, on définit θ_g par $|------------------| -θg(X-α(g))-=-X-α(e)-$ En notant {θ^α(g)} la base duale, au point g de G de la base {X_α(g)} et en notant simplement X_α = X_α(e), on voit que $θg = θα (g ) ⊗ X α ∈ T *(G, g) ⊗ T (G, e)$ en effet,

$θg(X β(g)) = θα(g)(X β(g))X α = δαβX α = X β$ L’application θ_g va de T(G,g) dans T(G,e). La forme de Maurer-Cartan elle-même θ = θ^α(⋅) ⊗ X_α, qu’on peut simplement noter θ^αX_α, va de TG dans LieG = T(G,e). En résumé, θ ∈ Ω¹(G,LieG).
Si u ∈ TG, c’est à dire que u est un vecteur en un certain point g, on peut, a priori décomposer u sur une base de champs invariants à gauche au point g : u = u^αX_α(g). On sait que θ(u) est alors l’élément de l’algèbre de Lie (identifiée ici avec T(G,e)) égal à θ(u) = u^αX_α(e) = u^αX_α. Puisque θ = θ^αX_α, on définit dθ = dθ^αX_α (rappelons que X_α ≡ X_α(e)), mais on sait que, pour un repère mobile quelconque (voir chapitre précédent), on a dθ^α + f_βγ^αθ^βθ^γ = 0 où les f_βγ^α sont les fonctions de structure du repère mobile ; ici les “fonctions de structure” sont les constantes de structure. Pour deux formes ω et σ à valeurs dans une algèbre de Lie (ω = ω^αX_α et σ = σ^αX_α) on définit le crochet
$[ω ∧ σ ] = [ωαX α ∧ σβX β ] = ω α ∧ ω β[X α,X β] = ω α ∧ σ βfγαβX γ$ Ainsi donc l’équation de structure de Maurer-Cartan s’écrit $|-----------------| |dθ + 12[θ ∧ θ] = 0 | ------------------$
Attention aux facteurs 1∕2 et aux notations : la présence du [,] autour du symbole ∧ est indispensable dans la définition de [ω∧σ] et on voit que le crochet, en ce sens, d’une p-forme à valeurs dans LieG avec une q-forme du même type est une (p + q)-forme à valeurs dans LieG. Prenons de nouveau ω et σ dans Ω¹(G,LieG) et évaluons-les sur des vecteurs u et v : ω(u) = ω^α(u)X_α, σ(v) = σ^β(v)X_β. On peut aussi définir $[ω, σ](u,v) = [ω (u),σ(v)]$ Alors [ω^α(u)X_α,σ^β(v)X_β] = ω^α(u)σ^β(v)[X_α,X_β] = ω^α(u)σ^β(v)f_αβ^γX_γ, mais par ailleurs, ω^α∧ω^βf_αβ^γX_γ(u,v) = (u,v) = 2ω^α(u)ω^β(v)f_αβ^γX_γ Ainsi [ω ∧ ω](u,v) = 2[ω,ω](u,v) et l’équation de Maurer-Cartan peut s’écrire également sous la forme $dθ + [θ,θ] = 0$ On peut utiliser indifféremment le crochet [ ∧] ou le crochet [,] mais ils diffèrent par des facteurs numériques. Par ailleurs, de nombreux auteurs désignent [ ∧] par [ , ] !
La forme de Maurer-Cartan ci-dessus, définie à l’aide de champs fondamentaux à droite (c’est à dire à l’aide de champs invariants à gauche) est celle qui est le plus utilisée. Il ne faut pas oublier qu’“A travers le miroir” existe une forme analogue, définie à partir des champs invariants à droite. Notons ω la forme de Maurer-Cartan “à droite”. Par une méthode analogue à celle qui précède, on montre que ω satisfait à l’équation de structure $1 dω - --[ω ∧ ω ] = 0 2$