Robert Coquereaux   pages Web

Physicien théoricien au  Centre de Physique Théorique  (CPT)
Case 907. Luminy.  13288. Marseille.
France.

Curriculum Vitae & Liste de Publications

Graphes de fusion

A la donnée d'un diagramme de Dynkin G et d'un entier positif k (niveau), on associe une catégorie de fusion qui peut être décrite soit en termes de représentations intégrables d'algèbres de Lie affines, soit en termes de certaines représentations de groupes quantiques aux racines de l'unité. La fusion par les représentationx fondamentales intégrables peut être décrite par des graphes appelés "graphes de fusion". D'une certaine façon, ces catégories de fusion généralisent, au niveau quantique, la théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie, le processus de fusion généralisant la notion usuelle de produit tensoriel de représentations. Les pages web proposées (ici) montrent les graphes de fusion de type (G,k) et décrivent quelques unes de leurs propriétés, pour tous les types de graphes de Dynkin (de rang petit), et pour quelques valeurs du niveau.

Graphes de fusion pour modules et sous-groupes quantiques

D'une certaine façon, les catégories monoidales précédentes généralisent, au niveau quantique, la théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie. Or, classiquement, tout sous-groupe fini d'un groupe de Lie possède sa propre théorie de représentations, et l'ensemble obtenu en considérant des sommes d'irréductibles constitue un module sur l'anneau associé aux représentations du groupe de Lie considéré. Le même phénomène existe dans le cadre quantique : pour chacune des catégories de fusion de type (G,k) on peut considérer des "modules-catégories" (ne pas confondre avec la notion de catégorie monoidale) sur laquelle la précédente (qui est monoidale) agit. L'action de (G,k) sur le module particulier choisi peut, lui aussi, être décrit par un graphe. Voir plus bas les cours délivrés dans le cadre de l'école Bariloche 2000 et en particulier celui de A. Ocneanu sur la classification des modules et sous-groupes quantiques, pour G = SU(2), SU(3) et SU(4). Les pages web proposées (ici) reprennent cette classification et fournissent d'autres exemples (sans prétentation de classification) pour d'autres choix de G.

En physique, on sait associer des théories de champs particulières (théories conformes de type WZW) aux catégories de fusion définies par la donnée d'un graphe de Dynkin G et d'un entier k. Les modules-catégories relatives aux différents choix possibles de "sous-groupes quantiques" ou de "modules quantiques", ainsi que les graphes de fusion correspondants, possèdent quant à eux une interprétation physique dans le cadre des théories conformes à bord. En particulier, on sait, pour chacun d'eux, définir et calculer un invariant modulaire qui s'interprète, en physique, comme fonction de partition.

Quelques uns de mes articles en html (hypertext), ps ou pdf

Videos :

Espaces fibrés et interactions fondamentales (1h.) : Conférence donnée à la M.S.H, Paris, 2005, dans le cadre du Colloque "Fibrés, fibrations et connexions" (coll. Les archives audiovisuelles de la recherche),

Livre HyperTexte - HyperText Book:

FIBER BUNDLES AND CONNECTIONS

Table of contents - Table des matières

Ce livre est une introduction à la théorie des espaces fibrés. Il est destinés aux jeunes (et aux moins jeunes) voulant découvrir les structures mathématiques qui se situent à la base de notre compréhension des théories physiques contemporaines. Il s'adresse donc, a priori , à un public d'étudiants en physique théorique mais il peut également constituer une introduction aux idées en question pour les jeunes mathématiciens, et plus généralement pour les curieux possédant un bagage mathématique suffisant (niveau requis égal ou supérieur à celui qu'on acquiert , en France, dans les classes de Mathématiques Spéciales ou à l'issue du DEUG A).

L'accent est essentiellement mis sur la théorie des espaces fibrés et celle des connexions, ainsi que sur la géométrie riemanienne, mais les deux premiers chapitres contiennent un résumé de notions générales concernant les variétés différentiables, les groupes et les algèbres de Lie. Le dernier chapitre est une introduction à la géométrie non commutative.

Le style est volontairement informel. Si vous cherchez à lire un résumé hyper-dense, ceci n'est pas pour vous.

Dans sa forme actuelle, l'ouvrage ne contient aucune description de la géométrie des varétés graduées (super-géométrie). Ce thème sera ultérieurement incorporé à l'ouvrage.

La première version html a été mise sur l'internet en mai 1997.

La version html actuellement disponible est la version 3.00 (mai 2002).

La version ps actuellement disponible est la version 3.00 (mai 2002).

Mots clefs : variétés, groupes de Lie, algèbres de Lie, actions de groupes, espaces homogènes, espaces fibrés, connexions, dérivées covariantes, courbure, champs de jauge, Yang-Mills, Relativité Générale, interactions fondamentales, gravité, géométrie non commutative.

Keywords : manifolds, Lie groups, Lie algebras, group actions, homogeneous spaces, fiber bundles, connections, covariant derivatives, curvature, gauge fields, Yang-Mills, General Relativity, fundamental interactions, gravity, noncommutative geometry.

Centre de Physique Théorique		Centre International de Rencontres Mathématiques
Clef de l'univers accrochée à la lune		Associahedron K3
About the artist

CONFERENCES

Infinite Dimensional Geometry, Non Commutative Geometry, Operator Algebras and Fundamental Interactions
First Carribean Spring School of Mathematics and Theoretical Physics.

Saint-François, Guadeloupe (31 mai - 13 juin 1993)

Quantum Symmetries in Theoretical Physics and Mathematics

S.C. de Bariloche, Patagonia, Argentina (10 - 22 janvier 2000)

A CIMPA-UNSA-UNESCO-ARGENTINA SCHOOL

BARILOCHE 2000

Quantum symmetries in theoretical physics and mathematics

Simetrías cuánticas en física teórica y en matemática

Symétries quantiques en physique théorique et en mathématiques

Available lectures ( download ) : N. Andruskiewitsch, M. Dubois-Violette, D. Evans, A. Ocneanu, O. Ogievetsky, J.B. Zuber.

Lecturers (photos) : N. Andruskiewitsch, M. Dubois-Violette, D. Evans, A. Ocneanu, O. Ogievetsky, N. Reshetikhin, M. Rosso, A. Varchenko, S.L. Woronowicz, J.B. Zuber.

  Classification of SL(2,C) and SL(3,C)  quantum subgroups : Poster presented at the Bariloche school (January 2000) by  A. Ocneanu  in relation with the classification of  SU(3) lattice integrable models (P. Di Francesco - J.B. Zuber ).

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Geometry and Integrability in Mathematical Physics : GIMP'08
Marseille, 15-19 septembre 2008
Poster

Symplectic Geometry and Quantum Symmetries in Mathematical Physics
Hsinchu, NCTS, 21-25 fevrier 2011
NCTS-CPT Joint Workshop. National Center for Theoretical Sciences, Hsinchu, Taiwan.

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