3.6 Groupe des automorphismes. Groupe de jauge

3.6.1 Remarque terminologique

Nous utiliserons souvent l’expression “repère en x” —sans mettre les guillemets !— pour parler d’un point z de P = P(M,G) se projetant au point x, même si le fibré considéré n’est pas un sous-fibré de l’espace des repères mais un fibré principal quelconque au dessus de M, avec groupe de structure G. Le contexte devrait suffire à préciser s’il s’agit d’un repère de l’“espace interne” —comme disent les physiciens— c’est à dire un élément d’un fibré principal quelconque non relié au fibré FM des repères linéaires, ou, au contraire, d’un repère de l’“espace externe”, c’est à dire un élément de FM (ou de OFM, ou d’un autre sous-fibré de FM).

3.6.2 Automorphismes verticaux d’un espace fibré principal (définition)

• L’action du groupe structural G sur un fibré principal P = P(M,G) est une notion qui nous est maintenant familière. Soient z₁ et z₂ deux éléments de P appartenant à des fibres différentes (en d’autres termes, on considère un repère z₁ en x₁ et un repère z₂ en x₂) et soit g un élément de G. L’action de G —d’ordinaire un groupe de Lie de dimension finie— étant globalement définie, nous savons ce que sont les points z₁′ = z₁g et z₂′ = z₂g, mais il faut bien voir que “c’est le même g” qui agit en z₁ et en z₂. Ce que nous voulons maintenant, c’est considérer des transformations plus générales (soit Φ une telle transformation —une application de P dans P—) qui, en un sens, autorise le “petit g” qui précède, à dépendre du point x de la variété M : on veut remplacer g par g(x), c’est à dire remplacer les transformations de jauge globales par les transformations de jauge locales. Passons maintenant à une définition précise.
• On dira que Φ est un automorphisme vertical du fibré P si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées
  1. Φ est un difféomorphisme de P.
  2. Φ préserve les fibres, au sens suivant : la fibre π^-1(x) au dessus de x est stable par Φ.
  3. Φ commute avec l’action du groupe structural G, c’est à dire que .
• Il est immédiat de constater que l’ensemble 𝔊 des automorphismes verticaux est un groupe pour la loi de composition. Nous désignerons 𝔊 sous le nom de groupe des automorphismes verticaux du fibré principal P, ou plus simplement sous le nom de “groupe de jauge de P”. Nous noterons également 𝔊 = IntP = Aut_V P. Par l’expression “transformation de jauge” nous désignerons toujours un automorphisme vertical, c’est à dire une “transformation de jauge locale”.

  L’action de 𝔊 commutant avec celle de G, il est commode d’écrire l’action de 𝔊 à gauche et d’oublier les parenthèses, on voit alors (la notation est faite pour cela !) que

  

3.6.3 Ecriture locale des transformations de jauge

Soit Φ une transformation de jauge, z un élément de P et σ une section locale au voisinage de x = π(z) ∈ M. Le repère Φ(σ(x)) étant dans la même fibre (au même point !) que le repère mobile σ(x), il doit être possible d’atteindre le premier à partir du second par l’action d’un élément approprié de G que nous noterons g(x), puisque G est transitif sur les fibres. Cet élément est donc défini par l’équation Φ(σ(x)) = σ(x)g(x) c’est à dire encore par

Lorsque P est trivial, on sait qu’il existe des sections globales. Soit σ une telle section, alors, l’équation précédente définit une application de M dans G ; réciproquement, la donnée d’une application g(x) de M dans G permet, lorsque le fibré principal est trivial, de définir, via le choix d’une section globale σ, une transformation de jauge Φ par la même équation. Lorsque P est trivial, on peut donc identifier le groupe de jauge 𝔊 avec le groupe Ω⁰(M,G) des applications différentiables de M dans G. La correspondance n’est cependant pas canonique puisqu’elle dépend du choix d’une section globale σ. Cette identification “explique” pourquoi les automorphismes verticaux sont désignés par les physiciens (des particules) sous le nom de “transformations de jauge locales”, le mot “local” se référant ici à la dépendance “en x” car la transformation g(.) elle-même est globalement définie lorsque P est trivial.

3.6.4 Deux autres définitions des transformations de jauge

• Soit Φ : PP une transformation de jauge. On sait que Φ(z) est dans la même fibre que z, on doit donc pouvoir obtenir Φ(z) à partir de z par action à droite d’un élément de G que nous désignerons par ϕ(z) : Nous obtenons donc ainsi une application ϕ de P dans G, mais cette application n’est pas quelconque ; en effet, l’égalité Φ(zg) = Φ(z)g peut s’écrire également zgϕ(zg) = zϕ(z)g et on obtient donc la condition Il est évident que Φ et ϕ se déterminent l’un l’autre ; on peut donc identifier le groupe de jauge 𝔊 avec l’ensemble Ω_Ad⁰(P,G) des applications de P dans G qui sont équivariantes par l’action adjointe de G.
• La troisième définition de 𝔊 résulte en fait de la précédente et de la discussion menée en section 3.3.10 (description 2). Soit, en effet AdP = P×_AdG le fibré adjoint, défini comme fibré en groupes, associé à P grâce à l’action adjointe de G sur lui-même (voir section 3.3.6), les éléments de AdP sont des classes d’équivalences z.k = zg.g^-1kg et les sections (x) de AdP peuvent donc s’identifier aux applications de P dans G qui sont Ad-équivariantes. Ainsi, nous pouvons également définir le groupe de jauge 𝔊 comme l’ensemble des sections du fibré adjoint AdP.

3.6.5 Automorphismes quelconques d’un espace fibré principal

Soit P = P(M,G) un fibré principal et 𝔊 son groupe d’automorphismes verticaux (groupe de jauge). Nous allons à présent considérer des automorphismes plus généraux que ceux considérés dans les sous-sections précédentes. Jusqu’à présent, nos automorphismes étaient verticaux, en ce sens que l’image Φ(z) de z par Φ était dans la même fibre que z. Nous allons garder les conditions 1 et 3 données dans la définition du groupe de jauge (section 3.6.2) mais atténuer la deuxième condition ; les automorphismes devront préserver les fibres au sens suivant : l’image d’une fibre devra être une fibre, mais on n’imposera pas le fait qu’image et antécédent appartiennent à la même fibre ! En d’autres termes, si x désigne un point de M, l’ensemble Φ(π^-1(x)), image de la fibre au dessus de x par Φ doit être une fibre de P. Cette fibre image se projette en un certain point y de M. L’action d’un tel automorphisme Φ définit donc également une application de M dans M (à x on associe le point y tel que y = π(Φ(π^-1(x)))). Cette application est, par construction, un difféomorphisme. On obtient donc de cette façon une projection du groupe AutP des automorphismes de P (le groupe engendré par les automorphismes que nous venons de définir) sur le groupe DiffM des difféomorphismes de M. Deux automorphismes de P se projetant sur le même difféomorphisme de M diffèrent manifestement (au sens de la composition des morphismes) par un automorphisme ne changeant pas le point de base, c’est à dire par un automorphisme vertical. Localement, ces “symétries de jauge” (nom qu’on donne quelquefois aux éléments de AutP) sont donc codées à l’aide d’un difféomorphisme de M et d’une transformation de jauge. Plus précisément, on a la fibration principale 𝔊AutPDiffM (noter que 𝔊 est un groupe de dimension infinie) qu’on peut représenter par la figure 3.19

Figure 3.19: Automorphismes de fibrés principaux

3.6.6 Action des automorphismes sur les espaces fibrés associés

• Soit E = P ×_GF un espace fibré associé au fibré principal P = P(M,G) obtenu à partir de l’action à gauche ρ de G sur F, z.f = zg.ρ(g^-1)f ∈ E. L’action à droite de G sur P n’existe plus au niveau de E puisqu’on a fabriqué un espace quotient en divisant par cette action. Par contre, on peut utiliser l’action à gauche de 𝔊 sur P pour définir une action (à gauche) de sur n’importe quel fibré associé à P. Ainsi,
• 𝔊 agit non seulement sur E mais sur l’espace ΓE de ses sections. Soit u ∈ ΓE, x ∈ M, u(x) ∈ E ;on définit

3.6.7 Le cas des espaces vectoriels (un cas trivial mais instructif !)

Un fibré vectoriel n’est autre, intuitivement, qu’une famille E_x d’espaces vectoriels de même dimension, “collés” ensemble, et paramétrisés par une variété (x ∈ M). Lorsque M se réduit à un seul point, on n’a qu’une seule fibre et donc un seul espace vectoriel. On peut donc considérer un espace vectoriel E comme un fibré vectoriel au dessus d’un point ! Ce fibré vectoriel particulièrement trivial est associé à un fibré principal également constitué d’une seule fibre, fibre qui n’est autre que l’ensemble P des bases de l’espace vectoriel E. Si on suppose que E est isomorphe à I Rⁿ, on voit que cette fibre est difféomorphe au groupe GL(n, I R). Si on choisit une base σ = {σ_μ} de référence (une section !), on obtient une correspondance bi-univoque entre bases (éléments de P) et matrices inversibles (éléments du groupe GL(n, I R)). L’identification de P avec GL(n, I R) dépend de la base σ choisie. Le groupe matriciel GL(n, I R) agit sur P ; cette action ne dépend pas du choix de σ. En effet, si e = (e_μ) ∈ P et Λ = (Λ_ν^μ) ∈ GL(n, I R), on obtient e′ = eΛ ∈ P via e_ν′ = e_μΛ_ν^μ. Les vecteurs u de l’espace vectoriel E sont des classes d’équivalence u = e_μ.u^μ avec e = {e _μ}∈ P et u^μ ∈ I Rⁿ, la relation d’équivalence identifiant e_μ.u^μ avec e _νΛ_μ^ν.(Λ^-1) _ρ^μu^ρ. Le groupe GL(n, I R) n’agit donc pas sur E (il n’agit que sur les composantes des vecteurs de E). Par contre, l’espace vectoriel E possède un groupe d’automorphismes AutE (les applications linéaires bijectives). Si u ∈ E et Φ ∈ AutE alors Φu ∈ E ; les automorphismes Φ agissent aussi sur les bases e = {e_μ}, l’action en question résultant de l’action sur chacun des vecteurs de base. Il faut bien voir que les groupes AutE et GL(n, I R) sont différents ! Cependant, si on se choisit une base σ = σ_μ de référence, on peut, de façon élémentaire —voir cours de Terminale de nos lycées— associer, à tout élément Φ de AutE, une matrice Λ de GL(n, I R). Dans le cas d’un espace vectoriel, donc, le groupe structural et le groupe des automorphismes (qui, dans ce cas, sont nécessairement verticaux), bien que conceptuellement distincts, sont identifiables dès qu’on se choisit une base de référence (c’est à dire une section de ce fibré !). En particulier, lorsque E est de dimension finie, ces deux groupes sont de dimension finie. Dès qu’on passe au cas de fibrés vectoriels au dessus d’une variété M non réduite à un point, l’identification n’est plus possible : G = GL(n, I R) reste ce qu’il était mais 𝔊 = Aut_V P devient un groupe de dimension infinie qu’on peut se représenter intuitivement comme une famille de groupe d’automorphismes d’espaces vectoriels (les fibres de E) paramétrisés par les points de la base M.