Generalites sur les alg`ebres de Lie

2.2 Généralités sur les algèbres de Lie

2.2.1 Application exponentielle et algèbres de Lie

Définition

Une algèbre de Lie 𝔤 sur un corps commutatif I K est un ensemble qui est, d’une part un espace vectoriel sur I K (sa loi de groupe abélien est notée + et sa loi externe sur I K est notée multiplicativement), de dimension finie ou non, et qui, d’autre part, est muni d’une loi de composition interne –non associative– généralement notée [,] vérifiant les propriétés suivantes

Anticommutativité: ∀X,Y ∈ 𝔤 [X,Y ] = -[Y,X]
Identité de Jacobi: ∀X,Y,Z ∈ 𝔤 [X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0

On suppose également vérifiée la linéarité par rapport aux scalaires, c’est à dire [αX,Y ] = [X,αY ] = α[X,Y ] si α ∈ I K. La loi [,] est généralement désignée sous le nom de “crochet de Lie”. Dans toute la suite, le corps I K coïncidera avec le corps lC des nombres complexes.

Exemple fondamental

Soit une algèbre associative ; on peut lui associer canoniquement une algèbre de Lie en définissant le crochet de Lie de la façon suivante (auquel cas le crochet de Lie peut également être désigné sous le nom de commutateur) :

X, Y ∈ A → [X, Y ] = XY - Y X

Le crochet obtenu est généralement non nul, sauf évidemment si X et Y commutent. Par ailleurs on vérifie aisément que les propriétés d’anticommutativité du crochet ainsi que l’identité de Jacobi sont automatiquement satisfaites. Les ensembles de matrices M(n, lC) et M(n, I R) sont donc automatiquement des algèbres de Lie.

Constantes de structure d’une algèbre de Lie 𝔤

Supposons que 𝔤, en tant qu’espace vectoriel sur le corps des complexes lC soit de dimension finie n et soit {X_α}_α∈{1…n} une base de 𝔤. Le crochet de Lie [X_α,X_β] de deux vecteurs de base est a priori un élément de 𝔤 et peut donc se développer sur la base choisie :

γ [X α,X β] = C αβX γ

Les n³ nombres C_αβ^γ sont les constantes de structure de 𝔤 par rapport à la base choisie.

Application exponentielle dans M(n, lC)

On désigne par exp : α →∑ _p=0^∞α^p∕p! l’application exponentielle définie sur M(n, lC). Posons g = e^A. Il est facile de voir que

T rA detg = e

Cette relation est évidente si A est diagonalisable (puisque e^λ₁…e^λ_p = e^{λ₁+…+λ_p}). Si ce n’est pas le cas, on utilise pour démontrer cette propriété générale le fait que l’ensemble des matrices diagonalisables sur lC est dense. Cette relation est à la base d’une quantité de résultats dont voici le premier : si A ∈ M(n, lC), alors g = e^A ∈ GL(n, lC) ; en effet, detg n’est jamais nul puisque la fonction z → e^z ne s’annule pas.

△ ATTENTION : On n’a pas dit que tout élément de GL(n, lC) pouvait être atteint par la fonction exp (c’est faux !).

Cas des groupes de matrices : Correspondance entre groupes et algèbres de Lie

Soit G un groupe de Lie défini comme sous-ensemble de M(n, lC). On définit son algèbre de Lie notée 𝔤 ou LieG comme suit,

tA LieG = {A ∈ Mn (Cl) | ∀t ∈ IR, e ∈ G }

De façon un peu imagée, on peut dire que l’algèbre de Lie d’un groupe G, c’est… son logarithme ! De fait, l’utilisation de l’algèbre de Lie de G permet de linéariser les propriétés des groupes, c’est à dire de transformer les multiplications en additions etc .

La définition ci-dessus de l’algèbre de Lie d’un groupe G semble un peu restrictive en ce sens qu’elle semble ne pouvoir s’appliquer qu’aux groupes de matrices, mais il existe une définition plus abstraite de la notion d’algèbre de Lie d’un groupe de Lie, définition ne faisant pas l’hypothèse d’une réalisation matricielle ; nous y reviendrons plus loin.

Soient g et h deux éléments de G et supposons qu’on puisse écrire g = e^tA et h = e^tB avec A,B ∈ 𝔤. Tout d’abord, notons que g^-1 = e^-tA. On peut alors considérer le commutateur de g et h au sens de la théorie des groupes, c’est à dire l’élément c = ghg^-1h^-1 de G. Au second ordre en t, il vient

tA tB -tA - tB c = e e e e = (1 + tA + t2A2∕2! + ...)(1 + tB + t2B2 ∕2! + ...) 2 2 2 2 (1 - tA + t A ∕2! + ...)(1 - tB + tB ∕2! + ...) = 1 + 0t + t2[A, B ] + O (t3)

Il ne faudrait pas trop hâtivement en déduire que le commutateur dans G est égal à l’exponentielle du commutateur dans LieG, mais c’est “presque” vrai, comme on vient de le voir (c ~
t→0

1 + t²[A,B]). De plus, on peut démontrer que

t2[A,B] tA∕n tB ∕n -tA∕n -tB ∕n n2 e = nli→m∞(e e e e )

C’est à l’aide de ces relations qu’on peut s’assurer que l’algèbre de Lie d’un groupe de Lie est bien… une algèbre de Lie (l’ensemble est bien stable par le commutateur).

Soit g ∈ G et supposons qu’on puisse écrire g = e^A ; alors, en utilisant la structure d’espace vectoriel de LieG, on voit qu’on peut décomposer A sur une base {X_α} ;ainsi, A = ∑ a^αX_α. Les n nombres a^α permettent donc de définir sur G un système de coordonnées (une carte). Ceci montre également que la dimension de G, en tant que variété, est égale à celle de LieG, considéré comme espace vectoriel.

2.2.2 Correspondance entre groupes et algèbres de Lie

Algèbres de Lie des groupes classiques

Notons d’abord que, pour les groupes unitaires,

A A A† † e ∈ U (n) ⇐ ⇒ e e = 1 ⇐ ⇒ A + A = 0

ainsi la matrice A est anti-hermitienne.

Nous avons déjà rencontré la relation dete^A = e^TrA ; il s’ensuit que, si le déterminant de g = e^A est égal à 1, la trace de A est nulle. Ainsi,

A † e ∈ SU (n) ⇐⇒ [A + A = 0 et T rA = 0]

Dans le cas des groupes orthogonaux, la définition implique immédiatement

t eA ∈ O (n) ⇐ ⇒ [eAeA = 1 et A r´eel] ⇐ ⇒ [A + At = 0 et A r´eel]

Les matrices A de l’algèbre correspondante sont donc antisymétriques réelles, ce qui, en particulier, implique la nullité des éléments de matrice diagonaux et donc de la trace ; mais le seul fait que trA = 0 implique dete^A = 1 et donc e^A ∈ SO(n). Y aurait-il une contradiction ? Comment donc obtenir une matrice orthogonale de déterminant différent de 1 ? Il est pourtant bien évident que la définition de O(n) est différente de celle de SO(n) ! La seule conclusion possible est la suivante : les éléments de O(n) qui ne sont pas dans SO(n) ne sont pas atteints par la fonction exp (voir la remarque à la fin du présent paragraphe).

Pour calculer la dimension des groupes de Lie, le plus simple est en général de calculer la dimension des algèbres de Lie correspondantes. Voici un exemple que lecteur pourra généraliser sans peine : “Fabriquons” une matrice carrée antihermitienne. Une matrice n × n dépend, a priori, de n² paramètres complexes ; nous enlevons d’abord la diagonale (donc il reste n² - n paramètres), puis nous fabriquons une matrice triangulaire inférieure stricte (donc (n² - n)∕2 paramètres) ; la partie triangulaire supérieure est alors complètement déterminée par la condition d’anti-hermiticité ; finalement, cette même condition implique que les éléments diagonaux sont imaginaires purs : il nous faut donc rajouter n paramètres réels. Au total, on a donc 2(n² - n)∕2 + n = n²paramètres réels. Ainsi donc dim_RU(n) = dim_RLieU(n) = n².

Le lecteur pourra sans doute ainsi retrouver sans difficulté la dimension des algèbres de Lie suivantes. Remarque : La notation Sp(n) utilisée ci-dessous désigne le groupe unitaire-quaternionique (voir “remarques diverses” en fin de section 2 concernant les groupes symplectiques) ; les matrices de l’algèbre de Lie correspondante sont du type ( )
A B
- B† - ^A avec A^† = -A et = B.

G	LieG	dim_{I R}G



GL(n, lC)	M(n, lC)	2n²
GL(n, I R)	M(n, I R)	n²
U(n)	Matrices anti-hermitiennes	n²
SU(n)	Matrices anti-hermitiennes de trace nulle	n² - 1
SO(n)	Matrices antisymétriques réelles
Sp(n)	Voir ci-dessus

Remarques

Si nous ne précisons pas davantage, c’est que les algèbres de Lie que nous considérons sont des algèbres de Lie réelles. Il y a là une petite subtilité que nous allons illustrer en considérant le cas de 𝔲(n) = LieU(n). Il s’agit d’ un espace vectoriel sur I R de dimension d = n², ce qui signifie qu’une base de cet espace vectoriel réel possède d = n² éléments (appelons les {X_α}_α=1…d) et qu’un élément quelconque A de 𝔲(n) peut s’écrire A = ∑ _α=1^da^αX_α, avec des composantes a^α qui sont des nombres réels. Par contre, les éléments {X_α} sont, dans le cas présent des matrices antihermitiennes dont les éléments de matrice sont généralement complexes (comme ceux de A, d’ailleurs). Pour compliquer légèrement les choses, les éléments {X_α} qu’on appelle traditionnellement générateurs de l’algèbre de Lie 𝔲(n) ou encore générateurs infinitésimaux, sont souvent écrits sous la forme X_α = iY _α (dans le cas de 𝔲(n) les Y _α sont donc hermitiens) et le développement de A sur la base X_α se re-écrit A = ∑ _α=1^da^αiY _α, de sorte que si on pose A = iB on obtient simplement B = ∑ _α=1^da^αY _α ; dans ce cas, il y a des facteurs i au second membre des relations de commutation des Y _α entre eux. Pour couronner le tout les Y _α sont eux-aussi quelquefois désignés sous le nom de “générateurs infinitésimaux”, bien qu’ils n’appartiennent même plus à l’algèbre de Lie si cette dernière est réelle !
L’application exp est continue. L’image continue d’un espace connexe est un espace connexe. Une algèbre de Lie est un espace vectoriel et donc un espace connexe. L’ensemble exp 𝔤 = {e^X|X ∈ 𝔤} est donc connexe. Conclusion : si un groupe de Lie G n’est pas connexe, les éléments qui n’appartiennent pas à la composante connexe de l’identité ne peuvent pas être atteints par la fonction exp (ils ne peuvent pas s’écrire sous la forme e^X). Ceci montre que, dans bien des cas, l’application exp n’est pas surjective. Le calcul effectué plus haut et concernant le groupe orthogonal O(n) reflète le fait que ce dernier n’est pas connexe. Par contre les groupes U(n), SU(n), SO(n) et Sp(n) sont connexes.
Même si G est connexe, l’application exp n’est pas nécessairement surjective. Par contre, on démontre que si G est compact et connexe, cette application est surjective (c’est le cas de U(n), SU(n), SO(n) et Sp(n)). Si G est connexe mais non compact, on démontre que exp est “presque” surjective, en ce sens que
$∀g ∈ G, ∃A1, A2 ...Ap ∈ 𝔤 p fini, tel que g = eA1eA2 ...eAp$
Par définition, le rang d’un groupe de Lie compact est égal à à la dimension d’un sous groupe abélien maximal contenu dans G (on dit alors souvent “tore maximal” au lieu de “sous groupe abélien maximal”).
Cette définition sera suffisante pour nous, mais voici néanmoins une définition valable dans un contexte plus général : le rang d’un groupe de Lie est défini comme étant celui de l’algèbre de Lie correspondante, lui-même défini comme la dimension de l’une quelconque de ses sous-algèbres de Cartan (si le corps de base est celui des complexes et que l’algèbre de Lie est de dimension finie, toutes ses sous-algèbres de Cartan sont isomorphes) ; dans ce cadre général une sous-algèbre de Cartan est une sous-algèbre de Lie nilpotente qui coincide avec son propre normalisateur. Dans le cas semi-simple une sous-algèbre de Cartan est simplement une sous-algèbre de Lie abélienne maximale.

Isomorphisme local : comparaison entre SU(2) et SO(3)

Nous avons déjà vu (dans le cas du groupe orthogonal O(n)) que les éléments d’un groupe n’appartenant pas à la composante connexe de l’identité ne pouvaient pas être atteints par la fonction exponentielle. Pour cette raison, nous supposerons que tous les groupes de Lie considérés dans la présente sous-section sont connexes (cas de SO(n)). Nous nous intéressons en effet ici à des phénomènes plus fins que la connexité.

Soient $( ) ( ) ( ) 0 1 0 - i 1 0 σ1 = 1 0 ,σ2 = i 0 ,σ3 = 0 - 1$ les trois matrices de Pauli. Lie(SU(2)) est l’espace vectoriel engendré par X₁,X₂,X₃ avec X_j = iσ_j∕2 puisque {X₁,X₂,X₃} constituent une base de l’algèbre des matrices antihermitiennes de trace nulle. Notons que $[Xi, Xj] = - ϵijkXk$ où ϵ est complètement antisymétrique et ϵ₁₂₃ = 1. En développant la fonction exponentielle en série et en utilisant les propriétés σ₃² = 1, σ^2p+1 = σ₃, le lecteur montrera aisément que $θ- θ- exp (θX3 ) = cos 2 + iσ3sin 2 ∈ SU (2)$ Notons que
$exp[(θ + 2π)X3 ] = - exp[θX3 ] exp[(θ + 4π)X3 ] = + exp[θX3 ]$
Soient maintenant $( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 X = - ( 0 0 1) ,X = - ( 0 0 0) ,X = - ( - 1 0 0) 1 2 3 0 - 1 0 - 1 0 0 0 0 0$ L’espace vectoriel engendré par X₁,X₂,X₃ est constitué par l’ensemble des matrices antisymétriques réelles 3 × 3 ; il coïncide donc avec l’algèbre de Lie Lie(SO(3)). Comme dans le cas précèdent, on peut vérifier que que $[Xi, Xj] = - ϵijkXk$ Les deux algèbres Lie(SO(3)) et Lie(SU(2)) sont donc isomorphes. Par ailleurs, en développant la fonction exp en série et en utilisant les propriétés X₃^2p = diag((-1)^p, (-1)^p, 0), X₃^2p+1 = (-1)^pX₃, il est facile de voir que $exp [θX3 ] = diag(cosθ, cosθ,1) + X3 sin θ ∈ SO (3)$ Notons alors que
$exp[(θ + 2π)X3 ] = + exp[θX3 ]$
Ainsi donc, lorsqu’“on fait un tour” dans SO(3), on revient à l’identité – chose qu’on savait déjà ! – mais, dans SU(2), pour revenir à l’identité, il faut faire … deux tours ! Cette différence de comportement entre les deux groupes peut sembler assez surprenante à première vue. Il est possible de l’illustrer de façon assez simple grâce à une expérience élémentaire.
Expérience utilisant SO(3) : Prenez un objet quelconque, posez-le sur la table et faites-lui subir une rotation de 360 degrés autour d’un axe vertical ; la configuration que vous obtenez est indiscernable de la configuration initiale.
Expérience utilisant SU(2) : Prenez un objet quelconque, suspendez-le au milieu de la pièce en utilisant huit élastiques reliés aux huit coins (haut et bas) de la pièce (vous pouvez utiliser un moins grand nombre d’élastiques !) et faites subir à votre objet une rotation de 360 degrés ; notez que les élastiques sont emmêlés ; essayez de démêler les élastiques sans faire tourner l’objet… vous n’y parvenez pas. Faites alors subir à votre objet une seconde rotation de 360^∘ (depuis la configuration initiale vous aurez ainsi effectué une rotation de 4π = 720^∘) ; les élastiques semblent être encore plus emmêlés ; essayez de démêler ces élastiques (retrouver la configuration initiale) sans faire tourner l’objet… A votre grande surprise (même si vous avez fait cette expérience plusieurs fois) vous y parvenez !
Remarque : Si vous avez vraiment des difficultés à démêler les élastiques, ouvrez l’ouvrage [5] où la suite des mouvements à effectuer est décrite en détails.
Il existe une autre expérience, encore plus simple, mais un peu plus difficile à décrire “avec des mots”, qui illustre la même différence de comportement entre les deux groupes et qui illustre donc la façon dont SU(2) décrit les “rotations d’objets attachés à leur environnement”. Prenez un verre (rempli de votre vin favori) et essayez, par pivot du poignet, de lui faire subir une rotation de 360^∘… échec : à moins d’avoir des articulations très spéciales, vous vous retrouvez tout tordu. Essayez alors, à partir de cette position (tordue) de faire subir à votre verre une seconde rotation, dans le même sens, de 360^∘ (le coude doit normalement s’abaisser) et ça marche : Vous vous retrouvez dans l’état initial !
Ce phénomène amusant est d’une importance physique capitale. C’est lui qui, en définitive, explique la différence entre fermions et bosons (rappelons que les électrons — et plus généralement les particules de spin demi-entier — obéissent à la statistique de Fermi-Dirac alors que les photons (ou les noyaux d’Hélium !) — et plus généralement les particules de spin entier — obéissent à la statistique de Bose-Einstein.
Revenons aux mathématiques. Nous avons un homomorphisme de SU(2) dans SO(3) : l’image de exp(θⁱX_i) ∈ SU(2) est, par définition exp(θⁱX_i) ∈ SO(3) où les X_i sont, bien entendu, définis de deux façons différentes, comme précédemment. Ce morphisme surjectif n’est pas injectif ; en effet, les deux éléments distincts exp(2πX₃) = -1 et exp(4πX₃) = 1 de SU(2) se projettent tous deux sur l’identité de SO(3). Le noyau de cet homomorphisme est donc ZZ₂ = {-1, 1} d’où il s’ensuit que SO(3) = SU(2)∕Z Z₂. En effet, un théorème très élémentaire de théorie des groupes nous apprend que si ℓ est un homomorphisme du groupe G dans le groupe K, alors l’image ℓ(G) est isomorphe au quotient de G par le noyau de ℓ (dans le cadre commutatif, ce théorème généralise un résultat bien connu et rencontré, par exemple, dans l’étude des espaces vectoriels).
Deux groupes possédant des algèbres de Lie isomorphes sont dits localement isomorphes . Ainsi SU(2) et SO(3) sont localement isomorphes. Ils ne sont cependant pas isomorphes.
On admettra le résultat suivant. Deux groupes compacts connexes non isomorphes peuvent admettre des algèbres de Lie isomorphes (on dit qu’il s’agit de groupes localement isomorphes). Les groupes de Lie qui admettent la même algèbre de Lie 𝔤 sont tous de la forme G_i = G∕D_i où D_i est un sous-groupe discret distingué de G. Le sous-groupe D_i est isomorphe au groupe fondamental de G_i (i.e. au premier groupe d’homotopie π₁(G_i)) et le groupe G est simplement connexe (ce qui signifie que son sous-groupe fondamental est réduit à l’identité). G et est appelé revêtement universel de G_i. On note quelquefois G = _i

Exemples de groupes de Lie localement isomorphes.

SU(2) et SO(3) = SU(2)∕Z Z₂	π₁(SU(2)) = 1	π₁(SO(3)) = Z Z₂
SU(3) et SU(3)∕Z Z₃	π₁(SU(3)) = 1	π₁(SU(3)∕Z Z₃) = Z Z₃
I R et U(1) = I R∕Z Z	π₁(I R) = 1	π₁(U(1)) = Z Z

Les groupes SO(n) ne sont jamais simplement connexes.
- Lorsque n = 2, SO(2) = U(1) = S¹ et on sait que π₁(S¹) = Z Z ; le revêtement universel de U(1) est I R, l’ensemble des réels : par définition du cercle (périodicité) on sait que U(1) = I R∕Z Z.
- Lorsque n = 3, on a vu que le revêtement universel de SO(3) est SU(2) et que π₁(SO(3)) = Z Z₂.
- Lorsque n ≥ 3, on montre que π₁(SO(n)) = Z Z₂. Le revêtement universel de SO(n) se note Spin(n). Le fait que Spin(3) = SU(2) est une coïncidence de basse dimension ; on montre que Spin(4) = SU(2)×SU(2), Spin(5) = U(2, I H) ≡ Sp(2) ≡ USp(4), Spin(6) = SU(4).
- Lorsque n > 6, Spin(n) n’est autre que… Spin(n) et ne coïncide pas avec un autre groupe classique. Pour construire explicitement Spin(n), le plus simple est d’utiliser les algèbres de Clifford (voir la discussion en fin de chapitre).

2.2.3 Classification des groupes et algèbres de Lie. Généralités.

Un peu de terminologie

Une algèbre de Lie est abélienne si elle est… commutative.
Une algèbre de Lie est simple si elle n’est pas abélienne et si elle ne possède aucun idéal bilatère non trivial.
Une algèbre de Lie est semi-simple si elle peut s’écrire comme (si elle est isomorphe à une) somme directe d’algèbres simples.
Une algèbre de Lie est non semi-simple si elle n’est pas semi-simple.

On a bien entendu une terminologie analogue au niveau des groupes.

Un groupe de Lie est abélien s’il est… commutatif.
Un groupe de Lie est simple s’il n’est pas abélien et s’il ne possède aucun sous groupe distingué (invariant ) non trivial.
Un groupe de Lie est semi-simple s’il peut s’écrire comme (s’il est isomorphe à un) produit direct de groupes simples.
Un groupe de Lie est non semi-simple s’il n’est pas semi-simple.

Idées fondamentales de la classification

On tente d’abord de classifier les algèbres de Lie. On en déduit la classification des groupes de Lie. Nous supposerons toujours, dans cette section, et sauf mention explicite du contraire, que nous sommes en dimension finie.
On montre qu’une algèbre de Lie quelconque peut toujours se décomposer en une somme directe d’une algèbre de Lie semi-simple et d’une algèbre de Lie non semi-simple particulière qu’on appelle son radical (décomposition de Levi). Pour définir le radical d’une algèbre de Lie 𝔤, on procède comme suit : on commence par construire la “série dérivée” (𝔤⁽ⁱ⁾) de 𝔤 définie par 𝔤⁽ⁱ⁺¹⁾ = [𝔤⁽ⁱ⁾,𝔤⁽ⁱ⁾]. Chaque terme de cette suite est un idéal de 𝔤 contenant le terme suivant. Notons que 𝔤 est abélienne lorsque le premier terme de cette suite (c’est à dire 𝔤⁽¹⁾) est nul. L’algèbre de Lie 𝔤 est dite résoluble lorsque 𝔤^(k) = 0 pour une certaine valeur de k. Etre résoluble est ainsi, pour une algèbre de Lie, une notion un peu plus faible que celle d’être abélienne. Le radical d’une algèbre de Lie quelconque est alors, par définition le plus grand idéal résoluble de cette algèbre de Lie. Le radical d’une algèbre de Lie semi-simple est, bien évidemment, nul. L’existence de la décomposition de Levi montre qu’il faudrait classifier, pour bien faire, d’une part les algèbres de Lie semi-simples et et d’autre part les algèbres de Lie non semi-simples.
La classification des algèbres de Lie non semi-simples est difficile… (et probablement impossible).
La classification des algèbres de Lie semi-simples (sur le corps lC) a été effectuée par E. Cartan. Pour classer les algèbres de Lie semi-simples, il suffit de classer les algèbres de Lie simples.
On classifie d’abord les algèbres de Lie simples complexes (i.e. en tant qu’espace vectoriel, le corps des complexes est lC). On démontre qu’il existe quatre séries infinies A_n, B_n, C_n , D_n d’algèbres de Lie simples. Le symbole n apparaissant en indice fournit le rang de l’algèbre correspondante. Pour n “suffisamment petit”, il peut se faire que des individus appartenant à des séries différentes coïncident. Il peut se faire aussi, pour n petit, que les algèbres en question soient, non pas simples, mais semi-simples (en fait cela n’arrive qu’une seule fois). On y reviendra plus loin. On démontre aussi qu’il existe, en dehors des algèbres de Lie classiques, qui sont, par définition, les membres des quatre séries pré-citées, un nombre fini (cinq) d’algèbres de Lie simples. On les appelle “exceptionnelles” ; ce sont : G₂,F₄,E₆,E₇ et E₈.
Pour une algèbre de Lie complexe donnée, on classifie les différentes algèbres de Lie réelles admettant la même extension complexe ; techniquement, ceci se fait en classifiant les involutions. C’est ainsi que D_n, par exemple, admet les formes réelles distinctes, notées 𝔰o(p,q),p ≥ 0,q ≥ 0,p + q = n, et 𝔰o(2n)^*.
A chaque forme réelle (c’est à dire, à chaque algèbre de Lie réelle correspondant à une algèbre de Lie complexe donnée) on associe un groupe de Lie connexe et simplement connexe, à l’aide de l’application exponentielle. On démontre que, pour une algèbre de Lie complexe donnée (exemple D₃), une seule forme réelle correspond à un groupe de Lie compact (dans notre exemple, il s’agit de = exp(𝔰o(6)). Les autres groupes de Lie ainsi obtenus, à savoir , , et sont non compacts. L’algèbre de Lie réelle unique dont l’exponentielle constitue un groupe de Lie compact s’appelle forme réelle compacte de l’algèbre de Lie complexe donnée (bien que, stricto sensu cette algèbre possède évidemment une topologie non compacte puisqu’il s’agit d’un espace vectoriel !).
A chaque groupe de Lie connexe et simplement connexe , on associe alors une famille de groupes de Lie G_i connexes, mais non simplement connexes en quotientant par un sous-groupe distingué discret K_i (voir la sous-section précédente) : G_i = ∕K_i. On a π₁(G_i) = K_i et est le revêtement universel des G_i. Par exemple, on obtient ainsi SO(6) = ∕Z Z₂ (rappelons la notation consacrée : Spin(n) = ).
Les groupes de Lie compacts correspondant à la forme réelle compacte des algèbres complexes A_n, B_n, C_n et D_n sont les groupes déjà rencontrés notés SU(n + 1), Spin(2n + 1), Sp(n) et Spin(2n) dont nous avons déjà donné les dimensions. Ceux correspondants aux algèbres de Lie exceptionnelles se notent généralement de la même façon que les algèbres de Lie correspondantes. Les dimensions des cinq groupes exceptionnels G₂,F₄,E₆,E₇,E₈ sont respectivement 14, 52, 78, 133, 248.

Remarques diverses

Tout le monde, ou presque, désigne par SO(n) le groupe SO(n, I R) et par SU(n) le groupe SU(n, lC). Les groupes de Lie correspondant à la série C_n se notent malheureusement de façons très diverses suivant les auteurs. Nous avons décidé de noter Sp(n) le groupe compact correspondant et de réserver la notation Sp(2n, I R) pour désigner “le” groupe symplectique (la forme réelle non compacte de C_n qui définit la géométrie de l’espace des phases en mécanique). La notation U(n, I H) se référant aux groupes unitaires quaternioniques (I H est le corps non commutatif des quaternions) est aussi assez en vogue pour désigner le groupe compact Sp(n). Le même groupe est désigné quelquefois par le symbole USp(2n). La raison d’être de cette dernière notation est que ce groupe coïncide avec l’intersection des unitaires (les U(n)) et des symplectiques complexes (les Sp(n, lC)) Pour cette raison on les appelle aussi “les unitaires symplectiques”. Hélas, on peut également trouver des auteurs désignant ce même groupe USp(2n) par USp(n)… Bref, c’est la pagaille.
Toutes les algèbres de Lie, membres de séries A_n, B_n, C_n et D_n — et tous les groupes correspondants — sont simples, à l’exception de D₂ = A₁ ⊕ A₁. Au niveau des groupes, on peut donc écrire Spin(4) = SU(2)×SU(2) = Spin(3)×Spin(3) ; en d’autres termes, SO(4) et SO(3) × SO(3) ont même algèbre de Lie.
Comme annoncé plus haut, il existe des isomorphismes exceptionnels entre membres de séries différentes, lorsque n est assez petit. Les voici
$A1 = D1 = C1 D2 = A1 ⊕ A1 (dˊejˋa vu) A = D C = B 3 3 2 2$

Au niveau des groupes compacts correspondants, on obtient donc les isomorphismes
$SU (2) = Spin(3) = Sp (1) Spin(4) = SU (2 ) × SU (2) SU (4) = Spin(6) Sp (2) = Spin (5 )$

Citons enfin quelques isomorphismes concernant les groupes non compacts. Spin^↑(p,q) désigne ici la composante connexe de l’identité dans Spin(p,q) :
$↑ ↑ ↑ Spin (2,1 ) = SL (2,IR ),Spin (3,1) = SL (2,lC),Spin (4,1) = U (1, 1,IH )$ $↑ ↑ ↑ Spin (5,1) = SL (2,IH ),Spin (3,2) = Sp(4,IR),Spin (4,2) = SU (2,2)$
La classification des algèbres et groupes de Lie ainsi que l’étude des problèmes qui s’y rattachent nécessiterait de décupler la taille de ce chapitre. Nous ne prétendons donc pas, dans ce paragraphe, expliquer quoi que ce soit et nous nous contentons de faire un tour rapide du zoo… Il est difficile de parler de la classification des groupes de Lie sans mentionner les diagrammes de Dynkin (dans un contexte différent on parle aussi de graphes de Coxeter). Mentionnons seulement que la classification de Cartan, pour les algèbres de Lie simples, se réduit, en fin de compte, à un problème de combinatoire admettant une interprétation graphique. A chaque algèbre de Lie simple complexe, on associe donc un petit diagramme (voir n’importe traité de classification des groupes de Lie). Nous recommandons au lecteur de compléter sa culture en allant consulter la littérature appropriée. Notons que ces diagrammes apparaissent absolument partout, c’est à dire non seulement dans un contexte lié à l’étude des algèbres de Lie, mais encore dans bien d’ autres domaines : dans la théorie des groupes engendrés par réflexions, en théorie des singularités, dans la théorie des noeuds, dans la classification des inclusions d’algèbres d’opérateurs (sous-facteurs), en arithmétique, dans la géométrie des solides platoniques (en relation avec l’étude des sous-groupes finis de SO(3)), dans la théorie des carquois, dans celle des systèmes intégrables (en mécanique), dans les théories conformes bi-dimensionelles, en théorie des cordes… Bref, partout. Nous espérons donc que le lecteur, curieux, sera tenté de vouloir comprendre pourquoi ces quelques petits dessins contiennent une telle quantité d’information.
Un dernier mot sur ces diagrammes : certains contiennent des lignes doubles ou triples (exemple de G₂), et d’autres non. Ceux n’utilisant que des lignes simples (ce sont ceux des séries A_n, D_n et E_n) sont souvent considérés, d’une certaine façon, comme plus fondamentaux que les autres ; les algèbres de Lie correspondantes (les algèbres “ADE”) sont également appelées algèbres simplement lacées.

2.2.4 Message

Un tout dernier mot : passer en revue “l’essentiel” de la théorie des groupes de Lie en une seule section – même en se limitant aux généralités et aux problèmes de classification – est certainement une tâche impossible. Un ouvrage entier serait d’ailleurs insuffisant. Nous n’avons fait qu’aborder le sujet. Vouloir dresser la liste de ce qui n’a pas été effleuré serait à la fois inutile et… incomplet ! Voici donc le message le plus important destiné à notre lecteur néophyte : La section qui s’achève ici ne doit pas être considérée comme un résumé, mais comme une invitation au voyage…

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