3.3 Fibrés associés

3.3.1 Introduction

Comme nous l’avons vu précédemment, à une variété différentiable donnée, on peut attacher l’ensemble de tous les repères, et cet ensemble, qu’on désigne sous le nom de fibré des repères possède une structure d’espace fibré principal. Il est d’autres ensembles qu’on peut attacher à une variété donnée, par exemple, l’ensemble de tous ses vecteurs tangents, ou l’ensemble de tous ses tenseurs de type donné. Ces différents ensembles sont, d’une façon que nous allons rendre précise, “associés” au fibré des repères, en ce sens que le groupe structural — le groupe linéaire dans ce cas — agit également sur les composantes des vecteurs, tenseurs etc 

Plus généralement, nous allons définir des fibrés associés en “remplaçant” le groupe structural d’un fibré principal par un ensemble sur lequel ce groupe opère. D’un certain point de vue, on peut dire que les groupes eux-mêmes n’ont un intérêt que parce qu’ils agissent (opèrent) sur des ensembles bien choisis et cette théorie des actions de groupe — que nous avons sommairement décrite dans la deuxième partie de cet ouvrage — est particulièrement riche lorsqu’il s’agit d’une action linéaire sur un espace vectoriel (théorie des représentations). Les groupes sont donc des “machines à agir sur des espaces”. D’une façon analogue, nous allons considérer les fibrés principaux comme des “machines à fabriquer des fibrés associés” et la théorie sera particulièrement riche lorsque ces fibrés associés seront fabriqués à l’aide d’une représentation de groupe sur un espace vectoriel (théorie des fibrés vectoriels).

3.3.2 Espaces fibrés associés généraux

Soit PM un espace fibré principal (à droite), de groupe structural G, et soit ρ une action (à gauche) de G sur un ensemble F. On obtient alors une relation d’équivalence sur P × F en disant que (z,f) ∈ P × F est équivalent à (z′,f′) ∈ P × F s’il existe un élément g de G qui soit tel que z′ = zg et f′ = ρ(g^-1)f. L’ensemble quotient E = P × _GF prend le nom de fibré associé à P via l’action de G sur F. En d’autres termes, on identifie (z,f) avec (zg,ρ(g^-1f)). Cette définition un peu abstraite ne devrait pas rebuter le lecteur, en effet elle correspond à une situation bien connue : supposons l’action ρ fixée une fois pour toutes et notons g^-1f l’objet que nous notions un peu plus haut ρ(g^-1)f ; par ailleurs, désignons par z.f la classe de (z,f) ; l’élément u = z.f de E n’est donc rien d’autre que l’objet géométrique qui possède les “composantes” f dans le “repère” z et les “composantes” g^-1.f dans le “repère” zg, en effet, u = z.f = zg.g^-1f. On voit donc ici que u généralise la notion classique et élémentaire de “vecteur”. Nous verrons un peu plus loin comment récupérer la notion déjà introduite de vecteur tangent à une variété par cette construction.

L’espace E est bien un espace fibré et on a une projection, encore notée π, de E sur M, définie par π(z.f) = π(z) où le π du membre de droite se réfère à la projection dans le fibré principal correspondant. Il est bien clair que cette définition ne dépend pas du choix du représentant choisi (puisque les différents z possibles sont tous dans la même fibre !) On se souvient, par ailleurs, qu’il est parfaitement légitime et non ambigu de noter le point x = π(z) de M sous la forme x = zG puisqu’il existe une correspondance bi-univoque entre points de M et fibres de P. Par ailleurs, la fibre de la nouvelle projection π (dans E) étant, par construction, homéomorphe à F, on a donc, de fait, “remplacé” G par F, ce qui justifie de représenter cette construction, associant E à P, par la figure suivante (fig. 3.13) :

Figure 3.13: Passage d’un fibré principal à un fibré associé

On dit que G est le groupe structural du fibré associé E (attention, dans le cas des fibrés associés, le groupe structural G n’a aucune raison d’être difféomorphe à la fibre type F). Notons enfin que dimE = dimM + dimF.

Avant de donner quelques exemples de tels espaces, il importe de noter que, sauf exceptions, le groupe structural G n’agit pas sur le fibré associé E puisque E est précisément obtenu via un quotient de l’action simultanée de G sur P (c’est à dire sur les “repères”) et sur F (c’est à dire les “composantes”).

Une situation familière, bien connue du lecteur, nous est fournie par l’exemple des espaces vectoriels :

Soit E un espace vectoriel de dimension n ; les éléments de E sont nos vecteurs familiers ; il faut bien voir que le groupe linéaire GL(n, I R), défini comme groupe de matrices, ne sait pas comment agir sur les vecteurs si aucune base n’a été choisie. Par contre, il sait agir sur les bases de E (il fait passer d’une base à l’autre) et, une base étant choisie, il sait également agir sur les composantes des vecteurs de E. Il existe bien un groupe qui sait agir sur les vecteurs eux-mêmes, c’est le groupe AutE des automorphismes de E, mais ce groupe ne peut s’identifier à GL(n,, I R) que moyennant le choix d’une base. Un espace vectoriel usuel n’est autre chose qu’un espace fibré sur un point (la base est un point et la fibre s’identifie à l’espace vectoriel lui-même). Après quelques moments de réflexion passés à examiner ce cas assez trivial, mais instructif, le lecteur pourra sans doute se demander quel est l’objet généralisant AutE lorsqu’on passe de la situation bien connue évoquée ci-dessus au cas des espaces fibrés plus généraux où la base est, en général, une variété. Il se trouve que ce groupe AutE admet une généralisation, c’est à dire qu’il existe bien un groupe qui agit sur E : c’est un objet désigné sous le nom de groupe de jauge et son étude fera l’objet de la section 3.6.2. Nous verrons qu’il est, en général, de dimension infinie.

Une des conclusions que nous voulons tirer de la présente discussion est la suivante : le groupe structural G d’un fibré associé n’agit pas sur l’espace fibré associé en question ; il y a bien un groupe AutE qui agit sur E, mais ce groupe ne coïncide pas avec G.

3.3.3 Espaces fibrés en espaces homogènes, associés à un fibré principal de groupe structural G

Soit P = P(M,G) un fibré principal et H un sous groupe de Lie du groupe structural G. On considère l’action à gauche de G sur l’espace homogène F = G∕H et on construit, en suivant la méthode de construction générale des fibrés associés, l’ensemble E = P ×_GG∕H. Les fibres de E sont difféomorphes à l’espace homogènes G∕H et la base est toujours M. La dimension de E est donc égale à dimM + dimG∕H = dimM + dimG - dimH et on peut représenter E à l’aide de la figure suivante (fig. 3.14) :

Figure 3.14: Fibré associé en espaces homogènes

On peut noter E = PmodH ou simplement E = P∕H.

A l’aide de cette méthode générale et des exemples de fibrés principaux donnés précédemment, on peut ainsi fabriquer une foule de nouveaux espaces. En voici quelques exemples :

Figure 3.15: Exemples de fibrés associés en espaces homogènes

3.3.4 Fibration principale relative à un fibré quotient

La figure ci-dessous (3.16), le fait que dimP = dimE + dimH et le fait que G soit lui-même un H-fibré principal au dessus de G∕H, suggèrent que l’espace total P du fibré principal P(M,G) dont on est parti peut également être considéré comme fibré principal P(E,H) de fibre H au-dessus du fibré associé E = P ×_GG∕H. Il en est effectivement ainsi.

Soit z ∈ P(M,G), on considère l’application p : PE = P ×_GG∕H = PmodH définie par p(z) = (z,eH), où e désigne l’élément neutre du groupe G. La fibre passant par z de cette application est simplement zH puisque

Figure 3.16: Deuxième fibration principale de P : les espaces P(M,G) et P(E,H)

3.3.5 Espaces fibrés en … espaces fibrés

Voici une famille d’exemples assez surprenante : on se donne P₁ = P₁(M₁,G) et P₂(M₂,G), deux espaces fibrés principaux possédant le même groupe structural. On supposera, de plus, que P₁ est un espace fibré à droite —comme d’habitude— mais que P₂ est un espace fibré à gauche, ce qui n’est pas vraiment une restriction puisqu’on peut toujours passer d’une action à droite à une action à gauche (voir le chapitre sur les actions de groupes). On va alors fabriquer un fibré associé en choisissant P = P₁, F = P₂ et en suivant la méthode générale de construction des fibrés associés. On obtient ainsi un espace E = P₁ ×_GP₂ dont la base est M₁ et dont la fibre type est P₂.

Voici un exemple de cette construction. Soit P₁ = G = P₁(G∕H,H), un groupe de Lie fibré en sous groupes de type H au dessus de G∕H et P₂ = K = P₂(H\K,H), un autre groupe de Lie fibré en sous groupe de type H au dessus de H\K ; on fabrique alors E = G ×_HK qui a pour base G∕H et pour fibre type K. Une situation encore plus particulière correspond au choix G = K.

3.3.6 Le fibré adjoint E = AdP

Soit P = P(M,G) un fibré principal. On peut faire agir G sur lui-même via l’action adjointe g ∈ G,Ad(g)k = gkg^-1. On choisit alors F = G, ρ = Ad, et on construit E = P ×_AdG, fibré noté habituellement AdP. Cet espace fibré associé a ceci de particulier que sa fibre type est un groupe de Lie —c’est le groupe structural lui-même— et donc, au niveau du “dessin”, rien ne le distingue de P, puisqu’ils ont tous deux même base M et même fibre type G. En revanche, G opère, comme il se doit, sur le fibré principal P, alors qu’il ne sait pas agir sur AdP. Cet exemple illustre bien la nécessité d’imposer la condition 2 dans la définition des fibrés principaux (voir section 3.2.1). A tout fibré principal P, on peut donc associer un fibré en groupes AdP, dont l’importance s’avérera essentielle (nous verrons plus tard que les sections de AdP sont les transformations de jauge) . Notons pour terminer que G agit non seulement sur lui-même par l’action adjointe Ad mais aussi sur Lie(G) par l’action adjointe ad définie par ad(g)X = gXg^-1, où X appartient à l’algèbre de Lie de G. La construction générale peut encore être effectuée dans ce cas, et on fabrique ainsi le fibré associé adP = P ×_GLie(G) qui est un fibré en algèbres de Lie, de base M.

3.3.7 Le rôle du normalisateur

• On vient de construire un nouvel espace fibré en faisant agir G sur lui-même par l’action adjointe. On pourrait se demander pourquoi ne pas faire tout simplement agir G sur lui-même par multiplications à gauche, et fabriquer le fibré associé correspondant. Bien sur, on le peut, mais alors, on n’obtient ainsi rien de neuf ! En effet, partons de P = P(M,G), fibré principal ( à droite) et construisons E = P ×_GG via l’action (multiplication) à gauche de G sur G. La prise du quotient identifie ces deux actions —à droite de P et à gauche de G— et ces deux actions s’annihilent donc mutuellement (voir la remarque en fin de section 3.3.2). Par contre, il existe encore une action de G à droite de la fibre F = G, de sorte que l’espace obtenu E s’identifie canoniquement à P lui-même. La construction n’offre donc aucun intérêt.
• Dans le cas de fibrations en espaces homogènes du type E = P × _GG∕H, nous avons vu que l’action de G disparaissait, en général, au niveau de E. L’exemple qui précède (où H se déduit à l’identité) offre un bon contre-exemple, mais il s’agit là d’une situation un peu extrême… On pourrait se demander s’il existe des situations intermédiaires, c’est à dire des situations où il existe encore une certaine action à droite au niveau du fibré associé E. La réponse est simple et a déjà été trouvée dans notre étude succincte des espaces homogènes des groupes de Lie : l’espace G∕H est toujours muni d’une action de G évidente, du côté gauche, mais également d’une action à droite du groupe N|H où N désigne le normalisateur de H dans G ; en effet, on peut écrire (gH)n = (gn)H si n est un élément de N. Schématiquement, on a Le groupe N|H agit donc toujours, à droite, sur l’espace fibré E = P ×_GG∕H. Bien souvent, ce groupe N|H est discret, mais il peut ne pas l’être. On a également le cas extrême où N et G coïncident ; dans un tel cas, H est sous groupe distingué de G, l’espace homogène G∕H est un groupe, et E, muni de cette action à droite, devient un fibré principal. Dans le cas général où N et G sont distincts, et où H n’est pas trivial, il faut se rappeler (voir section 3.2.7) que G∕H est lui même un N|H fibré principal au dessus de G∕N ; on fabrique ainsi une projection de E sur M ×G∕N et E peut alors être considéré comme N|H fibré principal au dessus de M × G∕N.

3.3.8 Les espaces fibrés vectoriels

“A tout seigneur, tout honneur”, voici les espaces fibrés vectoriels, espaces qui tiennent une place de choix dans la théorie des espaces fibrés, et dont l’étude peut se faire (et se fait souvent) de façon indépendante de la notion de fibré principal. Dans notre approche, cependant, les fibrés vectoriels sont des espaces fibrés associés comme les autres, à cette différence près que la fibre F choisie est un espace vectoriel (I Rⁿ ou lCⁿ) et que l’action ρ de G sur F est une représentation de G sur cet espace vectoriel. Nous devons donc nous répéter : soit P = P(M,G) un fibré vectoriel et ρ une représentation de G sur l’espace vectoriel F ; on construit le fibré vectoriel E = P ×_GF. Les éléments de E sont vraiment ici des “vecteurs” (gardons la flèche pour le moment) et on pourra sans danger —et avec profit— utiliser une notation “avec des indices”. Comme on l’a vu en section 3.3.2, l’élément de E peut s’écrire = (ϵ).(v) = (ϵg).(ρ(g^-1v)), avec ϵ ∈ P et v ∈ F, ce qui se lit “ possède les composantes (v) dans le repère (ϵ) et les composantes (ρ(g^-1v)) dans le repère (ϵg)”. Si on introduit des indices, on écrira = ϵ_ivⁱ où les vⁱ sont des nombres réels ou complexes et où {ϵ_i} désigne un élément de P, c’est à dire un repère généralisé au point x, repère qui peut, dans les cas simples (cas où ρ désigne une représentation fondamentale de G, par exemple) être considéré comme base de la fibre au point x. Schématiquement, on a la figure 3.17

Figure 3.17: Espace fibré vectoriel

Le fibré vectoriel est dit réel ou complexe suivant que F = I Rⁿ ou lCⁿ et on pourra écrire E = E(M,F). Le lecteur aura deviné que la notation utilisée ici permet de nommer la base, la fibre et l’espace total correspondant.

L’exemple fondamental est celui fourni par le fibré tangent à une variété M. Nous avons déjà défini cet espace de façon élémentaire au premier chapitre. Il s’introduit ici de façon parfaitement naturelle : Soit P = FM le fibré principal des repères linéaires sur M ; le groupe structural est G = GL(m, I R) avec m = dimM. On considère la représentation fondamentale de G sur I R^m et on construit le fibré tangent TM = FM ×_{GL(m,I R)}I R^m comme fibré associé à FM. Les éléments de TM sont, par définition, des vecteurs tangents qu’on note v = ϵ_μ.v^μ, où ϵ _μ désigne un élément de FM, c’est à dire aussi une base de T(M,x), l’espace tangent en x, c’est à dire la fibre de TM au dessus de x ∈ M. On décide également de ne plus mettre de flèche sur les vecteurs. Noter que nous écrivons les composantes v^μ de v à droite de la base ϵ_μ de façon à rester compatible avec la notation générale que nous avons introduite précédemment pour les espaces fibrés associés. Soit Λ = (Λ_μ^ν) une matrice de GL(m, I R), on retrouve alors la propriété bien connue

Les tenseurs contravariants et covariants de tous ordres, qui ne sont autres que les éléments de (TM)^⊗p ⊗(T^*M)^⊗q déjà introduits au premier chapitre s’interprètent ici comme des éléments des espaces fibrés vectoriels FM ×_GF où F désigne la puissance tensorielle appropriée de I R^m et où GL(m, I R) agit sur F par la représentation tensorielle correspondante.

Les exemples qui précèdent sont d’une utilisation courante en physique de l’espace-temps (théorie de la gravitation) mais il faut bien voir qu’il n’y a pas grande différence conceptuelle entre vecteurs de l’espace temps et … quarks ! En effet, en théorie des interactions fortes, par exemple, on considère un fibré principal P de groupe structural SU(3) au dessus de l’espace-temps M, on choisit alors l’action de SU(3) sur lC³ et on construit le fibré vectoriel associé P ×_SU(3)lC³ ; un quark au point x est alors décrit par un élément de ce fibré vectoriel. Nous reviendrons plus loin sur ces exemples utilisés en physique.

3.3.9 Trivialité des fibrés vectoriels, variétés parallélisables

Revenons un peu sur la notion de trivialité déjà étudiée, dans le cas des fibrés principaux, en section 3.2.5. On se souvient qu’une condition nécessaire et suffisante, pour assurer la trivialité d’un fibré principal P, est l’existence d’une section globale. Contrairement au cas des fibrés principaux, l’existence, pour un fibré vectoriel, de sections globales, est une propriété évidente : tout fibré vectoriel, trivial ou non, possède des sections globales, par exemple la section nulle. Ce n’est donc pas ainsi qu’on détecte la trivialité. Par contre, nous avons vu que, d’une certaine façon, on pouvait considérer un élément du fibré principal P comme une base dans une certaine fibre du fibré associé E. L’existence pour P d’une section globale équivaut donc, pour E, à l’existence de n sections indépendantes en tout point de M (n désignant ici la dimension de la fibre type). On dit qu’une variété est parallélisable si son fibré tangent est trivial. De façon générale, les groupes de Lie sont des variétés parallélisables. En effet la donnée d’une base dans l’algèbre de Lie 𝔤 du groupe G détermine n = dim(G) champs de vecteurs indépendants en tous points de G (les champs invariants à gauche associés). On voit ainsi que le fibré tangent TG possède n sections indépendantes (il est donc trivial), et que, ce qui revient au même, le fibré principal FG (le fibré principal des repères sur la variété G, fibré dont le groupe structural est GL(n)) possède une section globale. Les groupes ne sont pas les seules variétés parallélisables ; l’exemple le plus célèbre de variété ne possédant pas de structure de groupe mais étant néanmoins parallélisable est sans doute celui de la sphère S⁷ (seules les sphères S⁰, S¹ et S³ possèdent une structure de groupe). La démonstration de cette propriété repose sur l’utilisation du produit de Cayley dans R⁸ (l’“algèbre” des octonions). Les sphères Sⁿ de dimension n = 0, 1, 3, 7 sont les seules sphères à être parallélisables. Signalons sans démonstration quelques autres exemples de variétés parallélisables : les variétés de Stiefel complexes SU(n)∕SU(k) (en excluant les sphères, c’est à dire en supposant k≠n - 1), les espaces homogènes qui sont des quotients de SU(n) par des sous-groupes du type SU(2) ×… × SU(2) (à condition d’exclure une seule exception, la sphère S⁵ = SU(3)∕SU(2)), les quotients du type Sp(n)∕SU(2), l’espace homogène SU(4)∕H où H est le sous-groupe de SU(4) isomorphe à SU(2) constitué des matrices du type , avec A ∈ SU(2).

3.3.10 Sections de fibrés associés et champs

• Soit P = P(M,G) un fibré principal et E = E(M,F) un fibré associé . Nous savons ce qu’est une section σ d’un espace fibré, à savoir une application différentiable de M dans P, ou dans E, telle que πoσ soit l’identité de M, π désignant la projection du fibré correspondant. L’ensemble des sections globales est quelquefois vide (cas des fibrés principaux non triviaux) mais on sait qu’un fibré vectoriel admet de nombreuses sections globales. Soit ΓE l’ensemble de ces sections. Dans le cas où E est le fibré tangent TM d’une variété, il est évident qu’une section n’est autre qu’un champ de vecteurs ; de la même façon, les champs de tenseurs d’ordre supérieur sont également des sections de fibrés vectoriels appropriés.
• En physique, les champs de matière classiques sont toujours décrits par des sections de fibrés associés (le mot “classique” signifiant ici qu’on fait allusion aux théories de champs classiques et non aux théories de champs quantiques). C’est ainsi qu’un champ de quarks, par exemple, est une section d’un fibré à fibres lC³, mentionné au paragraphe précédent, et que les champs de matière des “modèles σ non linéaires” sont des sections de fibrés en espaces homogènes. Pour cette raison, on dira quelquefois champ de matière au lieu de “section de fibré associé”. L’ensemble ΓE est donc l’espace des champs de matière caractérisé par le fibré E = E(M,F).
• ll existe au moins quatre descriptions possibles d’un tel champ de matière ; illustrons ces quatre descriptions dans le cas des champs de vecteurs.
  1. On peut considérer x ∈ M → v(x) ∈ E comme une section de E (cf. supra) et on écrit (x) = ϵ_μ(x).v^μ(x).
  2. On peut considérer v (laissons tomber les flèches !) comme une application de P dans F (et non plus de M dans E) qui, au repère ϵ = (ϵ_μ), un élément de P, associe le n-uplet de composantes v^μ (un élément de F). Ce point de vue redonne (au deuxième degré !) un sens intrinsèque à la notation “avec des indices”. Cette application de P dans F n’est pas quelconque, elle est équivariante. En effet, si le repère (ϵ_μ) a pour image v^μ, il faut que le repère (ϵ _μ)g ait pour image ρ(g^-1)v^μ. Ici g et ρ désignent respectivement un élément du groupe structural et la représentation définissant le fibré associé. Il existe une correspondance bijective entre l’ensemble des sections d’un fibré associé E = E(M,F) et l’ensemble des applications équivariantes du fibré principal correspondant P dans la fibre type F. On peut donc identifier ΓE = Ω⁰(M,E) avec l’ensemble des applications de P dans F qui sont équivariantes, c’est à dire Ω_ρ⁰(P,F). Cette identification se généralise au cas des p-formes sur M à valeurs dans les sections de E : Ω^p(M,E) ~ Ω _ρ^p(P,F).
  3. On peut évidemment fixer —tout au moins localement— une section de P, c’est à dire choisir un “repère mobile” et caractériser v(x) par ses composantes dans le repère choisi. C’est cette méthode qui est la plus utilisée dans les calculs pratiques (on ne regarde que v^μ(x)) mais il faut alors se rappeler qu’on a effectué un choix et que ce choix est d’ordinaire local.
  4. Les trois descriptions ci-dessus suffisent généralement à discuter le cas de la “géométrie commutative” (la géométrie tout court ?) ou de son pendant physique, la théorie classique des champs. Cela dit, dans le cas des espaces fibrés vectoriels, il existe une quatrième description que nous n’aurons pas le loisir de discuter plus avant mais qui se généralise parfaitement au cas de le géométrie non commutative. La voici. On sait que l’ensemble des fonctions sur M constitue une algèbre (commutative) ; soit v un élément de ΓE (un champ de matière) et soit f une fonction sur la base, alors, il est bien évident que fv est encore un élément de ΓE. En d’autres termes, les champs de matière —les sections de E— constituent un module sur l’algèbre des fonctions sur M (il s’agit même d’un bimodule puisque l’algèbre des fonctions sur M est commutative et d’un bimodule particulier puisque les deux actions à droite et à gauche coïncident).