Espaces fibres principaux

3.2 Espaces fibrés principaux

3.2.1 La structure d’espace fibré principal

Une fibration (P,M,π) est un espace fibré principal lorsque les trois conditions suivantes sont satisfaites :

(P,M,π) est un espace fibré localement trivial.
Un groupe de Lie G agit (à droite) sur P, et ce, de façon transitive dans chaque fibre.
Toutes les fibres sont homéomorphes à G.

Les trois conditions ci-dessus sont obligatoires pour qu’on puisse parler de fibré principal car nous verrons un peu plus loin des exemples où (1) et (2) sont vérifiées (mais pas (3)) et des exemples où (1) et (3) sont vérifiées (mais pas (2)).

En général, on considère des espaces fibrés principaux à droite, comme ci-dessus, mais il est bien évident qu’on peut également considérer des espaces fibrés principaux à gauche.

Le groupe G (la fibre type) est généralement désigné sous le nom de groupe structural du fibré considéré. Afin d’alléger les notations, nous noterons très simplement l’action de G sur P : Soient z₁ ∈ P et g ∈ G, l’image z₂ de z₁ sous l’action de g sera notée z₂ = z₁g, ce qui peut être décrit, de façon imagée, par la figure 3.5.

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Figure 3.5: Action du groupe structural sur un espace fibré principal

Attention : Parce que G agit sur P, de nombreux physiciens désignent ces transformations de P dans P (du type z ∈ Pz′ = zg,g ∈ G) sous le nom de transformations de jauge globales et désignent également G lui même sous le nom de groupe de jauge ; cependant nous réserverons ce dernier vocable (groupe de jauge) pour le groupe des transformations de jauge locales que nous définirons un peu plus loin.

La relation z₂ = z₁g est formellement très semblable à la relation élémentaire A₂ = A₁ + -→
V où A₁ et A₂ désignent deux points d’un espace affine et où -→
V désigne un vecteur de l’espace vectoriel sous-jacent. Les élèves de nos lycées savent bien qu’on peut “soustraire” deux points en écrivant -→V = A₂ -A₁ (on n’a pas le droit d’“additionner” deux points !). De la même façon, on pourra écrire ici g = z₁^-1z₂, puisque z₁g = z₂ et que g est bien déterminé par la donnée de z₁ et de z₂. Notons enfin que l’analogue de la célèbre “relation de Chasles” s’écrit z₁^-1z₂ = (z₁^-1z₃)(z₃^-1z₂).

3.2.2 Sections locales et trivialisations locales

Dans le cas d’un fibré principal, chaque fibre G_x au dessus de x, élément de M est une “copie” du groupe G, mais il s’agit d’une copie au sens topologique (ou différentiable) du terme car l’origine du groupe G (l’élément neutre) est connue mais celle de la fibre G_x ne l’est pas ! Afin de mieux faire sentir le sens de cette importante remarque, considérons l’exemple suivant 3.6

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Figure 3.6: L’origine de la fibre (copie du cercle U(1)) au dessus de x est marquée par la section σ

Dans le cas présent, P est un cylindre fini P = M ×S¹ où M est un intervalle et S¹ désigne le cercle de rayon 1 ; la fibre au dessus de x est un cercle, et ce cercle, comme tous les cercles, est homéomorphe au groupe U(1). Sur ce cercle, tous les points “se valent” et on ne sait pas multiplier un point par un autre. Par contre, si le cercle est marqué par une origine, il devient isomorphe au groupe U(1) et on sait alors multiplier les points (e^iθe^iα = e^i(θ+α)). Le groupe U(1) agit bien sur l’ensemble P ci-dessus en faisant tourner un point quelconque z ∈ P d’un angle θ.

Revenons au cas général d’un fibré principal (P,M,π) de groupe structural G. Le choix d’une section locale x ∈ U ⊂ Mσ(x) ∈ P permet de “marquer une origine” sur chacune des fibres G_x situées au dessus de l’ouvert U. En d’autres termes, le choix d’une section locale σ permet d’identifier la fibre G_x avec le groupe G lui-même. La façon la plus simple d’exprimer ceci de façon algébrique consiste à montrer qu’à la section locale σ on peut associer une trivialisation locale ψ_U définie comme suit : soit z ∈ P, alors ψ_U(z) = (x; g_σ) où x = π(z) et où g_σ désigne l’unique élément de G défini par z = σ(x)g_σ. En effet, z et σ(x) étant dans la même fibre, il existe un et un seul élément g_σ de G permettant de passer de σ(x) à z ; l’existence et l’unicité de cet élément g_σ résulte des axiomes (2) et (3) de la structure de fibré principal. Une section locale σ définit donc également une application — que nous noterons encore g_σ — de P dans G ; en d’autres termes, les “composantes” de z ∈ P sont x = π(z) ∈ M et g_σ = g_σ(z) ∈ G. La composante x est canoniquement définie par la structure fibrée et la composante g_σ résulte du choix d’une section locale σ.

Il faut enfin noter que le choix d’une section locale permet de définir localement l’action à gauche du groupe G sur P ; en effet, en plus de l’action à droite z ∈ P,k ∈ G → zk = (x; g_σ)k = (x; g_σk) ∈ P qui ne dépend pas de σ et qui est globalement définie puisqu’elle résulte de la structure d’espace fibré principal, on peut définir localement une action à gauche z ∈ P,k ∈ G → (kz)_σ = (x; kg_σ) ∈ P, qui dépend de σ.

Supposons que nous ayons fait le choix d’une section locale σ au dessus de l’ouvert U et d’une section locale τ au dessus de l’ouvert V ; si on fait un choix de z ∈ P tel que la projection π(z) appartienne à l’intersection U ∩ V , on peut écrire aussi bien z (x; g_σ) que z (x; g_τ). Il existe donc un élément g_στ du groupe G (et en fait une fonction g_στ(x) définie sur U ∩ V ) tel que g_σ = g_στg_τ. Cette fonction porte le nom de fonction de transition . Ces fonctions de transition permettent en fait de reconstruire le fibré principal lui-même. On montre qu’étant donnés un atlas de M et une famille de fonctions de transition obéissant à une certaine propriété (dite de cocycle) sur les triples intersections, il est possible de reconstruire l’espace fibré dont on est parti.

3.2.3 Exemple fondamental : le fibré des repères linéaires

L’exemple qui suit est fondamental, non seulement parce qu’il est mathématiquement important — il est d’ailleurs à l’origine de toute la théorie des espaces fibrés — mais aussi parce qu’il permet de fournir un support à notre intuition géométrique, en particulier dans le cas où l’on s’intéresse à des fibrés principaux (P,M,π) quelconques. L’exemple fondamental étudié ici nous permettra de développer les analogies suivantes :

Considérer l’espace total P comme un ensemble de repères généralisés sur la base M.
Considérer le groupe structural G comme groupe de transformations de repères.
Considérer un élément quelconque z de P comme un repère (généralisé) situé au point x de M (avec x = π(z)).
Considérer toute section locale σ(x) comme un repère mobile (généralisé) dans l’ouvert U.
Considérer les fonctions de transition g_στ comme décrivant des changements de repère mobile.
etc

Soit M une variété différentiable de dimension n. En chaque point x de M nous avons un espace tangent T(M,x) et nous pouvons considérer l’ensemble G_x de tous les repères en x. Un point z de G_x est donc un repère en x, c’est à dire la donnée de n vecteurs indépendants de T(M,x). Soit P = ⋃ _x∈MG_x l’ensemble de tous les repères de M. Notons π l’application qui, à un repère centré sur x, associe l’origine x elle-même ; il est facile de voir que (P,M,π) est un espace fibré principal de groupe structural GL(n). Il est clair, en effet, que le groupe linéaire GL(n) agit transitivement sur chaque fibre de P : la fibre G_x au dessus de x n’est autre que l’ensemble des repères en x et il est bien évident qu’on peut toujours passer d’un repère z = (z_i)_i∈{1…n} à un repère z′ = (z′_j) au même point x à l’aide d’un élément g = (g_jⁱ) de GL(n) : (z′_j = z_ig_jⁱ). Par ailleurs, le fait que l’ensemble G_x des repères en x soit homéomorphe à GL(n) peut se voir de la façon suivante : marquons (choisissons) un repère de référence σ = (σ)_i en x ; alors, tout élément g de GL(n) définit un nouveau repère z = σg au même point, mais réciproquement, tout nouveau repère z détermine un et un seul élément g de GL(n) tel que z = σg. On obtient donc une correspondance bi-univoque entre repères en x et éléments de GL(n) ; bien entendu, cette correspondance dépend du choix du repère de référence σ. Il resterait à montrer que cette application est bel et bien continue et à vérifier les conditions de trivialité locale. Le fibré principal P ainsi construit se note parfois FM (pour “Frame bundle of M”) et s’appelle le fibré des repères linéaires sur M. Nous invitons le lecteur à relire la sous-section précédente avec cet exemple en tête ; il est alors clair qu’une section locale n’est autre qu’un repère mobile choisi dans le domaine d’un ouvert et qu’une fonction de transition n’est autre qu’un changement de repère mobile.

3.2.4 Sous-espace des vecteurs verticaux en un point z d’un espace fibré

Soit P un espace fibré principal et z un élément de P. P est, en particulier, une variété, et toutes les constructions étudiées dans le contexte des variétés différentiables peuvent être effectuées et on peut donc considérer l’espace tangent à P en z que l’on notera T(P,z). Cet espace vectoriel est évidemment de dimension m + n lorsque dimM = m et dimG = n, M et G désignant respectivement la base et la fibre type de P.
Plutôt que de considérer l’espace tangent à tout l’espace P en z, nous pouvons considérer l’espace tangent à la fibre F_x de P qui passe par z (c’est à dire x = π(z)) ; cet espace vectoriel V _z = T(F_x,z) est naturellement un sous-espace vectoriel de T(P,z). Sa dimension est égale à n puisque toutes les fibres ont dimension n. Le sous-espace V _z s’appelle espace tangent vertical au point z.
Intuitivement, un vecteur est un petit déplacement (une flèche !). Un vecteur de l’espace tangent T(P,z) est donc un déplacement infinitésimal d’un “repère” (nous pensons intuitivement à z comme étant une sorte de repère généralisé). Un déplacement infinitésimal dans l’ensemble des repères peut s’analyser à l’aide de deux mouvements très différents : on peut faire tourner le repère (sans bouger l’origine) mais on peut également déplacer l’origine du repère. Les déplacements verticaux du point z correspondent à des mouvements de z dans sa fibre : on ne déplace pas le point de base x = π(z) ; ainsi, les vecteurs de V _z (les vecteurs verticaux en z) correspondent à des déplacements infinitésimaux du repère z qui n’entraînent aucun déplacement de l’origine x : on se contente de “faire tourner” infinitésimalement (à l’aide d’une “petite transformation” du groupe G) le repère z en x.
Le lecteur pourra s’étonner de ne trouver, dans ce chapitre, aucun paragraphe intitulé “sous-espace horizontal” ; il y a, à cela, une excellente raison : alors que la notion de sous-espace vertical peut se définir canoniquement, comme on vient de le voir, pour tout fibré principal, il n’est par contre pas possible de définir canoniquement, tout au moins en général, la notion de déplacement horizontal ; une telle notion est tributaire d’un choix. L’étude des choix possibles —pour un fibré principal donné— définit, en quelque sorte, la théorie des connexions et fait l’objet du chapitre suivant.
Le groupe G agissant (à droite) sur l’espace P, on peut définir, comme d’habitude (voir le chapitre sur les groupes) des champs fondamentaux ϵ_α associés aux éléments X_α de l’algèbre Lie(G). Par construction, ϵ_α(z) est un vecteur vertical au point z et l’ensemble {ϵ_α(z)}_α∈{1…n} constitue une base de l’espace vectoriel V _z.
Si z′ = zg désigne le repère issus de z par une “rotation” finie g, on pourra écrire ϵ_α(z) = zX_α et interpréter ϵ_α(z) comme une déplacement infinitésimal du “repère” z à l’aide de la “rotation infinitésimale” X_α.
Pour ne pas alourdir le texte, nous supprimerons les guillemets autour des mots “repère” et “rotation” dans la suite du texte, mais le lecteur devra se souvenir que ces mots désignent respectivement les éléments du fibré principal considéré (qui ne sont pas nécessairement des repères au sens usuel du terme) et les éléments du groupe structural (qui n’est pas nécessairement un groupe de rotations).
Les champs z → ϵ_α(z) sont des champs fondamentaux à droite puisque P est —comme d’habitude— un fibré principal muni d’une action à droite. A moins que P ne soit trivial (voir section suivante) il n’existe pas d’action de G à gauche de P, en tous cas, pas d’action qui soit canoniquement définie. Par contre, on peut toujours trivialiser P localement en choisissant une section (locale) x ∈ Mσ(x) ∈ P ; on a vu qu’une telle section permettait d’identifier la fibre F_x avec G lui-même en associant au point z ∈ F_x l’élément g_σ de G défini par l’équation z = σ(x)g_σ. On a alors non seulement une action de G à droite mais également une action de G à gauche définie par k ∈ G,z = (x,g_σ) ∈ Pz′ = (x,kg_σ) ∈ P. Cette action dépend de la section σ et permet de définir localement des champs fondamentaux à gauche e_α(z) ; ces champs dépendent donc également du choix de la section σ et, si la chose est nécessaire, on pourra les noter ^σe_α.
Pour résumer, on pourra dire que la fibre F_x au dessus de x apparaît comme une copie du groupe G, le choix d’une section locale σ(x) permet de marquer l’origine (l’identité du groupe) sur la fibre F_x. On peut ainsi identifier G avec F_x et l’algèbre de Lie de G avec l’espace vertical T(F_x,σ(x)) au point σ(x). Le groupe G agit sur lui-même par multiplications à gauche et à droite, il agit canoniquement sur F_x, du côté droit, puisqu’on a affaire à un fibré principal, mais on peut aussi le faire agir à gauche dès qu’on a identifié G avec F_x, c’est à dire dès qu’on a choisi une section σ(x). Le choix de σ permettant d’identifier G avec F_x permet donc également de définir une forme de Maurer-Cartan ^σθ(x) pour la fibre F_x. Cette forme “ramène” donc à l’origine σ(x) les vecteurs verticaux appartenant à V _σ(x)g.

3.2.5 Fibré principal trivial

Un fibré principal (P,M,π) de groupe structural G est trivial si, par définition, P est homéomorphe au produit cartésien M ×G (la projection π étant la projection sur le premier facteur). dans ce cas, il existe plusieurs (en général une infinité de) sections globales puisque toute application différentiable de M dans G définit une section globale : considérer par exemple l’application constante qui, à tout point de M associe l’identité de G. Réciproquement, supposons qu’un fibré principal possède une section globale σ, on peut alors considérer l’application de P dans M × G définie par z → (x,g) avec x = π(z) et g tel que z = σ(x)g ; on fabrique ainsi un homéomorphisme entre P et M × G.

En conclusion, un fibré principal est trivial si et seulement s’il possède une section globale. Lorsque P est trivial, son identification avec M × G résulte, comme on vient de le voir, du choix de la section globale σ ; on écrira simplement P = M × G si cela ne prête pas à confusion. Noter que, dans un tel cas, les champs fondamentaux à droite ϵ_α et à gauche ^σe_α sont tous deux globalement définis.

Attention : pour des fibrés non principaux (voir plus loin), le fait de posséder une section globale n’est pas suffisant pour assurer la trivialité.

Nous n’aborderons pas le problème de la classification des espaces fibrés, le lecteur interessé devrait consulter [8].

3.2.6 Formes basiques, invariantes et horizontales

Formes basiques: L’existence de l’application de projection π : PM permet, comme nous le savons, de projeter les vecteurs de TP sur les vecteurs de TM, en utilisant l’application tangente π_* ; l’application cotangente, π^*, permet, quant à elle, de faire voyager les formes dans l’autre sens. L’image, par π^* d’une forme différentielle sur M est une forme particulière sur P qu’on appelle une forme basique. On obtient un homomorphisme injectif d’algèbres différentielles $* π : Ω(M ) ↦→ Ω (P )$ On peut donc identifier l’algèbre Ω(M) avec la sous-algèbre des formes basiques π^*(Ω(M)) ⊂ Ω(P).
Formes horizontales: Une forme sur P est horizontale, par définition, si elle s’annule sur les vecteurs verticaux. Etant donné que l’espace tangent vertical en un point z de P est engendré par les champs de vecteurs fondamentaux X_α(z), avec X_α ∈ Lie(G), il suffit de tester l’annulation sur les champs en question. En d’autres termes, soit X ∈ Lie(G) et désignons i_X le produit intérieur d’une forme par le champ X(z) ; la forme ω ∈ Ω(P) est donc une forme horizontale si et seulement si, pour tout X, $i ω = 0 X$
Formes invariantes: Puisque le groupe G agit sur P, on peut s’intéresser à son action infinitésimale sur les formes décrite par la dérivée de Lie L_X = di_X + i_Xd. On dit qu’une forme ω est une forme invariante si et seulement si, pour tout X, $LX ω = 0$
Formes basiques (bis): Le fait qu’une forme basique soit à la fois invariante et horizontale est assez intuitif. Formellement cette propriété découle immédiatement de l’invariance π(zg) = π(z) lorsque g ∈ G. Retenons : La forme ω est une forme basique si et seulement si, pour tout X, $LX ω = 0etiXω = 0$ c’est à dire si et seulement si ω et dω sont horizontales.
Remarque : Opération de Cartan: Nous nous servirons assez peu de ces notions de formes basiques, de formes invariantes ou de formes horizontales, dans la suite de cet ouvrage. Cela dit, il faut bien noter que les notions qui viennent d’être discutées fournissent une formulation algébrique assez compacte de la notion d’espace fibré principal (nous n’avons rien utilisé d’autre !) On peut, de fait, utiliser ces propriétés pour définir la notion d’opération (de Cartan) d’une algèbre de Lie, 𝔤, sur une algèbre différentielle commutative graduée Ω (c’est bien le cas de l’algèbre des formes différentielles sur une variété). On dit qu’on a une opération de Cartan lorsqu’à tout X ∈ 𝔊, on associe une anti-dérivation i_X (de degré -1) et une dérivation L_X = di_X + i_Xd (de degré 0) telles que, ∀X,Y ∈ 𝔊, on ait L_{[X,Y ]} = L_XL_Y - L_YL_X et i_{[X,Y ]} = L_Xi_Y - i_YL_X. La donnée d’un fibré principal P fournit automatiquement une opération de Cartan de Lie(G) sur Ω(P) mais il est certain que la notion d’opération de Cartan est plus générale. Dans ce cadre plus général, on définit encore les sous espaces ℌ, ℑ et 𝔅 = ℌ∩ℑ des formes horizontales, invariantes et basiques, et on montre aisément que ces trois sous-espaces de Ω sont des sous-algèbres différentielles graduées de Ω.
Remarque : Champs de vecteurs projetables: Nous rappelons ici la définition des champs de vecteurs projetables par une application différentiable (dans ce cas, il s’agit de la projection π : PM du fibré considéré), notion générale déjà introduite au chapitre 1. Ici l’ensemble des antécédents de x ∈ M par π n’est autre que la fibre au dessus du point x. Un champ de vecteurs V ∈ ΓTP est donc dit projetable si et seulement si π_*V _z = π_*V _zg pour tout g ∈ G.
Plusieurs propriétés des espaces fibrés (et des connexions) pourraient s’enoncer en utilisant cette notion, que nous n’utiliserons pas explicitement dans la suite.

3.2.7 Exemples

Le fibré des repères linéaires

Nous avons déjà étudié cet exemple en détail en 3.2.3 et nous verrons un peu plus loin divers exemples analogues.

Fibration d’un groupe G en sous groupes H au dessus de G∕H

Notre premier exemple sera à la fois élémentaire et discret : notre espace total P = Z Z est l’ensemble des entiers relatifs et la projection π est celle qui, à un entier, associe sa classe modulo p (p désignant un entier quelconque choisi une fois pour toutes). Le groupe structural est alors le sous-groupe pZ Z de Z Z. Illustrons ceci, dans le cas p = 3 par la figure 3.7
$\text{[math]}$

Figure 3.7: Les entiers modulo 3

L’espace total Z Z s’écrit donc ici comme réunion de trois fibres. La fibre type est le groupe additif des multiples de 3, noté 3Z Z et l’espace des fibres —la base— possède trois points : Z Z∕3Z Z = {0,1,2} et est un quotient de Z Z. La notation adoptée, pour l’action du groupe structural sur l’espace total Z Z est ici une notation additive et non pas une notation multiplicative (mais cela devrait être assez clair !), ainsi, l’élément 11 de la fibre 2 peut s’obtenir à partir de l’élément -1 de la même fibre sous l’action de 3Z Z en écrivant 11 = -1 + 3 × 4.
Après cet exemple discret et extrêmement élémentaire (l’art de reconsidérer des choses bien connues avec un éclairage différent … !) passons à un autre exemple, presque aussi élémentaire, mais “continu”. L’espace total, comme dans l’exemple précédent, est un groupe, ici le groupe SU(2). Rappelons, que SU(2) est topologiquement identifiable à la sphère S³. Nous choisissons un sous-groupe U(1), c’est à dire un grand cercle passant par l’origine et effectuons une décomposition en classes de SU(2) par rapport à cet U(1) : soit g un élément de SU(2) qui n’appartienne pas au U(1) choisi, on construit alors l’ensemble g = gU(1) = {gh|h ∈ U(1)}. Ensuite, on choisit un élément k qui n’appartienne ni au U(1) choisi, ni à g. On construit alors k = kU(1) et on continue … On écrit ainsi le groupe SU(2) comme une réunion (infinie) de classes du type g = gU(1), l’ensemble de ces classes étant par définition, l’ensemble quotient SU(2)∕U(1) qu’on identifie (voir le chapitre sur les groupes et espaces homogènes) avec la sphère S². Le groupe SU(2) —c’est à dire la sphère S³— peut donc être considéré comme réunion d’une infinité de cercles S¹ paramètrée par la sphère S².
$\text{[math]}$

Figure 3.8: La fibration de Hopf pour S³

Bien évidemment, le groupe U(1) agit, par multiplication à droite, sur l’espace total SU(2) (dans la construction précédente on a choisi U(1) comme sous-groupe de SU(2)). Cette fibration en cercles de S³ est souvent utilisée et porte le nom de “fibration de Hopf” (pour S³).
Avant de généraliser cet exemple, notons que la sphère S³ n’est, en aucun cas homéomorphe au produit cartésien S² × S¹, ce qui ne l’empêche pas d’être un fibré en cercles au dessus de S². En d’autres termes, les deux espaces fibrés principaux S³S² et S² × S¹S² (avec projection canonique évidente) ont même structure locale —ils sont tous deux fibrés en cercles au dessus de S²— mais le second est trivial alors que le premier ne l’est pas.
Passons maintenant à la généralisation de l’exemple qui précède. Soit G un groupe de Lie et H un sous-groupe de Lie, qu’on supposera fermé dans G pour que la topologie du quotient soit séparée. On considère la relation définissant les classes à gauche de H : g et k sont reliés si k appartient à l’ensemble gH. Il s’agit d’une relation d’équivalence et on peut écrire G comme réunion de ses classes gH ; l’ensemble des classes étant, par définition, l’ensemble quotient G∕H. Il est évident que H agit (à droite) sur G et que l’application GG∕H qui, à tout élément associe sa classe g = gH, définit une fibration principale. Tout groupe G est donc ainsi un espace fibré principal au dessus de G∕H, le groupe structural étant H. Notons que l’espace quotient (la base du fibré) G∕H n’est généralement pas un groupe, à moins que H ne soit un sous groupe distingué de G, c’est à dire à moins que les classes à gauche et à droite ne coïncident. La propriété qui précède est illustrée par la figure 3.9 et est à l’origine d’une multitude d’exemples que le lecteur pourra construire en utilisant les données “zoologiques” concernant les groupes de Lie et les espaces homogènes (voir chapitre précédent).
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Figure 3.9: Fibration principale d’un groupe au dessus d’un espace homogène
Indiquons simplement ci-dessous quelques familles de fibrations principales, basées sur la construction précédente. Nous utilisons la notation H-→G-→G∕H pour caractériser une telle fibration de G au dessus de G∕H. Le nom figurant en titre est celui donné à l’espace quotient.
Variétés de Stiefel réelles
$SO (m ) - → SO (n) - → Vn-m (IRn ) = SO (n)∕SO (m ) = O (n)∕O (m )$
Variétés de Stiefel complexes
$n SU (m ) -→ SU (n) -→ Vn -m(lC ) = SU (n )∕SU (m ) = U (n )∕U(m )$
Variétés de Stiefel quaternioniques
$n Sp (m) -→ Sp (n) -→ Vn- m(IH ) = Sp (n )∕Sp(m )$
Si x = x₀ + ix₁ + jx₂ + kx₃ ∈ I H, alors x = x₀ - ix₁ - jx₂ - kx₃, et (x|y) = ∑ x_iy_i. Comme dans le chapitre précédent, la notation Sp(n) désigne le groupe de Lie compact simplement connexe correspondant à la forme réelle compacte de l’algèbre de Lie complexe C_n. Avec d’autres notations : Sp(n) = U(n, I H) = {u ∈ GL(I H)|(u(x)|u(y)) = (x|y). Le groupe symplectique (non compact) usuel correspondant à la même algèbre de Lie C_n sera généralement plutôt désigné par la notation Sp(2n, I R).

Le cas m = n - 1 mérite une attention particulière puisque nous obtenons les sphères de cette façon.
$n-1 S = SO (n)∕SO (n - 1) = O (n)∕O (n - 1) S2n-1 = SU (n )∕SU (n - 1) = U (n)∕U (n - 1) 4n-1 S = Sp (n)∕Sp (n - 1)$

Noter que la même sphère peut être obtenue comme base de plusieurs fibrations différentes de groupes de Lie (trois possibilités si elle est de dimension 4n - 1, deux possibilités si elle est de dimension 2n - 1 et une seule possibilité si elle est de dimension paire). Il existe encore quelques autres possibilités dites “exceptionnelles” et nous y reviendrons plus loin.
Si nous divisons les groupes orthogonaux O(n) ou SO(n) — ou leurs analogues complexes ou quaternioniques — par un sous groupe maximal quelconque, nous obtenons plus généralement les variétés de Grassmann et les fibrations principales correspondantes :
Grassmaniennes réelles orientées
$n SO (m )×SO (n- m ) - → SO (n) -→ SGm (IR ) = SO (n)∕SO (m ) × SO (n - m )$
Grassmaniennes complexes orientées
$n SU (m )×SU (n- m ) - → SU (n) -→ SGm (Cl ) = SU (n)∕SU (m ) × SU (n - m )$
Grassmaniennes quaternioniques
$n Sp(m ) × Sp(n - m ) -→ Sp (n) -→ Gm (IH ) = Sp (n)∕Sp (m ) × Sp (n - m )$

Les Grassmaniennes non orientées réelles et complexes sont
$Gm (IRn ) = O (n)∕O (m ) × O(n - m )etGm (lCn ) = U (n)∕U (m ) × U(n - m )$
Le cas m = n- 1 mérite également une mention particulière puisque nous obtenons ainsi les espaces projectifs réels (I RPⁿ), complexes (lCPⁿ) et quaternioniques (I HPⁿ).
$n IRP = SO (n)∕SO (n - 1) × ZZ2 lCP n = SU (n)∕S(U (n - 1) × U (1)) n IHP = Sp(n)∕S (Sp(n - 1) × SU (2))$

Le lecteur devrait également connaître l’existence des difféomorphismes exceptionnels suivants : lCP¹ ~ S² et I HP¹ ~ S⁴. Une remarque sur les notations : H = S(U(n - 1) × U(1)) désigne un sous groupe maximal de SU(n) ; on écrit quelquefois SU(n - 1) × U(1) pour désigner ce même sous groupe H mais une telle notation est un peu abusive puisque H est en fait en quotient du produit direct de ces deux groupes par un groupe discret (il ne faut pas compter l’unité deux fois !). Les deux objets ont bien évidemment la même algèbre de Lie. Une remarque analogue s’applique au cas symplectique (par ailleurs on se rappelle que Sp(1) et SU(2) sont isomorphes, ce qui explique l’apparition de ce dernier dans le tableau précédent).
Nous venons de voir que G peut être considéré comme espace fibré principal à droite au dessus de G∕H = {gH|g ∈ G} mais il peut être également considéré comme fibré principal à gauche au dessus de H\G = {Hg|g ∈ G}. L’étude de ce ce cas est évidemment tout à fait semblable à celle que l’on vient de mener.
Voici un autre cas particulier de la construction précédente. On part du groupe G×G (produit direct du groupe G avec lui même). On considère le sous-groupe diagonal G_Δ = {(g,g) ⊂ G × G|g ∈ G} qui est d’ailleurs isomorphe à G et on fabrique le quotient. En résumé, on a un fibré principal d’espace total G×G, de fibre type G_Δ ~ G et de base G×G G_Δ ~ G. La base est elle-même, en tant que variété, difféomorphe avec G, mais la structure de groupe ne passe pas au quotient puisque G_Δ n’a aucune raison d’être distingué dans G × G. Posant G_L = G × 1 et G_R = 1 × G, on voit qu’on peut écrire G ~ G_LG_R∕G_Δ. Cet exemple d’apparence innocent est assez subtil à analyser et pourra servir, dans la suite, pour discuter de connexions (ou de métriques) particulières sur les groupes de Lie. On peut aussi considérer les projections G_LG_RG_L ~ G et G_LG_RG_R ~ G qui définissent deux autres fibrés principaux (cette fois-ci, la structure de groupe passe au quotient).
Finalement, considérons le cas d’un sous groupe G qui n’est pas simplement connexe. On sait qu’il admet un revêtement universel simplement connexe et que G est isomorphe au groupe quotient |H où H est un sous groupe discret (distingué) du centre de G isomorphe au groupe d’homotopie π₁(G). On se retrouve donc dans la situation considérée précédemment d’une fibration de au dessus de G = |H avec groupe structural (fibre type) H, à ceci près que le groupe H est ici un groupe discret admettant une interprétation topologique particulière et que le quotient G est non seulement un espace homogène, mais est lui-même un groupe. Plus généralement d’ailleurs, tout sous groupe K ⊂ H ~ π₁(G) définit un revêtement ∕K qui est un fibré principal au dessus de G = ∕H avec fibres H|K (c’est bien un groupe puisque H est abélien) ; ce revêtement n’est pas universel puisque son π₁ est égal à K. Tout ceci est presque intuitif si on se représente ces fibrations par des figures telles que 3.10.
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Figure 3.10: Revêtements

Fibration d’un espace homogène G∕H₁ en groupes H₂ au dessus de G∕(H₁ × H₂)

Soit H un sous groupe de Lie d’un groupe de Lie G et supposons que H soit isomorphe au produit H₁ × H₂ de deux groupes de Lie. On peut alors considérer H₁ (en fait H₁ × Identité) comme sous groupe de G et on a une projection G∕H₁G∕(H₁ × H₂) de fibre H₂. L’action de H₂ (à droite) sur G∕H₁ est bien définie car H₁ et H₂ commutent, et donc (gH₁)h₂ = (gh₂)H₁ lorsque h₂ appartient à H₂. Vu la diversité des cas à considérer nous n’énoncerons aucun résultat précis dans ce cas. Néanmoins nous énoncerons les trois remarques suivantes :

“En général” la situation précédente conduit à un fibré principal H₂-→G∕H₁-→G∕(H₁ × H₂) de groupe structural H₂.
Bien souvent, et en particulier lorsque G est un groupe simple, le sous groupe H considéré n’est pas isomorphe au produit H₁ ×H₂ de deux groupes de Lie, mais au quotient d’un tel produit par un groupe discret (on a donc LieH = LieH₁ ⊕ LieH₂ au niveau des algèbres de Lie). Dans ce cas, le résultat “général” précédent est valable à condition de quotienter correctement par le groupe discret approprié.
Le lecteur pourrait être également tenté de considérer des doubles classes K\G∕H où H et K sont deux sous groupes de G. Attention : la projection G∕HK\G∕H ne définit en général pas une fibration principale, ni même une fibration, car le type topologique des fibres (ou même la cardinalité) peut varier d’un point à l’autre de la base.

Afin de conclure cette sous section consacrée aux exemples par un théorème précis concernant les fibrations principales d’espaces homogènes, nous considérons maintenant le cas suivant.

Fibration principale de G∕H en groupes N|H au dessus de G∕N, N étant le normalisateur de H dans G

Soit H un sous groupe de Lie du groupe de Lie G et soit N son normalisateur dans G. On rappelle que N = {n ∈ G|nH = Hn} ;end’autrestermes, N est le plus grand sous groupe de G dans lequel H est un sous groupe normal (on dit aussi sous groupe distingué). H étant normal dans N, il s’ensuit que les classes à gauche et à droite de N par rapport à H coïncident (voir ci-dessus la définition de N) et que l’espace homogène N|H = N∕H = H\N possède une structure de groupe. Par ailleurs, N agit à droite sur G∕H : soit gH ∈ G∕H et n ∈ N ; alors gHn = gnH ∈ G∕H. Cette action n’est pas fidèle car les éléments de H lui-même n’agissent pas : si h ∈ H, alors gHh = gH. Le fait de quotienter N par H rend précisément cette action fidèle. On peut se représenter les actions de G à gauche de G∕H et de N|H, à droite de G∕H par le schéma :

G -→ G ∕H ← - N |H

En utilisant seulement l’action à droite, on obtient ainsi une fibration principale dont l’espace total est G∕H et le groupe structural est N|H, il est facile de voir que la base de la fibration est l’espace homogène G∕N (voir figure 3.11).

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Figure 3.11: Fibration principale associée à l’action du groupe N|H sur l’espace homogène G∕H

Ce type de fibration principale est également à l’origine d’une multitude d’exemples. Les fibrations de Hopf des sphères au dessus des espaces projectifs réels, complexes ou quaternioniques sont d’ailleurs de ce type. En effet, on a

G = SO(n)	H = SO(n - 1)	N = SO(n - 1) × Z Z₂	N\|H = Z Z₂

G∕H = S^n-1	G∕N = I RPⁿ

G = SU(n)	H = SU(n - 1)	N = SU(n - 1) × U(1)	N\|H = U(1)

G∕H = S^2n-1	G∕N = lCP^n-1

G = Sp(n)	H = Sp(n - 1)	N = Sp(n - 1) × SU(2)	N\|H = SU(2)

G∕H = S^4n-1	G∕N = I HPⁿ

et on peut illustrer les fibrations correspondantes par la figure 3.12

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Figure 3.12: Fibrations de Hopf des sphères

On se souvient aussi que Z₂ ≡ S⁰, U(1) ≡ S¹ et SU(2) ≡ S³ ; ainsi les trois fibres types représentées sur la figure 3.12 sont non seulement des groupes, mais aussi des sphères.

Le lecteur pourra fabriquer aisément d’autres exemples de ce type en choisissant, pour tout groupe G donné, un sous groupe H qui ne soit pas trop “gros” (de façon à ce que N|H ne soit pas trop trivial). Voici un dernier exemple de ce type qui utilise les groupes de Lie exceptionnels : G = E₈, H = E₆ , N = (E₆ × SU(3))∕Z Z₃, N|H = SU(3)∕Z Z₃.

Fibrations exceptionnelles des sphères et des espaces projectifs

Il existe des fibrations exceptionnelles des sphères et des espaces projectifs qui ne sont pas liées aux inclusions de groupes unitaires, orthogonaux ou symplectiques (forme compacte) c’est à dire aux structures réelles, complexes ou quaternioniques. Certaines de ces fibrations sont liées à l’existence de l’“algèbre” non-associative des octaves de Cayley (octonions). On sait que pour n = 1, 2, 4, 8 (et ce sont les seules valeurs possibles), il existe une opération bilinéaire I Rⁿ × I RⁿI Rⁿ sans diviseurs de zéro (c’est à dire que a × b = 0 ⇒a = 0oub = 0), conduisant à la définition des corps I R, lC, I H et des octaves .

Certaines des fibrations mentionnées ici ne sont pas des fibrations principales (en particulier la fibre type n’est pas un groupe) mais elles y ressemblent beaucoup (on sait que la sphère S⁷, par exemple, est presque un groupe…) Nous donnons ici une liste de fibrations qui sont à la fois intéressantes et célèbres (la fibration de Hopf exceptionnelle de S¹⁵ !) bien qu’elles ne s’inscrivent pas logiquement toutes dans cette section puisqu’il ne s’agit pas toujours de fibrations principales. Nous ne les utiliserons pas dans la suite et ne les mentionnons que pour des raisons culturelles, en espérant que le lecteur pourra y retourner (soit-dit en passant, il reste à étudier de nombreux problèmes intéressants concernant ces objets).

fibre -→ espace total -→ base S7 -→ S15 -→ S8 Spin(7) -→ Spin (9) -→ S15 SU (3) -→ G2 -→ S6 1 2 2n+1 n ClP = S -→ ClP -→ IHP 2 Spin(9) -→ F4 -→ OP

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