Cas particulier des connexions lineaires

4.4 Cas particulier des connexions linéaires

4.4.1 Définition et généralités

A priori, un fibré principal donné n’est pas nécessairement relié au fibré des repères linéaires d’une variété. Cela étant, il est certain que le fibré des repères linéaires fournit un exemple particulièrement remarquable d’espace fibré. Il en va de même, plus généralement, pour n’importe quel fibré principal associé au fibré tangent d’une variété et pour lequel, donc, le groupe structural est un sous-groupe de GL(n, I R).

On dira qu’une connexion est une connexion linéaire si elle est définie dans le fibré principal des repères linéaires ou dans un sous-fibré de ce dernier. Ce qu’il y a de particulier dans ce cas est que les indices de fibre (que nous avons noté i,j,k… dans les sections précédentes) peuvent coïncider —ou tout au moins être canoniquement associés — avec les indices de base (que nous avons noté μ,ν,ρ,… dans les sections précédentes). Dans le paragraphe consacré aux différentielles extérieures covariantes, nous nous sommes efforcés de bien établir une distinction entre ces deux types d’indices. Le fait de pouvoir les confondre, dans le cas des connexions linéaires, ouvre de nouvelles possibilités (on peut ainsi, par exemple, “contracter” un indice de fibre avec un indice de base) mais est également à l’origine de confusions dangereuses…

Bien évidemment, les connexions dans des fibrés vectoriels associés quelconques (non reliés au fibré tangent) sont aussi “linéaires” que “nos” connexions linéaires mais il se trouve qu’une grande partie de la planète (en particulier la communauté des physiciens théoriciens) a adopté cette terminologie, par ailleurs commode.

Nous venons de définir une connexion linéaire comme connexion définie dans le fibré des repères linéaires ou dans un sous-fibré de ce dernier. Il y a là une subtilité qu’il faut bien comprendre : il est certain qu’une forme de connexion à valeurs dans l’algèbre de Lie du groupe H, avec H ⊂ G, peut s’étendre à une forme de connexion à valeurs dans l’algèbre de Lie de G puisque tout fibré principal peut être élargi (relire à ce sujet la section consacrée au changement de groupe structural dans les fibrés principaux) et qu’il suffit alors de mettre à zéro les composantes supplémentaires de la forme de connexion choisie. Par contre, et même dans le cas où le fibré des repères linéaires peut être réduit (relire la même section), il n’est pas du tout évident que la forme de connexion puisse l’être. Nous reviendrons à ce problème dans la section consacrée à l’étude des connexion riemanniennes.

Il faut enfin attirer l’attention du lecteur sur le fait qu’il est a priori possible de fabriquer, à partir d’une variété différentiable de dimension n donnée, différents fibrés principaux ayant pour groupe structural GL(n, I R) et ne coïncidant pas entre eux. Par exemple, on peut choisir une variété non parallélisable (comme la sphère S⁴) et construire d’une part le fibré principal (non trivial) des repères linéaires P ainsi que le fibré principal trivial Q = S⁴ × GL(4, I R).

4.4.2 Potentiel de jauge et courbure des connexions linéaires

Une connexion linéaire étant un cas particulier de connexion principale, tout ce qui a été écrit précédemment à ce sujet reste vrai. Nous nous contenterons donc de re-écrire les formules les plus utiles dans le contexte présent.

Pour des raisons historiques, le potentiel de jauge se note plutôt Γ (et non A) et le tenseur de courbure se note plutôt R (et non F).

Soit {X_a} une base de LieGL(n, I R) et { ∂__ ∂x^μ} le repère naturel associé à une carte locale sur M. On pourra écrire $a μ Γ = ΓμXadx$
En gardant la même notation X_a pour les matrices qui représentent les générateurs, matrices qui agissent donc sur les n-uplets de composantes des vecteurs tangents, Γ devient alors une matrice de connexion dont les éléments de matrice Γ_ρ^ν sont des 1-formes, puisque $Γ νρ = Γ νρμdx μavecΓ νρμ = Γ aμ (Xa )νρ$ Les nombres Γ_ρμ^ν sont les coefficients de connexion qu’on désigne souvent, dans ce cas, sous le nom de Symboles de Christoffel . En fait, les symboles de Christoffel désignent traditionnellement les coefficients de connexion associés à la connexion riemannienne (connexion de Levi-Civita) écrits dans un repère naturel (voir plus loin).
Attention, rien ne nous oblige à choisir la même base dans la fibre au point P (i.e. dans T(M,P)) et dans l’espace tangent au point P (encore T(M,P) !). Ainsi donc, nous pouvons choisir sur la base un repère naturel {∂_μ} et, sur la fibre —qui coïncide avec la base— un repère mobile {e_α = Λ_α^μ∂_μ} ; dans ce cas, les éléments de matrice se noteront Γ_β^α et ce seront évidement toujours des 1-formes Γ_β^α = Γ_βμ^αdx^μ.
Par ailleurs, rien ne nous oblige, non plus, à choisir un repère naturel sur la base… On pourrait, en effet, très bien choisir un autre repère mobile e_μ, avec co-repère dual e^μ, auquel cas, on écrirait Γ_β^α = Γ_βμ^αe^μ.
Dans le cas où nous choisissons les indices de base différents des indices de fibre, les diverses formules données dans les sections précédentes pour un fibré vectoriel quelconque restent absolument identiques (remplacer seulement les indices de fibre “i,j” par les indices appropriés).
Dans le cas où l’on décide d’utiliser un seul et unique repère local (par exemple un repère naturel e_μ = ∂_μ et co-repère correspondant e^μ = dx^μ), il faut faire très attention à la position de l’indice de forme (il n’existe pas de conventions universelles !) En général, $|----------------------| |∇e = e Γ ν = e Γ νe μ ----ρ----ν-ρ----ν--ρμ----$ Pour un vecteur v = e_ν(.)v^ν ∈ TM, on obtient
$∇v = ∇ (eρvρ) ν ρ ρ = (eνΓρ)v + eρdv = (Γ νρμvρ + eμ[vν])eνeμ = ∇ veμ μ$
Notons que $∇ v = ⟨∇v, e ⟩ = v νe μ μ ;μ ν$ Pour les éléments du dual, la différentiation covariante introduit, comme d’habitude, un signe “moins” : $|--------------------------| |∇e ν = - eρΓ νρ = - eρΓ νρμeμ ---------------------------$ Attention : conformément à nos conventions générales (que nous ne respectons pas toujours !) nous avons écrit les composantes à droite des vecteurs de base, mais, bien que e_nu soit une dérivation de l’algèbre des fonctions, il ne faut pas confondre le champ de vecteurs v = e_νv^ν, qui signifie, en fait, v[.] = e_ν[.]v^ν avec la fonction scalaire e_ν[v^ν] !
Re-écrivons, pour terminer, la loi de transformation des coefficients de connexion (avec, par exemple e_ν^′^′ = Λ_ν^′^μe_μ)
$′ ′ ′ Γ ′νρ′μ′ = (Λ -1)νσ Γ στμΛτρ′Λμμ′ + (Λ -1)νσ ∂μΛσρ′Λμμ′$
En ce qui concerne le tenseur associé à l’opérateur de courbure, il se nomme le tenseur de Riemann et ses composantes sont notées R_βμν^α (au lieu de F_βμν^α). Si on choisit la même base dans la fibre et dans l’espace tangent au point considéré, il se note alors R_σμν^ρ et il faut bien entendu se rappeler qu’il est antisymétrique sur les indices μ et ν puisqu’il provient d’une matrice R = dΓ + Γ ∧ Γ dont les éléments de matrice R_σ^ρ sont des 2-formes.
Si le repère choisi est un repère naturel {e_μ = ∂ __ ∂x^μ}, on a donc
$ρ 1- ρ μ ν R σ = 2R σμνdx ∧ dx$
Si le repère choisi est un repère mobile {e_μ} avec fonctions de structure f_μν^ρ définies par [e_μ,e_ν] = f_μν^ρe_ρ, on a
$ρ 1- ρ μ ν R σ = 2 Rσμνe ∧ e$ où e^μ désigne le corepère mobile dual.
L’expression R = dΓ + Γ ∧ Γ, ou, plus simplement, l’equation de structure pour la courbure,
$R (u, v) = [∇u, ∇v ] - ∇[u,v]$ équation établie en section 4.3.3, équation qui est, bien sûr, encore valable dans le cas des connexions linéaires, nous permet de calculer explicitement les composantes de R en fonction des coefficients de connexion et des fonctions de structure du repère. On calcule simplement

$|-----------------------------------------------------------| R αβμν = ⟨eα,R (eμ,eν)eβ⟩ | -----=--(Γ αβν,μ --Γ-αβμ,ν)-+-(Γ ατμΓ-τβν --Γ ατνΓ τβμ---Γ-αβτfμντ)$
où, comme d’habitude, on a noté h_,μ = e_μ[h], pour toute fonction h, que {e_μ} soit un repère mobile ou un repère naturel (dans ce dernier cas, f_μν^τ = 0). L’alignement des indices haut et bas dans la formule précédente est pour l’instant sans importance, car on n’a pas encore de métrique (de produit scalaire) pour identifier un espace vectoriel avec son dual, c’est à dire pour “monter” ou “descendre” les indices. Cela dit, c’est une bonne habitude d’écrire Γ^α_βμ et f_μν^ρ plutôt que Γ_βμ^α et f_μν^ρ car, dans la section suivante, consacrée aux connexions métriques, nous poserons Γ_αβμ = g_αγΓ^γ_βμ et f_μνρ = g_ρσf_μν^σ

4.4.3 Différentielle extérieure covariante (cas des connexions linéaires)

Nous avons déjà défini l’opérateur d^∇ : Ω^p(M,E)Ω^p+1(M,E) agissant sur les sections-p-formes d’un fibré vectoriel quelconque. Lorsque E = TM (ou une puissance tensorielle quelconque d’icelui), ce qui a été précédemment écrit reste vrai. La nouveauté vient du fait que, par suite de l’identification possible entre indices de base et indices de fibre, un seul et même objet peut être regardé de plusieurs façons différentes. Nous allons directement définir l’action de l’opérateur D, agissant sur des objets indexés (par exemple B^μ_νρ) en décidant de ne jamais faire apparaître les indices de forme : c’est ainsi que si nous nous intéressons à une 2-forme à valeurs dans le fibré vectoriel TM ⊗ T^*M ⊗ T^*M, objet dont la décomposition complète par rapport à un repère naturel s’écrirait

⊗ B = 1-Bμνρστ(-∂-- ⊗ dxν ⊗ dx ρ) (dx σ ∧ dx τ) 2! ∂x μ

ou, mieux encore, plus simplement (c’est à dire en passant le ⊗ sous silence)

∂ ν ρ 1 μ σ τ B = (---μ ⊗ dx ⊗ dx )--B νρστ(dx ∧ dx ) ∂x 2!

Nous conviendrons de sous-entendre les indices de forme σ, τ et d’appliquer D à l’objet B^μ_νρ qui, évidemment, n’est plus une fonction mais une 2-forme, puisque

|-------------------------| B μ = 1B μ dxσ ∧ dx τ| ---νρ---2---νρστ-----------

C’est donc la notation elle-même qui définit le fibré dans lequel on se place, puisque seuls apparaissent les indices de fibre. On voit donc que

|------∂-------ν-----ρ---μ--| -B-=-(∂xμ-⊗-dx--⊗--dx-)B--νρ-

Pour ce qui est de l’opérateur D nous obtenons,

|-----------------------------------------------------| DB μνρ = dB μνρ + Γ μλ ∧ B λνρ - Γ λν ∧ B μλρ - Γ λρ ∧ B μνλ -------------------------------------------------------

Nous laissons au lecteur le soin de généraliser (de manière évidente) ces formules pour un objet B quelconque ayant un nombre quelconque d’indices en haut et en bas. Dans le cas présent, l’objet obtenu est donc une 3-forme à valeurs dans TM ⊗ T^*M ⊗ T^*M et on pourrait le noter, de façon intrinsèque, sous la forme d^∇B, avec, par conséquent

|-------------------------------| d∇B = (∂∂xμ ⊗ dxν ⊗ dxρ)DB μνρ| ---------------------------------

L’inconvénient de la notation d^∇B est qu’il faut se rappeler dans quel fibré on se place ; en effet, rien ne nous interdit de considérer B comme une 0-forme à valeurs dans TM ⊗ (T^*M)^⊗4 ou même, comme une 1-forme à valeurs dans TM ⊗ (T^*M)^⊗3… le problème étant alors que les opérateurs d^∇ relatifs à ces différents fibrés sont différents et que donc, les objets d^∇B obtenus sont également différents (et tous absolument intrinsèques !). L’action de l’opérateur D, quant à elle, est bien déterminée, à condition, bien sûr, d’adopter la convention précédemment décrite, à savoir le fait d’écrire systématiquement les indices de fibre et de simultanément masquer les indices de forme. Le lecteur saura donc immédiatement calculer DB^μ_νρ aussi bien que DB^μ_νρστ ou que DB^μ_νρσ.

Pour lever l’ambiguïté concernant la notation d^∇, il faudrait écrire d_(p,q)^∇ pour la différentielle extérieure covariante agissant sur les formes de degré quelconque à valeurs dans (TM)^⊗p ⊗ (T^*M)^⊗q.

Pour illustrer notre propos, nous considérons un premier exemple donné par un tenseur antisymétrique de rang 2, noté F = 1 2F_μνdx^μ ∧ dx^ν = F_μνdx^μ ⊗ dx^ν, sur la variété M. Nous pouvons considérer cet objet comme

Une 2-forme sur M à valeurs réelles. Dans ce cas, la différentielle extérieure covariante, que nous devrions noter d_0,0^∇ coïncide avec la différentielle extérieure. En effet, puisqu’il n’y a aucun indice de fibre, l’opérateur D agit sur F et $∇ DF = dF = d0,0F$ Le résultat est une 3-forme.
Une 0-forme sur M à valeur dans le fibré T^*M ⊗ T^*M (en l’occurrence, dans la partie antisymétrique de ce dernier). Dans ce cas l’opérateur D agit sur F_μν et $DF μν = dF μν - Γ σμF σν - Γ σνFμσ$ Quant à la différentielle extérieure covariante, que nous devrions noter d_0,2^∇, elle est donnée par $∇ μ ν 1 d0,2F = (dx ⊗ dx )2DF μν$ et coïncide donc tout simplement avec la différentielle covariante usuelle puisque F est considérée comme 0-forme : ∇F = 1 2F_μν;ρdx^μ ⊗ dx^ν ⊗ dx^ρ avec F_μν;ρ = F_μν,ρ - Γ_μρ^σF_σν - Γ_νρ^σF_μσ. Comme d’habitude, la différentielle extérieure covariante d’une 0-forme coïncide avec la différentielle covariante. Notons également que ∇F n’est pas complètement antisymétrique : ce n’est pas une 3-forme mais une 1-forme à valeurs dans la partie antisymétrique du produit tensoriel T^*M ⊗ T^*M.
Une 1-forme sur M à valeurs dans le fibré vectoriel T^*M. Conformément à nos habitudes, nous faisons agir D sur un objet dont on n’écrit jamais les indices de forme. On pose donc F = dx^μF_μ, ce qui définit en même temps la 1-forme F_μ = F_μνdx^ν, et on calcule DF_μ = dF_μ - Γ_μ^σF_σ. La différentielle extérieure covariante d_0,1^∇F = dx^μDF_μ est donc une 2-forme sur M à valeurs dans T^*M.
Les deux indices de F_μν jouant des rôles semblables, on peut également définir la 1-forme F_ν^′ = F_μνdx^μ(= -F_ν), calculer DF_ν^′ = dF_ν^′- Γ_ν^σF_σ^′ et poser d_0,1^′∇F = dx^νDF_ν^′(= -d_0,1^∇F)

Notre deuxième exemple sera un tenseur symétrique de rang 2 noté g = g_μνdx^μ ⊗dx^ν. Cet objet peut être considéré comme une 0-forme à valeurs dans le fibré T^*M ⊗ T^*M, en l’occurrence, dans la partie symétrique de ce dernier, ou encore, de deux façons différentes, comme une 1-forme à valeurs dans le fibré T^*M. Pour être en accord avec nos conventions d’écriture, on devrait plutôt écrire g = (dx^μ ⊗ dx^ν)g_μν lorsqu’on veut considérer g comme 0-forme. Dans ce cas, on posera

σ σ Dg μν = dgμν - Γ μgσν - Γ νgσμ

La différentielle extérieure covariante d_0,2^∇ coïncide alors avec la différentielle covariante ∇ puisqu’elle est appliquée à une 0-forme :

d∇0,2g = ∇g = dx μ ⊗ dx νDgμν = gμν;ρdx μ ⊗ dxν ⊗ dxρ

En tant que 1-forme, on écrira plutôt g = dx^μg_μ, ce qui définit la 1-forme g_μ = g_μνdx^ν. Dans ce cas, on posera

σ Dgμ = dgμ - Γμgσ

et la différentielle extérieure covariante d_0,1^∇g sera donnée par

d∇0,1g = dxμDg μ

Les deux indices de g_μν jouant des rôles semblables, on peut également “geler” l’indice ν et définir un autre objet d_1,0^′∇g, d’ailleurs égal à d_0,1g puisque g est symétrique. Nous reviendrons à ces diverses différentielles extérieures en donnant la définition du laplacien de Lichnerowicz, page 394.

4.4.4 Forme canonique (ou forme de soudure)

Le lecteur est maintenant familiarisé avec ce qui fait l’originalité des connexions linéaires par rapport aux connexions principales en général, à savoir la possibilité d’identifier “les indices de base” avec “les indices de fibre”. Il est donc largement temps d’examiner cette identification sous un angle un peu plus géométrique, ceci va nous conduire à découvrir un nouvel objet : la torsion.

Soit P = P(M,G) le fibré principal des repères sur M, ou un sous-fibré de ce dernier. Soit e un élément de P, c’est à dire, un repère de M. Considérons un vecteur u en e, c’est à dire un élément de T(P,e), c’est à dire encore, intuitivement, un “petit déplacement” du repère e dans l’espace des repères. Grâce à la projection π : PM qui, à un repère, associe son origine, ou plutôt, grâce à son application tangente π_*, nous pouvons prendre l’image v = π_*u de u. Le vecteur v est un vecteur tangent à M situé à l’origine du repère e : v ∈ T(M,π(e)). Ce qu’il y a d’absolument unique dans le cas du fibré des repères, c’est que nous pouvons maintenant décomposer v sur l’élément e de P d’où nous sommes partis (puisque e est un repère !) : v = e_μ.v^μ, v^μ ∈ I R. Nous avons donc construit une application θ qui, à tout vecteur u tangent au fibré principal P, associe un n-uplet de nombres (les composantes de v), c’est à dire un élément de I Rⁿ. Cette application θ est donc une 1-forme sur P à valeurs dans I Rⁿ et est désignée sous le nom de forme canonique (le mot “canonique” faisant référence au fait que sa définition ne dépend d’aucun choix de système de coordonnées) et quelquefois sous le nom de forme de soudure puisqu’elle permet de “souder” la fibre type I Rⁿ (considéré comme espace de représentation pour le groupe linéaire) avec l’espace tangent à la base. Cette forme θ est évidemment équivariante puisque v = e_μ.v^μ = e_μΛ.Λ^-1v^μ. Elle définit donc une 1-forme sur M à valeurs dans le fibré tangent TM = P ×_GI Rⁿ. A ce propos,nous suggérons au lecteur de relire la discussion générale, section 3.3.10, décrivant la correspondance bi-univoque existant entre sections de fibrés associés —ou p-formes à valeurs dans un fibré associé— et les fonctions —ou les p-formes— équivariantes, définies sur le fibré principal et à valeurs dans la fibre type. On identifie en général : Ω_eq^p(P, I Rⁿ) ≃ Ω^p(M,TM).

La 1-forme obtenue sur M se note encore θ et son expression, relativement au choix d’un repère mobile {e_μ} et du corepère mobile dual {θ^μ}, est tout simplement

θ = eμ.θμ ∈ Ω1 (M, TM )

où, conformément à la convention déjà utilisée précédemment, nous avons omis de faire figurer le symbole du produit tensoriel entre les éléments pris comme base de la fibre (ici e_μ) et ceux pris comme base de l’espace des formes (ici θ^μ). Nous avons aussi, conformément à nos conventions, écrit les formes à droite des vecteurs de la fibre. Notons enfin que θ est bien tel que

μ ν μ ν μ ν μ θ(v) = eμ.θ (eνv ) = eμ.θ (eν)v = eμ.δν v = eμ.v = v

θ n’est donc rien d’autre que l’application identique… mais considérée comme 1-forme sur M à valeurs dans le fibré tangent, c’est à dire, comme un élément de Ω¹(M,TM). Dans la littérature physique, le repère mobile {e_μ} entrant dans l’expression de la forme de soudure est quelquefois appel/ vierbein (“quatre pattes”).

4.4.5 Torsion

Le lecteur trouve peut-être un peu longue (tordue ?) cette variation sur l’application identique… mais il se trouve que c’est elle qui fait la spécificité du fibré principal des repères. Lorsque ce dernier est muni d’une connexion, la différentielle covariante de θ n’est pas nécessairement nulle et n’est autre que la torsion.

Reprenons :

θ = eμθμ ∈ Ω1(M, T M )

est la 1-forme canonique

Définissons la 2-forme de torsion

|-----∇------2----------| -T-=-d--θ-∈-Ω-(M,-T-M-)--

T est ainsi une 2-forme à valeurs dans le fibré tangent, on peut donc l’écrire

|--------μ| T--=-eμT---

où T^μ est la 2-forme,

|-μ------μ---1--μ---ν----ρ| T---=-D-θ--=-2T--νρθ--∧-θ--

Bien entendu, on peut également considérer la torsion comme un tenseur de rang 3, de type (1, 2), antisymétrique sur les indices ν et ρ, et écrire

T = Tμ νρeμ ⊗ θν ⊗ θρ.

Calculons à présent la torsion à partir de sa définition :

∇ ∇ μ T = d θ = d (eμ.θ ) = (∇e μ) ∧ θμ + eμ.dθμ ν μ μ = eνΓ μ ∧ θ + eμdθ = eμ(dθμ + Γ μν ∧ θν) = eμD θμ ≡ eμ.T μ

Ainsi

μ μ μ ν T = dθ + Γ ν ∧ θ

et ses composantes sont T^μ_νρ = T^μ(e_ν,e_ρ)

La différentielle extérieure ordinaire d n’agissant que sur les indices de forme, on a dθ = d(e_μ.θ^μ) = e_μ.dθ^μ et on peut donc écrire, encore plus simplement

|---------------| -T-=-dθ-+-Γ-∧-θ-|

Si on utilise également la notation D décrite avec force détails en section 4.2.7, on voit que

∇ μ d θ = eμ.D θ

(puisque θ = e_μ.θ^μ), et donc

|--μ------μ| -T--=--D-θ--

On pourra également écrire T_νρ = T(e_ν,e_ρ).

4.4.6 Equation de structure pour la torsion

Nous avons établi, en section 4.2.8, l’égalité suivante, valable pour la différentielle extérieure covariante d’une 1-forme σ quelconque, à valeurs dans un fibré vectoriel E : soit σ ∈ Ω¹(M,E), alors

d ∇σ(eμ,eν) = ∇ μσ (eν) - ∇ νσ(eμ) - σ([eμ,eν])

Dans le cas particulier où E = TM et où σ est égale à la forme canonique θ, l’égalité précédente se simplifie considérablement puisque θ n’est autre que l’identité (θ(v) = v). Il vient donc

|-----------------------------| |Tμν = ∇ μeν - ∇ νeμ - [eμ,e ν]| ------------------------------

Cette dernière égalité, qui est quelquefois prise comme définition de la torsion, est l’équation de structure cherchée. L’expression du tenseur de torsion en termes de coefficients de connexion et des fonctions de structure du repère mobile ([e_μ,e_ν] = f_μν^ρe_ρ) est donc la suivante

|-ρ------ρ------ρ--------ρ| T--μν =-Γ-νμ --Γ-μν---fμν--

On retrouve, bien sur, la propriété d’antisymétrie qu’on connaissait déjà :

T ρμν = - T ρνμ

Notons que, si on se place dans un repère naturel (f_μν^ρ = 0) l’expression du tenseur de torsion est simplement donnée par la partie antisymétrique des coefficients de connexion. En conséquence, si, dans un repère naturel, la connexion est telle que Γ^ρ_νμ = Γ^ρ_μν, la torsion est nulle.

4.4.7 Identités de Bianchi pour les connexions linéaires

Nous avons, en section 4.3.4 établi l’identité de Bianchi relative à la courbure F d’une connexion quelconque A. Rappelons qu’elle s’écrit dF + A ∧ F = F ∧ A. Dans le cas des connexions linéaires on obtient donc directement l’identité

|---------------------| -dR-+-Γ-∧-R--=-R-∧-Γ-.|

Rappelons que cette identité s’obtient en calculant la différentielle extérieure de R = dΓ + Γ ∧ Γ, en substituant dΓ par R - Γ ∧ Γ dans le résultat. Pour des raisons historiques cette identité relative à la courbure est connue sous le nom de “deuxième identité de Bianchi”. Le qualificatif “deuxième” vient du fait qu’il existe une “première identité de Bianchi” ; c’est une identité relative à la torsion, elle n’a donc un sens que pour les connexions linéaires. Elle s’obtient par une méthode analogue à la précédente, mais cette fois-ci en calculant la différentielle extérieure de la torsion.

T = dθ + Γ ∧ θ = ⇒ dT = 0 + d Γ ∧ θ - Γ ∧ d θ = ⇒ dT = (R - Γ ∧ Γ ) ∧ θ - Γ ∧ (T - Γ ∧ θ) = ⇒ dT = R ∧ θ - Γ ∧ Γ ∧ θ - Γ ∧ T + Γ ∧ Γ ∧ θ

D’où

|-------------------| dT--+-Γ-∧-T-=-R--∧-θ-

Les deux identités de Bianchi s’écrivent, comme on vient de le voir, de façon assez simple lorsqu’on utilise des notations suffisamment compactes. On peut même “compactifier” davantage en écrivant d^∇T = dT + ∇T = dT + Γ ∧ T et en utilisant le fait que T = d^∇θ ; l’identité de Bianchi relative à la torsion s’écrit donc

|--∇-2----------| -(d-)-θ-=-R-∧-θ--

ce qui est d’ailleurs bien évident puisque le carré de la différentielle extérieure covariante n’est autre que l’opérateur de courbure. Par contre, si on veut absolument écrire ces identités avec tous les indices, les choses peuvent devenir assez compliquées... Pour apprécier tout le sel de cette remarque, il n’est peut-être pas inutile de nous vautrer, pour un court paragraphe, dans la “débauche des indices”, activité qui fut très prisée au début du siècle et qui reste encore presque indispensable lorsqu’on veut effectuer des calculs totalement explicites.

Première identité (relative à la torsion)

Le membre de droite de cette identité s’écrit explicitement

1 ′ ′ R μτ ∧ θτ = -R μτρ′σ′θρ ∧ θσ ∧ θτ 2 ⇒ ⟨Rμ ∧ θτ,e ⊗ e ⊗ e ⟩ = 1R μ ′′⟨θρ′ ∧ θσ′ ∧ θτ,e ⊗ e ⊗ e ⟩ τ ν ρ σ 2 τρσ ν ρ σ

Donc

1-1-R μτρ′σ′δρ′σ′τ′ = 1-(R μνρσ + Rμ ρσν + R μσνρ) 2!3! νρσ 2

Le membre de gauche, quant à lui, dT^μ + Γ_τ^μ ∧ T^τ peut également s’évaluer sur e_ν ⊗ e_ρ ⊗ e_σ. Il est donc possible d’écrire la première identité de Bianchi de façon telle que seuls les tensions de courbure et de torsion apparaissent explicitement :

|------------------------------------------------------------------------------------| |Rμνρσ + R μρσν + R μσνρ = Tμ νρ;σ + Tμρσ;ν + T μσν;ρ + T τνρT μτσ + TτρσT μτν + TτσνT μτρ| --------------------------------------------------------------------------------------

Si on introduit l’opérateur de cyclicité Σ_λ défini pour tout tenseur B de rang trois par

Σ λB (x, y,z) = B (x,y,z) + B (y,z,x) + B (z, x,y)

cette identité s’écrit encore :

Σλ{R (x,y)z} = Σλ{(∇X T)(y,z)} + Σ λ{T (T (x,y),z)}

Deuxième identité (relative à la courbure)

On peut soumettre la deuxième identité de Bianchi (celle relative à la courbure) à un traitement similaire : le membre de gauche dR + Γ ∧ R se transcrit immédiatement en une somme cyclique de dérivées covariantes du type R^μ_νρσ;τ et le membre de droite R ∧ Γ peut se retranscrire en une somme de termes du type R^μ_νρσT^ρ_τκ en utilisant la relation entre torsion et coefficients de connexion établie en 4.4.6. Il vient

|-μ---------μ---------μ--------μ-----κ-----μ----κ-----μ-----κ-----| R--νρσ;τ-+-R--νστ;ρ-+-R--ντρ;σ +-R-νκρTστ-+-R--νκσTτρ +-R-νκτT-ρσ-=-0--

Cette identité s’écrit encore

Σλ{(∇zR )(x, y,w )} + Σ λ{R (T(x, y),z)w} = 0

4.4.8 Dérivées covariantes secondes, hessien et identités de Ricci

Commentaires concernant D².

Tout d’abord, on sait que le carré de l’opérateur de différentiation extérieure covariante d^∇ n’est autre que la courbure. Retrouvons tout d’abord cette propriété, à titre d’exercice, dans quelques cas particuliers, en utilisant l’opérateur D.

Soit v ∈ Ω^p(M,TM), on a

v = eα.vα

où v^α est une p-forme sur M.

∇ α α α β p+1 d v = eα.Dv = eα.(dv + Γ β ∧ v ) ∈ Ω (M, TM ) (d∇ )2v = eα.D2v α = eα.(Ddv α + D (Γ αβ ∧ vβ)) 2 α α γ α β α γ β = eα.(d v + Γ γ ∧ dv + d(Γ β ∧ v ) + Γ γ ∧ Γ β ∧ v ) = eα.(0 + Γ αγ ∧ dvγ + (dΓ αβ ∧ vβ) - (Γ αβ ∧ dvβ) + Γ αγ ∧ Γ γβ ∧ vβ) α α γ β = eα.((dΓ β + Γ γ ∧ Γ β) ∧ v ) = eα.(Rα β ∧ vβ) ∈ Ωp+2 (M, TM )

Ainsi donc, D²v^α = R^α_β ∧ v^β, comme il se doit.

Soit maintenant v ∈ Ω^p(M,TM ⊗ T^*M), donc v = e_α ⊗ θ^βv_β^α où v_β^α est une p-forme. Un calcul parfaitement analogue conduit à

(d ∇)2v = e ⊗ θβD2V α α β

avec

D2V αβ = R αρ ∧ V ρβ - R ρβ ∧ V αρ

Le fait d’obtenir une somme de deux termes faisant intervenir la 2-forme de courbure ne doit pas surprendre : cela est fondamentalement lié à la façon dont se représente l’algèbre de Lie du groupe linéaire dans la définition du fibré vectoriel TM ⊗ T^*M.

La généralisation est évidente : si, par exemple, v ∈ Ω^p(M,TM ⊗T^*M ⊗T^*M) c’est à dire v = e_α ⊗ θ^β ⊗ θ^γ.v^α_βγ, avec v^α_βγ ∈ Ω^p(M), alors (d^∇)²v = e_α ⊗θ^β ⊗θ^γD²v^α_βγ et D²v^α_βγ = R^α_ρ ∧V ^ρ_βγ -R^ρ_β ∧V ^α_ργ -R^ρ_β ∧V ^α_βρ

Opérateurs ∇∇∇…

Soit S est un tenseur quelconque de rang (r,s), considéré comme section de E = TM^⊗r ⊗ T^*M^⊗s, c’est à dire S ∈ Ω⁰(M,E), nous voulons donner un sens à ∇∇S. Nous savons que ∇S est une 1-forme à valeurs dans E, (ainsi ∇S = d^∇S ∈ Ω¹(M,E), puisque que ∇ et d^∇ coïncident sur les 0-formes), et que (d^∇)²S ∈ Ω²(M,E), mais ∇, par définition, n’agit que sur les 0-formes (à valeurs dans n’importe quel fibré). Pour pouvoir appliquer ∇ sur ∇S il suffira donc de considérer les 1-formes à valeurs dans E comme des 0-formes à valeurs dans E ⊗ T^*M. Encore une fois, nous identifions Ω¹(M,E) avec Ω⁰(M,E ⊗ T^*M) (l’application identique sera notée Id). Explicitement, si v = e_IV ^I ∈ Ω¹(M,E), avec V ^I = V _μ^Iθ^μ ∈ Ω¹(M) et si “I” désigne un multi-indice relatif à une base de E, on écrira simplement v = e_Iθ^μV _μ^I ∈ Ω⁰(M,E ⊗ T^*M), avec V _μ^I ∈ Ω⁰(M). Pour ne pas alourdir les notations, on note encore v l’image de v par l’application identique ! Cette application identique déguisée Id se généralise d’ailleurs de façon évidente pour fournir un homomorphisme injectant l’espace vectoriel Ω^p(M,E) dans Ω⁰(M,E ⊗ (T^*M)^⊗p)). Il faut donc comprendre ∇∇S comme

(∇ ∘ Id ∘ ∇ )S

mais, bien entendu, nous n’écrivons jamais Id explicitement. Noter que rien n’interdit au lecteur un peu pervers de considérer des objets comme

∇ ∇ ∇d ∇ ∇d ∇d∇ ∇S

… qu’il faut comprendre comme la composée

∇ d∇ d∇ Ω0(M, E )↦→ Ω1 (M, E )↦→ Ω2 (M, E )↦→ Ω3 (M, E ) Id 0 * ⊗3 ∇ 1 * ⊗3 d∇ 2 * ⊗3 ↦→ Ω (M, E ⊗ (T M ) )↦→ Ω (M, E ⊗ (T M ) ) ↦→ Ω (M, E ⊗ (T M ) ) Id 0 * ⊗5 ∇ 1 * ⊗5 Id 0 * ⊗6 ↦→ Ω (M, E ⊗ (T M ) )↦→ Ω (M, E ⊗ (T M ) ) ↦→ Ω (M, E ⊗ (T M ) ) ∇↦→ Ω1(M, E ⊗ (T*M )⊗6 ) I↦→d Ω0 (M, E ⊗ (T *M )⊗7) ∇↦→ Ω1(M, E ⊗ (T*M )⊗7 ) 0 * ⊗8 ≃ Ω (M, E ⊗ (T M ) )

et de comparer cet opérateur avec, par exemple ∇∇∇d^∇d^∇∇d^∇∇S !

Hessien.

Nous nous contenterons d’examiner d’un peu plus près l’opérateur Hess = ∇∇. Prenons S ∈ Ω^p(M,E), S = e_IS^I avec S^I ∈ Ω^p(M). Alors ∇S = e_IDS^I ∈ Ω^p+1(M,E) qu’on peut considérer (application Id) comme ∇S = e_Iθ^βS_;β^I ∈ Ω^p(M,E ⊗ T^*M) puisque DS^I = θ^βS_;β^I. Alors ∇∇S = e_I ⊗ θ^β ⊗ (S_;β^I)_;γθ^γ ∈ Ω¹(M,E ⊗ (T^*M)) qu’on peut considérer comme ∇∇S = e_I ⊗ θ^β ⊗ θ^γ(S_;βγ^I) ∈ Ω⁰(M,E ⊗ (T^*M)^⊗2). On a noté S_;βγ^I = (S_;β^I)_;γ les composantes de ∇∇S. On note également ∇_βS = ⟨∇S,e_β⟩ = e_I.S_;β^I ∈ Ω⁰(M,E) la dérivée covariante de S dans la direction e_β. La dérivée covariante de ∇S —considérée comme élément de Ω⁰(M,E ⊗ T^*M)— dans la direction e_γ sera donc ∇_γ∇S = ⟨∇(∇S),e_γ⟩ = e_I ⊗ θ^β(S_;β^I)_;γ ∈ Ω⁰(M,E ⊗ T^*M), par conséquent e_I.S_;αγ^I = ⟨⟨∇∇S,e_γ⟩,e_α⟩ = ⟨∇∇S,e_α ⊗ e_γ⟩. Attention : ∇_βS ∈ Ω⁰(M,E), β étant fixé, est une brave section de E et on peut donc aussi calculer ∇∇_βS qui est un élément de Ω¹(M,E), mais alors, l’indice β étant gelé, il n’y a pas à introduire de Γ relatif à l’indice β dans le calcul de ∇∇_βS. La conclusion est alors que ∇_α(∇_βS) = ⟨∇⟨∇S,e_β⟩,e_α⟩ n’est absolument pas égal à S_;αβ = ⟨⟨∇∇S,e_β⟩,e_α⟩ ; il faut donc faire très attention ! En pratique, les choses sont assez simples car ce sont les composantes de ∇∇S (ou d’autres expressions d’ordre supérieur du même type) qui sont intéressantes et non les composantes de ∇(∇_βS). La raison pour laquelle nous consacrons ces quelques lignes à attirer l’attention du lecteur sur ce sujet assez trivial, c’est que la confusion possible dont on vient de parler est à l’origine de bien des erreurs… A ce sujet, il est assez inexact de prétendre (comme on l’entend parfois) que “de toutes façons, un objet tel que ∇_βS n’est pas un objet covariant”, c’est faux. La situation que nous avons ici est parfaitement analogue à celle qu’on rencontre en relativité restreinte : bien que “l’énergie d’une particule” soit une quantité dont la valeur dépende du repère (de l’observateur) choisi et donc une caractéristique non intrinsèque de la particule, “l’énergie d’une particule mesurée par un observateur déterminé” est néanmoins une quantité digne d’intérêt qu’on peut d’ailleurs calculer dans n’importe quel repère.

Hessien d’une fonction scalaire.

Abandonnons là ces remarques semi-pédagogiques et illustrons les considérations précédentes avec un exemple très simple, le calcul de ∇∇h où h est une fonction sur la variété M.

Prenons h ∈ Ω⁰(M, I R) et donc ∇h ∈ Ω¹(M, I R) I≃d Ω⁰(M,T^*M) avec ∇h = θ^αh_;α, et h_;α = h_,α = e_α[h] Partant de ∇h ∈ Ω⁰(M,T^*M) on obtient ∇∇h ∈ Ω¹(M,T^*M) I≃d Ω⁰(M,T^*M ⊗ T^*M), ainsi

|-------------------------------| Hess (h) = ∇ ∇h = θα ⊗ θβh;αβ | --------------------------------

En vertu des règles de calcul déjà établies, on obtient directement h_;αβ = e_β[h_;α] - h_;ρΓ_αβ^ρ = e_β[h_,α] - h_,ρΓ_αβ^ρ = e_β[e_α[h]] - e_ρ[h]Γ_αβ^ρ. Ainsi

|--------------------------| |h;αβ = eβ[e α[h ]] - eρ[h]Γ ρ | ------------------------α-β-

Notons que

∇ ∇h = ∇ (θαh,α) = θαDh, α = θα ⊗ θβh,α;β = θ α ⊗ θ βh;αβ

Dans un système de coordonnées locales {x^μ}, on écrira

μ ν Hess (h ) = h;μνdx ⊗ dx

avec

|----------------------| | -∂2h-- ρ ∂h-| -h;μν-=--∂xμ∂xν---Γ-μν∂xρ-

Hessien d’une 0-forme à valeurs vectorielles.

PLus généralement, soit ξ ∈ Ω⁰(M,E), {e_i} un repère dans les fibres de E et {θ^α} un corepère mobile sur M. Il vient immédiatement :

Hess (ξ) = ∇ ∇ ξ = ∇ ∇ (eiξi) i α i = ∇ (eiD ξ) = ∇ (eiθ ξ;α) = eiθαD ξi;α = eiθα ⊗ θβ ξi;α;β α β i = eiθ ⊗ θ ξ;αβ

avec

ξi = ξi + Ai ξj ;α ,α jα

i i γ i i j ξ;αβ = eβ[ξ;α ] - Γαβξ;γ + Ajβξ;α

Noter que nous devons “corriger”, dans le calcul des dérivées covariantes, aussi bien les indices de type TM (grâce à la connexion Γ) que les indices de type E (grâce à la connexion A). Noter aussi que notre symbole ∇ est “global” en ce sens que nous n’introduisons pas de symboles particuliers pour les différentes connexions.

Nous reparlerons du hessien dans la section consacrée aux laplaciens (en page 395).

Non commutation des dérivées covariantes secondes.

Si {e_μ} est un repère naturel {e_μ = ∂ __ ∂x^μ}, il est bien évident que ∂_μ∂_νh = ∂_ν∂_μh, ce qu’on peut écrire h_μν = h_νμ.
Si {e_α} est un repère mobile ([e_α,e_β] = f_αβ^γe_γ), il faut déjà remarquer le fait que h_,αβ≠h_,βα puisque h_,αβ = e_β[e_α[h]] et h_,βα = e_α[e_β[h]], ainsi, $|----------------γ------| -h,αβ---h,βα-=---fαβeγ[h]-$
Nous avons déjà calculé ∇∇h.
Calculons maintenant la différence
$ρ ρ h;αβ - h;βα = [eβeα - eαeβ][h] - eρ[h ](Γ αβ - Γβα) = [Γ ρ - Γ ρ - f ρ]e [h] βα αβ βα ρ$
et donc, en utilisant l’expression du tenseur de torsion, $|---------------------| h;αβ - h;βα = Tγαβeγ[h]| -----------------------$ Cette identité est désignée sous le nom d’Identité de Ricci. Plus généralement, on obtient des identités de ce type lorsqu’on calcule des différences telles que S_;αβ^I -S_;βα^I, S désignant un tenseur quelconque. Il faut donc remarquer le fait que les dérivées covariantes secondes ne commutent pas en général.
Finalement, notons que h_;α ~ h_,α, l’indice α étant fixé, est une brave fonction sur la variété (pas un vecteur tangent !). En conséquence, ∇_βh_,α = e_β[h_,α] = e_β[e_α[h]] et cette quantité, qu’on peut même noter ∇_β∇_αh n’est pas égale à h_;αβ. A ce propos, relire la section 4.2.3 consacrée aux notations.
Afin de familiariser le lecteur avec la manipulation des indices (activité parfois fort utile), établissons l’identité de Ricci relative aux tenseurs de type (1,0). Prenons V = V ^μe_μ. Tout d’abord, voici le résultat : $Vμ - Vμ = Tγ V μ - Rμ Vγ ;αβ ;βα αβ ;γ γα β$ La démonstration est immédiate, il suffit de calculer V ^μ_αβ. Indications : dans l’expression de V ^μ_;αβ - V ^μ_;βα, on reconnaît un terme R^μ_σαβV ^σ lorsqu’on utilise l’écriture explicite du tenseur de courbure R^μ_σαβ donnée en fin de section 4.4.2 ainsi qu’un terme T_αβ^σ(V _,σ^μ + Γ_ρσ^μV ^ρ) = T_αβ^σV ^μ_;σ lorsqu’on utilise l’expression explicite du tenseur de torsion donnée en fin de section 4.4.6. Les autres termes se compensent (noter en particulier que V ^μ_;αβ - V ^μ_;βα = [e_β,e_α](V ^μ) = f_αβ^ρV _,ρ^μ et que ce terme se compense avec le terme du même type apparaissant lorsqu’on écrit -Γ_αβ^σV _,σ^μ + Γ_βα^σV _,σ^μ = T_αβ^σV _,σ^μ + f_αβ^σV _,σ^μ.
Le lecteur pourra généraliser sans peine les identités de Ricci relatives à des tenseurs S d’ordre quelconque : en plus d’un unique terme de type “TS;”, on voit apparaître, pour chaque indice du tenseur considéré, une contribution —signée— de type ‘RS”, au membre de droite de l’identité de Ricci. Par exemple, prenons S = e_μ ⊗ e_ν ⊗ θ^ρS_ρ^μν, il vient
$μν μν γ μν μ γν ν μγ γ μν S ρ;αβ - Sρ;βα = TαβS ρ;γ - RγαβS ρ - R γαβSρ + RραβS γ$

4.4.9 Tenseur de Ricci

Le tenseur de courbure F pour une connexion principale quelconque possède des composantes F_jⁱ_μν et il est impossible de contracter l’indice i avec l’indice μ puisque ces indices sont de nature différente : l’un est un indice de fibre et l’autre un indice de base. Par contre, pour une connexion linéaire, on peut choisir le même repère dans les fibres et sur la base, il devient donc possible de contracter un indice de fibre avec un indice de base : à partir du tenseur de courbure R ≡ F de composantes R_σ^ρ_μν, on peut fabriquer un tenseur covariant de rang 2, le tenseur de Ricci , que nous noterons ρ et qui est donc défini par l’égalité

ρσν = Rμσμν

Notons que nous n’avons pas eu besoin de métrique pour définir ce tenseur alors que l’utilisation d’une métrique est nécessaire, comme nous le verrons, pour définir la courbure scalaire. Nous reviendrons au tenseur de Ricci dans le cadre de l’étude des connexions métriques.

4.4.10 Courbes autoparallèles

Un champ de vecteurs v est dit parallèle ou transporté par parallélisme le long d’un arc de courbe : τ ∈ I R →(τ) lorsque sa dérivée covariante est nulle dans la direction du vecteur tangent u = d _ dτ à . Ce vecteur tangent possède des composantes u^α = d^α dτ dans un repère donné. La loi du transport parallèle s’écrit donc

μ μ σ α ∇uv = 0 ⇔ u[v ] + Γ σαv u = 0 dv μ μ σdCα ⇔ ---- + Γ σαv ----= 0 dτ d τ

La courbe (τ) est dite courbe autoparallèle si son vecteur tangent u est lui-même transporté par parallélisme le long de . Ainsi

d C(τ)est autoparall`ele ⇔ ∇uu = 0, avec u = --- dτ d2C-α α dC-βdC-γ ⇔ dτ2 + Γ βγ dτ dτ = 0

Nous verrons, dans la section consacrée aux connexions riemanniennes, comment ces courbes autoparallèles sont reliées aux géodésiques. De fait, les autoparallèles d’une connexion donnée sont quelquefois désignées sous le nom de “géodésiques de la connexion”, mais nous préférons réserver cette terminologie au cas de connexions très particulières.

4.4.11 Connexions linéaires sur les groupes et espaces homogènes

Soit G un groupe, que nous supposons ici compact, et G∕H un espace homogène. Au niveau des algèbres de Lie, grâce au choix d’un produit scalaire dans LieG on peut écrire LieG = LieH ⊕ 𝔰 où 𝔰 peut s’identifier avec l’espace tangent à G∕H en l’origine. La forme de Maurer-Cartan sur G est à valeurs dans LieG et on peut considérer sa projection sur LieH. On montre qu’on obtient ainsi une forme de connexion (dite canonique) sur le fibré principal G = G(G∕H,H). Par ailleurs nous supposons (cas usuel) que [LieH,𝔰] ⊂ 𝔰 et même que ∀h ∈ H,h𝔰h^-1 ⊂ 𝔰. En d’autres termes, l’espace vectoriel 𝔰 est le support d’une représentation linéaire du groupe H (c’est la représentation ad_H). En conséquence, on obtient un homomorphisme de H dans End𝔰. Cet homomorphisme permet d’étendre le fibré principal G = G(G∕H,H) au fibré des repères linéaire au dessus de G∕H (c’est un fibré de base G∕H et de fibre type GL(s) avec s = dim(𝔰)). La connexion canonique donne ainsi naissance à une connexion linéaire sur l’espace homogène G∕H.

Ce type de construction et les géométries qui lui sont associées constituent un vaste chapitre de la géométrie différentielle et nous renvoyons le lecteur à un ouvrage tel que [9] pour plus de détails. Notons pour finir qu’on obtient ainsi également une connexion linéaire sur G lui-même lorsqu’on considère la variété sous-jacente comme quotient de G×G par son sous-groupe diagonal (isomorphe à G).

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]