4.3 Courbure

4.3.1 Linéarité de (d^∇)²

Comme nous l’avons vu, l’opérateur

Cette propriété de linéarité est absolument fondamentale. C’est elle qui, en définitive, est responsable du fait que la courbure est caractérisée par un tenseur. Par ailleurs, le fait que (d^∇)² envoie Γ(E) dans Γ(E) ⊗ Ω²(M) montre que, si on “gèle” les indices de forme (correspondant à l’espace Ω²(M)), cet opérateur envoie —linéairement— les sections de E dans les sections de E. En d’autres termes (d^∇)² peut être considéré comme une 2-forme à valeurs dans le fibré des endomorphismes de E.

4.3.2 Expression de l’opérateur de courbure dans les fibrés vectoriels associes

Remarque : On peut directement définir la courbure sur un fibré principal en restant “dans le fibré principal” c’est à dire sans avoir besoin de se placer sur la base et sans même considérer les fibrés associés. Une telle définition, dans la lignée de celle donnée en section 4.2.1, peut alors se transporter au niveau des différents fibrés vectoriels associés, grâce au choix de la représentation définissant le fibré en question. Il s’agit là d’une méthode élégante mais un peu abstraite en première lecture … Nous y reviendrons un peu plus loin (cf. paragraphe 4.3.6). En attendant, nous préférons définir la courbure plus simplement, dans chaque fibré associé, en utilisant les résultats déjà obtenus pour l’écriture de la dérivée covariante et de la différentielle extérieure covariante.

Nous venons de voir que le carré de la différentielle extérieure covariante est un opérateur (en général non nul !) qui est linéaire par rapport aux fonctions sur la variété. Appliqué a une section d’un fibré vectoriel E, il lui fait correspondre une 2-forme (sur la base M) à valeurs dans E ; l’écriture locale de cet opérateur fera donc appel a deux jeux d’indices différents : des indices μ et ν en position basse, parce qu’il s’agit d’une 2-forme, et deux indices i et j, l’un en position haute et l’autre en position basse, en effet, les indices de forme étant fixés, l’opérateur agit comme un endomorphisme de la fibre (il transforme les sections en sections). Cet objet est, de surcroît, antisymétrique par rapport aux indices de forme μ et ν puisqu’il s’agit... d’une 2-forme ! La donnée de cet opérateur fera donc intervenir n(n - 1)∕2 + p² nombres F _jμνⁱ si on suppose que dimM = n et que la fibre type est un espace vectoriel de dimension p.

L’objet fabriqué peut être considéré de bien des façons. En effet, si on gèle les indices de forme, on obtient F_μν qui est une matrice p × p dont les éléments de matrice sont les F_jⁱ _μν. Si par contre, on gèle les indices de fibre, on obtient F_jⁱ qui est une 2-forme sur la base. Nous verrons même un peu plus loin encore d’autres façons de considérer cet objet. Certains auteurs réservent des notations différentes pour ces objets qui sont mathématiquement distincts. Nous ne le ferons pas car ne pas vouloir commettre de tels abus de notations nuit, à notre avis, à la compréhension. Chaque fois qu’on a un tenseur appartenant à un espace vectoriel E ⊗ F ⊗ G, on peut le considérer comme un élément de Hom((E ⊗ F ⊗ G)^*, lC) ou comme un élément de Hom(E^*,F ⊗ G) ou comme … Cela ne nous semble pas raisonnable de vouloir, à chaque fois, changer la notation désignant l’objet en question !

Nous poserons donc simplement

Nous calculons maintenant l’expression de l’opérateur de courbure F en terme de la connexion A. Soit e_i une famille de sections (locales ou non) constituant, en chaque point x d’un certain voisinage de la base M une base de la fibre V _x au dessus de x. On sait que (d^∇)² : ΓE = Ω⁰(M,E) → Ω²(M,E). On va calculer

Il vient :

4.3.3 Equation de structure pour la courbure

Il existe essentiellement deux façons d’exprimer l’opérateur de courbure. la première, en fonction des coefficients de connexion (potentiels de jauge) est celle que nous venons de voir. La seconde, baptisée “équation de structure” exprime directement la courbure en fonction de l’opérateur de dérivée covariante. A titre d’exercice préliminaire, nous avons déjà calculé explicitement les composantes de la différentielle extérieure covariante d^∇σ d’une 1-forme σ à valeurs dans un fibré vectoriel E. Soit {e^μ} un co-repère mobile (base constituée de sections locales de T^*M) et {e _i} un repère local du fibré E (base constituée de sections locales de E). Soit σ ∈ Ω¹(M,E). On peut donc écrire σ = e _iσ_μⁱe^μ. Nous avons déjà vu que

Supposons maintenant que la 1-forme σ, à valeurs dans E soit elle-même obtenue comme la différentielle d’une section v de E : σ = ∇v. Dans ce cas (d^∇)²v = d^∇σ. Nous utilisons le calcul précédent ; il vient

Mais, par définition,

4.3.4 Identité de Bianchi pour la courbure

Cette identité, désignée souvent sous le nom de deuxième identité de Bianchi (nous verrons la “première” dans le chapitre consacré aux connexions linéaires) est une identité satisfaite par l’opérateur de courbure. Elle s’obtient en utilisant la définition de F = dA + A∧A et les propriétés élémentaires suivantes : d² = 0 et A ∧ (A ∧ A) = (A ∧ A) ∧ A.

Tout d’abord F = dA + A ∧ A ⇒ dF = d²A + dA ∧ A - A ∧ dA. On utilise alors une deuxième fois la définition de F en remplaçant dA par F - A ∧ A dans la dernière expression. Il vient dF = 0 + (F - A ∧ A) ∧ A - A ∧ (F - A ∧ A), d’où

On peut écrire explicitement les indices de forme : voir page 396.

Notons que, lorsque le groupe structural est abélien, A ∧ F - F ∧ A = 0 puisque ces formes sont à valeurs réelles. L’identité de Bianchi s’écrit alors simplement dF = 0, ce qui nous donne la “moitié” des équations de Maxwell décrivant le champ électromagnétique (celles qui ne font pas intervenir les sources). Dans le cas non abélien, et dans le contexte de l’étude des particules élémentaires (par exemple dans l’étude du champ chromodynamique), la même équation de Bianchi nous donne la “moitié” des équations de Yang-Mills (celles qui ne font pas intervenir les sources).

4.3.5 Transformation de jauge pour la courbure

Soit ω une forme de connexion sur un fibré principal P et Ω = Dω la forme de courbure correspondante. Nous avons vu que la définition du potentiel de jauge A et de la courbure F faisait appel au choix d’une section locale

Nous avons étudié au 4.2.4 comment se transformaient les potentiels de jauge par changement de section, à savoir,

4.3.6 Forme de connexion, différentielle covariante et courbure dans les fibrés principaux (compléments)

Remarque générale

Nous avons tout d’abord défini la forme de connexion ω au niveau de fibré principal, puis le potentiel de jauge A_μ^α sur la base (A n’est rien d’autre qu’une écriture locale de ω), puis nous avons défini la matrice de connexion A_jμⁱ dans chaque fibré associé. Il est possible d’adopter une démarche similaire pour la courbure associée à une connexion : il est possible de définir une 2-forme de courbure Ω au niveau du fibré principal, puis son écriture locale F_μν^α sur la base, puis enfin le tenseur F_jⁱ _μν = F_μν^αρ(X _α)_jⁱ dans chaque fibré associé caractérisé par une représentation ρ du groupe structural. Bien entendu, l’objet ainsi obtenu doit coïncider avec la courbure introduite et étudiée dans les sous-sections précédentes où nous avons travaillé tout du long dans les fibrés vectoriels. Cela dit, nous avons préféré, dans le cadre de cet ouvrage, pour des raisons d’ordre aussi bien pédagogiques que pratiques, développer le formalisme de la courbure dans les fibrés vectoriels. Nous allons néanmoins énoncer quelques définitions et résultats généraux, de façon à ce que lecteur se fasse une idée de ce qu’aurait pu être une autre façon de présenter le sujet. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer l’équivalence des différentes approches.

Forme de connexion

Compléments sans démonstration. Soit P = P(M,G) un fibré principal muni d’une forme de connexion ω. Nous savons déjà que les noyaux de ω en e et en eg,g ∈ G sont reliés par Kerω_eg = (Kerω_e)g. Par ailleurs, on sait que la composée de ω avec l’application (R_z)_* : LieGT(z,P) qui, à tout élément de l’algèbre de Lie associe un vecteur tangent en z, doit coïncider avec l’application identique. On en déduit la loi de transformation suivante pour ω :

Différentielle covariante

La différentielle covariante sur un fibré principal , que nous noterons D et non ∇ se définit comme suit. Si est une p-forme sur P (à valeurs réelles ou complexes, à valeurs dans un espace vectoriel, ou encore à valeurs dans une algèbre de Lie), on définit D comme la différentielle extérieure (usuelle) de l’horizontalisée de . Cela signifie que pour calculer D(w₁,w₂,…,w_p,w_p+1) on évalue la différentielle d sur l’horizontalisé des vecteurs w₁,w₂,…,w_p+1.

L’opérateur de courbure dans les fibrés principaux

Aspect global La 2-forme de courbure sur P, que nous noterons Ω (et non F) est définie très simplement comme

Aspect local De la même façon que nous sommes passés de ω, défini sur P à son expression locale, le potentiel de jauge A (la 1-forme définie sur M par A(v) = ω(σ_*v)), nous pouvons passer de Ω (défini sur P) à son expression locale, qui est une 2-forme F définie sur M et à valeurs dans LieG. Choisissons en effet une section locale x ∈ M-→σ(x) ∈ P, et v₁,v₂, deux vecteurs en x. On pose

Si v₁ et v₂ sont deux vecteurs e_μ,e_ν appartenant à un repère mobile {e_μ}, on pose F_μν = F(e_μ,e_ν). Cette expression appartient à LieG. Si on choisit une base {X_α} de cette algèbre de Lie, on peut décomposer F_μν sur cette base, et on écrit donc

Passage aux fibrés associés

Soit maintenant E = E(M,V ) un fibré vectoriel associé à P via une représentation ρ de G sur un espace vectoriel V de dimension p.

Aspect global La forme de connexion ω, à valeurs dans 𝔤 devient ρ(ω) et, de la même façon, la forme de courbure Ω, à valeurs dans 𝔤 devient ρ(Ω) et est à valeurs dans les endomorphismes de V . On a encore

Aspect local Pour obtenir l’expression locale de l’opérateur de courbure, il existe deux possibilités. La première est de transporter l’expression de F, un élément de Ω²(M,𝔤), dans le fibré vectoriel caractérisé par la représentation ρ (il s’agit donc en fait de ρ(F) ∈ Ω²(M,End(V )) mais nous continuerons à le noter abusivement F) en posant

La deuxième possibilité est de représenter localement la 2-forme ρ(Ω). Notons à ce propos que

Ainsi

Rappelons une fois de plus que la courbure Ω, dans P, ne dépend que du choix de la connexion, alors que l’objet F qui lui correspond sur la base (ou dans un fibré associé) dépend également du choix d’une section locale σ. Nous notons encore F cet opérateur de courbure, mais un “puriste” rajouterait quelque part les symboles σ et ρ pour se rappeler que la définition dépend de la section locale σ (dépendance “de jauge”) et de la représentation ρ choisie.

Encore une fois, nous laissons au lecteur le soin de démontrer que cette définition de la courbure au niveau des fibrés associés coïncide avec celle donnée dans les sections précédentes.

L’opérateur D² Les expressions données pour D et Dω conduisent à l’identité de Bianchi que nous avons déjà étudiée auparavant (mais écrite à l’aide de de F)

Mise en garde concernant l’utilisation de la notation D

La différentielle covariante D agit sur les formes (n’importe quelles formes) définies sur le fibré principal P. Certaines de ces formes sont verticales (c’est le cas de la forme de connexion ω), et les autres sont horizontales (c’est le cas de la forme de courbure). Par ailleurs, on sait comment associer, à toute p-forme λ sur M à valeurs dans le fibré vectoriel E, une p-forme sur P, équivariante, à valeurs dans la fibre type ; par construction, est aussi une forme horizontale. La différentielle covariante D agit aussi bien sur ω que sur Ω ou . Cependant, nous avons déjà introduit un opérateur D agissant sur les sections de fibrés associés (ou plus généralement sur les sections-p-formes) ainsi que les règles de calcul correspondantes. Pour un objet équivariant et horizontal, il est facile de voir que les notations sont compatibles en ce sens que, si λ = classe((z,)) alors d^∇λ = classe((z.D)). Par contre, il est dangereux d’utiliser la notation D en dehors de ce contexte ; c’est ainsi, par exemple, que nous nous garderons d’appliquer D (ou d^∇) au potentiel de jauge A lui-même (car il s’agit alors du pull-back, via une section locale, d’une forme verticale).

4.3.7 Ecritures diverses de la courbure F (récapitulatif)

Nous avons déjà mentionné les diverses façons de considérer cet objet. Nous nous contentons ici de rassembler les diverses notations et formules essentielles. On pose T_α = ρ(X_α).

Les physiciens des particules ont l’habitude de développer la courbure sur les générateurs de l’algèbre de Lie, et pour cette raison utilisent le plus souvent les composantes F_μν^α. Par contre, les astrophysiciens, cosmologistes et autres spécialistes des phénomènes gravitationnels ont plutôt l’habitude d’utiliser les composantes F_jⁱ _μν. Le lien entre les deux sortes de notations se fait grâce aux relations précédentes (rappelons que (T_α)_jⁱ désigne, dans le repère {e_i} du fibré vectoriel, les éléments de matrice (i,j) de la matrice T_α, image du générateur X_α de LieG dans la représentation considérée.

4.3.8 Connexions et opérations de Cartan

Dans le chapitre précédent, nous avons vu qu’un espace fibré principal P permettait automatiquement de définir une opération de Cartan de l’algèbre de Lie 𝔤 sur l’algèbre différentielle Ω(P) des formes différentielles sur P, c’est à dire un produit intérieur i_X et une dérivée de Lie L_X, indexés par X ∈ 𝔤 obéissant aux relations usuelles. La seule structure de fibré principal nous a ainsi permis de définir et de caractériser les notions de formes invariantes, horizontales ou basiques.

Nous voulons maintenant généraliser ces opérateurs de façon à ce qu’ils puissent agir sur des formes sur P à valeurs dans une algèbre de Lie 𝔤, c’est à dire sur les éléments de Ω(P,𝔤) = 𝔤 ⊗ Ω(P).

Soit τ ∈ 𝔤 ⊗ Ω^s(P) et X ∈ 𝔤, on peut décomposer τ comme une somme de termes du type Y ⊗ α avec Y ∈ 𝔤 et α ∈ Ω^s(P). On définit :

Une connexion algébrique ω sur l’algèbre différentielle Ω(P) est, par définition, la donnée d’un élément de 𝔤 ⊗ Ω¹(P) obéissant aux deux conditions suivantes

Cette définition est encore valable lorsqu’on remplace Ω(P) par une algèbre différentielle Z Z-graduée quelconque munie d’une opération de Cartan. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que la notion de forme de connexion, telle qu’elle a été définie précédemment coïncide bien avec la notion de connexion algébrique sur Ω(P).

De façon générale, on appelle courbure d’une connexion algébrique la 2-forme Ω à valeurs dans 𝔤 définie par

4.3.9 Groupe d’holonomie d’une connexion, fibré d’holonomie

Il s’agit là d’un important sujet mais nous ne ferons que donner quelques définitions générales et énoncer un théorème célèbre.

Soit z un point d’un fibré principal P = P(M,G) qu’on supposera muni d’une connexion ω. Le groupe d’holonomie H(z) de la connexion ω au point z est défini comme suit

Nous venons de considérer l’ensemble des points de P qui, d’une part, sont situés dans la même fibre que z et qui, d’autre part, peuvent être reliés à z par une courbe horizontale. On peut, de façon plus générale ne pas supposer que ces points sont dans la même fibre. On obtient ainsi la définition du fibré d’holonomie en z :

Soient Z₁ et Z₂, deux champs de vecteurs horizontaux et Ω la 2-forme de courbure associée à la connexion choisie. On démontre alors (théorème d’Ambrose-Singer) que les éléments de LieG qui sont de la forme Ω_z(Z₁(z),Z₂(z)) engendrent l’algèbre de Lie du groupe d’holonomie au point z.

D’une certaine façon, le groupe d’holonomie en z fournit donc une estimation de la courbure en ce point. Ceci est d’ailleurs assez intuitif : si un transport par parallelisme le long d’une courbe fermée n’entraîne aucune “rotation” du repère, c’est que la région dans laquelle on se promène est assez plate …

4.3.10 Réduction des connexions

Soit P = P(M,G), un espace fibré principal, H un sous-groupe de G et soit Q = Q(M,H) une réduction du fibré P. Nous savons qu’une telle réduction est associée au choix d’une section globale (que nous désignerons par Φ) dans le fibré en espaces homogènes E = E(M,G∕H) qui est associé à P via l’action à gauche de G sur G∕H. On rappelle que Q = p^-1(Φ(M)) où p désigne la projection de P sur E = PmodH.

Soit maintenant ω une forme de connexion définissant une forme de connexion principale dans P. On dira que cette connexion est réductible et se réduit à Q si la restriction (au sens de la restriction des applications) de ω à Q définit une connexion principale dans le fibré Q. En particulier, ω, restreinte à Q doit être à valeurs dans l’algèbre de Lie du groupe H.

Au niveau des algèbres de Lie, nous pouvons écrire 𝔤 = 𝔥 ⊕ 𝔰 où 𝔤 et 𝔥 désignent respectivement les algèbres de Lie de G et de H, et où 𝔰 est un sous-espace vectoriel supplémentaire de 𝔥 dans 𝔤, espace vectoriel qui peut être identifié avec l’espace tangent à l’origine de S = G∕H. Supposer la connexion ω réductible revient à supposer qu’elle ne possède pas de composantes le long de l’espace vectoriel 𝔰.

Soit ω une forme de connexion quelconque dans le fibré P et ω_Q sa restriction au sous-fibré Q. On peut toujours décomposer

Soit Ω = dω + 1 2[ω ∧ ω] la courbure de ω et Ω_Q sa restriction à Q. Il vient immédiatement :

Cette décomposition de la forme de connexion ω et de la courbure correspondante Ω peut être effectuée chaque fois qu’on a une réduction du fibré P (chaque fois qu’on a une section globale Φ de PmodH). La forme de connexion elle-même n’est pas nécessairement réductible : en général θ_Φ≠0.

Citons trois exemples particulièrement importants de ce type de construction. Nous n’aurons pas le loisir de beaucoup les discuter plus avant mais nous les proposons néanmoins au lecteur, comme thèmes de réflexion.

• En physique, cette décomposition de la forme de connexion apparaît lorsqu’on analyse le phénomène de brisure de symétrie : la forme de connexion ω_Φ (où plutôt le potentiel de Yang-Mills associé) est le champ de Yang-Mills survivant à la brisure de symétrie, et τ_Φ (où plutôt le potentiel associé) décrit les bosons vectoriels massifs.
• Il existe un fibré principal dont nous n’avons jamais parlé et qu’on peut construire en élargissant le fibré FM des repères linéaires : c’est le fibré AM des repères affines. On le construit par la méthode générale d’élargissement des espaces fibrés, en remplaçant le groupe de structure de FM (à savoir le groupe linéaire GL(n)) par son produit semi-direct avec les translations, c’est à dire le groupe affine GL(n) ∘ I Rⁿ. Conformément à la discussion qui précède, on peut, à l’aide d’une connexion linéaire (une connexion sur FM) et de la 1-forme canonique θ sur FM à valeurs dans I Rⁿ (un élément particulier de Λ¹(FM, I Rⁿ) sur lequel nous reviendrons en section 4.4.4), fabriquer une forme de connexion sur le fibré principal AM. Une telle connexion sur AM, construite grâce à la forme canonique θ, s’appelle connexion affine. (attention : il existe des connexions sur AM qui ne sont pas de ce type) et la différentielle covariante Dθ s’interprète, dans ce cas, comme la 2-forme de torsion. Nous y reviendrons. Notons que, dans le cas général on peut désigner Dθ sous le nom de forme de torsion généralisée.
• On peut aussi partir du fibré principal FM des repères linéaires et, grâce au choix d’une métrique (une section globale de FMmodSO(n), dont la fibre type est GL(n)∕SO(N)), le réduire à un fibré de repères orthonormés noté OM. Une connexion arbitraire sur FM n’est pas nécessairement réductible. On dira qu’une connexion sur FM est une connexion métrique, ou encore, qu’elle est compatible avec la métrique, si elle est réductible. Bien entendu, on pourrait tout aussi bien choisir directement une connexion sur un fibré OM lui-même caractérisé par le choix d’une métrique. Nous y reviendrons également.