Excursion au pays des mathematiques non commutatives

6.3 Excursion au pays des mathématiques non commutatives

6.3.1 Remarques et présentation générale

En vertu de la dualité existant entre un espace M et l’algèbre commutative C(M) des fonctions sur cet espace (la correspondance précise a été donnée plus haut), on peut essayer de re-écrire toutes les mathématiques traitant des propriétés des “espaces” dans le langage purement algébrique de la théorie des algèbres commutatives. On peut essayer, également, de re-exprimer tous ces concepts d’une façon qui ne fasse pas explicitement appel à la commutativité de l’algèbre. Bien entendu, ce n’est pas toujours possible, mais, lorsque c’est le cas, on peut alors effacer l’adjectif “commutatif” et promouvoir le concept en question au niveau (par exemple) d’une définition, valable pour les algèbres non commutatives, en général. D’une certaine façon, on pourrait voir les mathématiques non commutatives simplement comme une étude des algèbres associatives non commutatives. Un tel point de vue ne correspondrait cependant pas à la démarche psychologique adoptée : c’est en effet la géométrie ordinaire — plus précisemment la notion de point — qui est souvent choisie comme support de notre intuition ; les thèmes qui intéressent la géométrie non commutative sont précisemment les propriétés des algèbres non commutatives qui généralisent les propriétés des espaces “ordinaires”, même si les points n’existent plus. De cette façon, on peut alors construire une théorie de la mesure non commutative, une topologie non commutative, un calcul différentiel pour les algèbres non commutatives (voir supra), une théorie des connexions, des espaces fibrés (non commutatifs) et même une généralisation de la théorie des groupes (la théorie des groupes quantiques). Notre propos n’est pas ici de détailler et d’étudier toutes ces théories, mais simplement d’illustrer les considérations qui précèdent et d’effectuer un tour rapide de ce zoo non commutatif, en espérant que le lecteur aura plaisir à y retourner en consultant la littérature spécialisée. L’ouvrage présent étant essentiellement dédié à l’étude de certains aspects de la géométrie différentielle, nous avons décidé de consacrer néanmoins la section précédente à une étude un peu plus détaillée des notions relatives aux calculs différentiels non commutatifs. Pour le reste, notre étude ne sera guère plus qu’une ébauche.

6.3.2 Topologie non commutative et théorie de la mesure non commutative

Nous avons déjà parlé de la transformation de Gelfand établissant une correspondance entre espaces topologiques compacts et C^*-algèbres commutatives unitales (l’existence d’une unité est liée à l’hypothèse de compacité). On voit donc, en enlevant l’adjectif “commutatif” que la topologie non commutative n’est autre que l’étude des C^*-algèbres non commutatives.

Passons à la théorie de la mesure. Classiquement, au lieu de démarrer avec un espace topologique M, on peut partir de l’algèbre C(M) des fonctions continues sur M et définir les mesures (positives) comme les formes linéaires continues (positives) sur l’algèbre C(M), c’est à dire comme des fonctionnelles μ telles que μ[ff] ≥ 0,∀f ∈ C(M). La correspondance avec la notion élémentaire de mesure se fait grâce au théorème de Riesz, c’est à dire en écrivant μ[f] = ∫ _Xfdμ. A partir de C(M), nous définissons les mesures ; pour une mesure μ donnéee, nous pouvons fabriquer l’espace de Hilbert = L²(M,μ) des fonctions de carré intégrable pour cette mesure. C(M) agit dans cet espace de Hilbert par multiplication : nous avons une représentation π définie par π(f)g = fg, avec f ∈ C(M) et g ∈. A partir de , nous pouvons fabriquer l’algèbre L^∞(M,μ) des fonctions mesurables essentiellement bornées sur M. Soit (H) l’algèbre des opérateurs bornés sur . Rappelons que l’algèbre L^∞(M,μ) peut être construite comme le commutant de l’action π de C(M) dans (H).

∞ L (M, μ) = {T ∈ L(H )t.q.T π(f) = π (f )T,∀f ∈ C(M )}

La mesure μ peut alors être étendue à l’algèbre L^∞(M,μ) tout entière. Cette dernière algèbre possède la propriété remarquable d’être égale à son propre commutant dans

(H) (cette propriété caractérise précisemment un type de sous-algèbres de

(H) qu’on appelle algèbres de Von Neumann ).

Tout ce qu’on vient de rappeler figure — peut être dans un ordre différent — dans un cours standard de théorie de la mesure. Le trait essentiel, dans la présentation qui précède est de ne pas faire intervenir les points de l’espace M. En recopiant tout ceci, mais en effaçant l’adjectif “commutatif”, on peut alors inventer une version non commutative de la théorie de la mesure…Soit dit en passant, les physiciens théoriciens ont inventé la plupart de ces différents concepts, dans le cadre de la mécanique statistique quantique, bien avant qu’ils aient été formalisés par des mathématiciens ! Reprenons donc rapidement ce qui précède, en partant d’une C^*-algèbre non commutative , remplaçant la donnée de C(M). On définit les états (ce sont précisemment des mesures non commutatives) comme ci-dessus : un état μ est une forme linéaire positive continue sur , c’est à dire μ ∈^* et μ[ff] ≥ 0,∀f ∈. On peut supposer μ normé : μ[1 l] = 1. On construit alors un espace de Hilbert en définissant tout d’abord le produit scalaire (f,g) = μ[f^*g] sur l’espace lui-même (on n’a alors qu’une structure pre-Hilbertienne) puis en fabriquant l’espace de Hilbert correspondant (complété et séparé). Cette construction bien connue porte le nom — en mathématiques non commutatives — de construction GNS (Gelfand-Naimark-Segal). Comme dans le cas commutatif, agit dans par multiplication, ce qui fournit une représentation π de dans l’espace des opérateurs bornés (H). On considère alors , le bi -commutant de dans (H). Ce bi-commutant est une algèbre de Von Neumann (il est égal à son propre bi-commutant) ; c’est donc l’analogue non commutatif de L^∞(M,μ). ¹ Rappel : lorsque est une algèbre d’opérateurs, , ′ et ′′ sont d’ordinaire différents, mais ′ = ′′′. La dernière étape consiste à étendre la définition de l’état μ à l’algèbre de Von Neumann tout entière (on a évidemment ⊂).

La théorie que l’on vient d’ébaucher est à la base de très nombreux développements, aussi bien en mathématiques (théorie des facteurs), qu’en physique (mécanique quantique statistique des systèmes avec nombre fini ou infini de degrés de liberté). Notre but, comme nous l’avions anoncé plus haut, n’était que d’attirer l’attention du lecteur sur le parallèle évident existant entre ces deux théories : théorie de la mesure (en fait mesures de Radon) et théorie des algèbres de Von Neumann ; l’un étant en quelque sorte la généralisation non commutative de l’autre.

6.3.3 Calcul différentiel non commutatif

Comme on l’a vu en 6.2, étant donné une algèbre associative , on peut toujours fabriquer une algèbre différentielle Z Z-graduée qui coïncide avec en degré 0. Le choix d’une telle algèbre différentielle n’est pas, en général, unique : on dit qu’on fait alors le choix d’un calcul différentiel pour l’algèbre . On peut faire un choix qui soit plus “général” que les autres (formes différentielles universelles). Les différentes algèbres différentielles possibles (les autres calculs différentiels associables à une algèbre associative donnée) sont des quotients de l’algèbre des formes universelles. Nous renvoyons le lecteur à la section précédente pour une analyse plus détaillée de ces différents choix.

6.3.4 Espaces fibrés non commutatifs et modules projectifs

En géométrie différentielle ordinaire, un espace fibré principal peut être considéré comme un outil servant à la fabrication de fibrés associés, de la même façon que les groupes eux-mêmes servent à fabriquer des représentations. En géométrie non commutative, on pourrait, bien sur, tenter de généraliser dans un premier temps la structure de groupe elle-même (c’est la théorie des groupes quantiques), puis la structure de fibré principal, et enfin celle de fibré associé. Ces généralisations existent. Cependant la définition et l’étude des groupes quantiques (ou algèbres de Hopf ) nous entrainerait trop loin. Nous préférons donc suivre ici une approche plus directe, qui n’utilise pas cette notion.

Nous partons de la constatation suivante : en géométrie différentielle ordinaire, l’ensemble ΓE des sections d’un fibré associé E (les champs de matière de la physique) constitue un module sur l’algèbre C^∞(M) des fonctions sur la base. Par exemple, si x ∈ MV (x) ∈ ΓE est un champ de tenseurs (ou de spineurs …), et si x ∈ Mf(x) ∈ I R (ou lC) est une fonction, alors [fV ](x) = f(x)V (x) est aussi un champ de tenseurs (ou de spineurs etc…).

Ce n’est pas la notion d’espace fibré vectoriel associé que nous allons généraliser, mais celle de l’ensemble de ses sections. Etant donné une algèbre associative , possiblement non commutative, nous allons donc considérer tout module Γ sur comme l’analogue non commutatif d’un fibré vectoriel associé. En fait, dans le cas commutatif, les modules obtenus par construction de fibré associé sont d’un type un peu particulier. On dit qu’ils sont projectifs de type fini (théorème de Serre-Swann). Sans rentrer dans les détails, cela signifie la chose suivante. L’ensemble des sections d’un fibré vectoriel trivial dont la fibre type est de dimension n est manifestement isomorphe au module (C^∞(M))ⁿ. Lorsque le fibré n’est pas trivial, il suffit de se placer dans un espace un peu plus grand (c’est à dire de rajouter un certain nombre de dimensions à la fibre) pour le trivialiser. Le fibré de départ est alors obtenu comme p(C^∞(M))ⁿ, p désignant un projecteur (p² = p) de l’algèbre des matrices n × n sur C^∞(M).

Dans le cadre non commutatif, on remplacera donc la notion d’“espace des sections d’un fibré vectoriel” (physiquement l’espace des champs de matière d’un certain type) par la notion de module projectif fini sur une algèbre associative . L’espace vectoriel pⁿ, p désignant un projecteur, est manifestement un module (à droite) sur .

Si n’est pas commutative, il faut évidemment faire la distinction entre les modules à droite et les modules à gauche.

Notons, pour finir, qu’un cas intéressant de module sur est celui où on choisit un module particulier égal à l’algèbre elle-même opérant sur elle-même par multiplication (c’est l’analogue non commutatif d’un fibré en droites).

6.3.5 Connections généralisées en geometrie non commutative

Soit Ξ un calcul différentiel sur une algèbre , c’est à dire une algèbre différentielle Z Z-graduée, avec Ξ⁰ = . Soit un module à droite sur . Une différentielle covariante ∇ sur est une application ⊗Ξ^p⊗Ξ^p+1 telle que

|-----------------------s-----| -∇-(ψλ-) =-(∇-ψ-)λ +-(- 1)-ψd-λ

lorsque ψ ∈

⊗Ξ^s et λ ∈ Ξ^t. L’opérateur ∇ n’est certainement pas linéaire par rapport à l’algèbre

mais il est facile de constater que la courbure ∇² est un opérateur linéaire par rapport à

Dans le cas particulier où l’on choisit le module comme l’algèbre elle-même, toute 1-forme Ξ (tout élément de Ξ¹) permet de définir une différentielle covariante : on pose simplement

|-------| ∇1l-=-ω--

où 1l est l’unité de l’algèbre

. Lorsque f ∈

, on obtient

∇f = ∇ (1lf) = (∇1l)f + 1ldf = df + ωf

De plus, ∇²f = ∇(df + ωf) = d²f + ωdf + (∇ω)f -ωdf = (∇ω)f. La courbure, dans ce cas, est égale à

2 ρ = ∇ ω = ∇1lω = (∇1l)ω + 1ldω = dω + ω .

Choisissons u, un élément inversible de et agissons avec d sur l’equation u^-1u = 1 l. On obtient (utilisant le fait que d1 l = 0) l’equation

du -1 = - u-1duu -1.

Définissons également ω′ = u^-1ωu + u^-1du et calculons la nouvelle courbure ρ′ = dω′ + ω′². On obtient immédiatement ρ′ = u^-1(dω + ω²)u = u^-1ρu où

-------------- | 2 | -ρ-=-dω-+-ω--.|

Ceci montre que les formules usuelles sont valables, sans qu’il soit besoin de supposer la commutativité de l’algèbre

Remarque : Ici nous avons choisi un module (un ingrédient nécessaire pour construire n’importe quelle théorie de jauge) égal à l’algèbre elle-même. Plus généralement, nous aurions pu choisir un module libre ⁿ, ou même, un module projectif pⁿ sur . Dans ce dernier cas, le formalisme précédent doit être légérement modifié. En effet, le projecteur p va intervenir dans le calcul de la courbure (c’est un peu comme si nous faisions de la géométrie différentielle classique de façon extrinsèque, en plongeant notre espace dans un espace “plus grand”). Comme toujours, la courbure est ρ = ∇∇. La différentielle covariante est

∇ = pd + ω

où ω est un élément de Ξ¹ tel que pωp = ω. En effet, si X ∈

, ∇X = pdX + ωX et il est facile de vérifier que cela définit bien une connexion : prenons f ∈

, alors

∇ (Xf ) = pd(Xf ) + ωXf = p(dX )f + ωXf + pXdf = ∇ (X )f + Xdf

Nous avons utilisé le fait que pX = X. La courbure ρ = ∇² se calcule alors comme suit :

∇2 (X ) = pd (pdX + ωX ) + ω(pdX + ωX ) = pd (pdX + ωX ) + ω(dX + ωX ) 2 2 = p(dp )dX + pd X + (dω2)X - ω(dX ) + ωdX +2ω X = p(dpdX + (d ω)X ) + ω X = [pdpdp + dω + ω ]X

Nous avons utilisé les propriétés ωp = p, dX = d(pX) = (dp)X + pdX ainsi que p(dp)p = pd(p²⁾ -pdp = 0, ce qui entraine pdpdX = pdpdpX + p(dp)pX = pdpdpX. En conclusion, la courbure, dans le cas où le projecteur ne se réduit pas à l’identité est égale à

|---------------------| |ρ = pdpdp + d ω + ω2 | ----------------------

Il faut remarquer le fait que la courbure s’obtient à partir de ∇² (ce qui en fait bien un opérateur linéaire par rapport aux éléments de

) et non pas en recopiant servilement la formule classique dω + ω², ce qui serait faux !

6.3.6 Cohomologie des espaces non commutatifs

La cohomologie de Hochschild

Nous savons que la différentielle δ sur Ω est presque triviale, du point de vue cohomologique. Le “presque” vient du fait que δ1 l = 0 et on rappelle qu’il est nécessaire de supposer que possède une unité pour construire Ω (on verra un peu plus loin comment faire si ce n’est pas le cas). Il est donc raisonnable de chercher à définir une autre théorie cohomologique ou homologique qui se restreigne, dans le cas classique, à celle déjà connue (celle de De Rham). En fait, nous allons voir que ceci se fait en deux temps : on définit tout d’abord la cohomologie de Hochschild, puis la cohomologie cyclique, et c’est cette dernière qui va nous fournir un analogue non commutatif de la cohomologie de De Rham.
Nous avons déjà mentionné le fait que, dans le cas classique (le cas de la géométrie “commutative” usuelle où = C^∞(X)), l’algèbre Ω des formes universelles était “bien plus grande” que celle des formes différentielles usuelles Λ(X). Nous allons voir que, dans le cas classique, il existe une façon purement (co)homologique de récupérer l’algèbre des formes différentielles usuelles, ou plutôt, en travaillant de façon duale, l’espace des courants de De Rham. Le but de cette section est donc d’ébaucher une construction qui conduise aux courants de De Rham dans le cas usuel, mais qui soit, bien entendu, valable pour une algèbre associative quelconque.
On définit l’opérateur co-bord de Hochschild b (aussi appelé différentielle de Hochschild) comme suit :
Soit ϕ une (n + 1)-forme linéaire ϕ(a₀,a₁,…,a_n) sur l’algèbre . Alors
$∑n [bϕ ](a0,a1,...,an+1 ) = ϕ (a0,...,ajaj+1,...,an)+ j=0 n+1 (- 1 ) ϕ(an+1a0,a1,...,an)$
Par exemple,
$[bϕ](a0, a1,a2,a3] = ϕ(a0a1,a2,a3) - ϕ(a0,a1a2,a3) + ϕ(a0,a1,a2a3 ) - ϕ (a3a0,a1,a2)$
L’étape suivante consiste à montrer que b² = 0, ce qui est à la fois immédiat, et pénible…
Puisque nous avons un opérateur cobord (il est de carré nul et envoie bien les n formes dans les n + 1 formes), nous pouvons définir l’espace des cocycles de Hochschild Zⁿ = {ϕ ∈ Cⁿ∕bϕ = 0}, l’espace des cobords de Hochschild Bⁿ = {ϕ ∈ Cⁿ∕ϕ = bψforψ ∈ C^n-1} et les groupes de cohomologie (de Hochschild) correspondants Hⁿ = Zⁿ∕Bⁿ. Ci-dessus, la notation Cⁿ, l’espace des cochaines de Hochschild, désigne l’espace des formes n + 1 multilinéaires sur (attention à la translation d’une unité).
Remarque terminologique : un lecteur curieux, qui chercherait la définition de la cohomologie de Hochschild dans un ouvrage d’algèbre homologique pourrait être surpris car celle-ci fait d’ordinaire référence au choix d’un certain bimodule. Ici, le bimodule en question n’est autre que le dual de . Nous n’avions pas besoin de mentionner ceci plus haut mais il est bon de savoir que c’est précisemment ce choix particulier de bimodule (ainsi que l’existence d’un accouplement naturel entre et son dual ^*) qui est à l’origine de la définition précédente de b.
Dans le cas classique (celui de la géométrie différentielle “commutative” habituelle), nous savons que les courants de De Rham (voir 1.12.5) sont définis comme distributions sur les formes différentielles de De Rham. En d’autres termes, si C is un p-courant et ω est une p-forme, alors⟨C,ω⟩ est un nombre. Nous allons montrer qu’il existe une correspondance entre courants arbitraires et cocycles de Hochschild, dans le cas particulier des 2-formes, en laissant au lecteur le soin de généraliser cette propriété au cas p > 2.
Des courants de De Rham aux cocycles de Hochschild : étant donné C, nous construisons ϕ(f,g,h) = ⟨C,fdg ∧ dh⟩. on peut alors vérifier que bϕ = 0.
Des cocycles de Hochschild aux courants de De Rham : étant donné ϕ, nous construisons ⟨C,fdg ∧ dh⟩ = ϕ(f,g,h) - ϕ(f,h,g).
Les deux formules ci-dessus sont différentes car il n’y a aucune raison de supposer qu’un cocycle de Hochschild donné ϕ soit antisymétrique.
Si ϕ est un cobord de Hochschild, il reste à vérifier que le courant de De Rham correspondant s’annule. Ceci est une conséquence immédiate de la définition de b et de l’antisymmétrie du produit extérieur.
De façon générale, le p-ième groupe de cohomologie de Hochschild coïncide avec l’espace des courants de De Rham en degré p. On peut en particulier vérifier que la dimensionalité de l’espace H^p est triviale dès que p est plus grand que la dimension de la variété X elle - même.
Il peut être intéressant de comparer l’expression de [bϕ](a₀,a₁,a₂,a₃] avec le calcul de a₀δ(a₁)δ(a₂)a₃ effectué dans la section consacrée à la définition de Ω (6.2.2). On voit que le fait de calculer bϕ revient, dans cet exemple, à évaluer ϕ sur un type particulier de commutateurs (dans Ω), en l’occurence ϕ([a₀δa₁δa₂,a₃]).
Cette remarque peut être généralisée, en ce sens qu’on peut être tenté de considérer les p formes sur comme des formes linéaires sur l’algèbre Ω et de définir b non pas sur les formes p-linéaires sur mais sur les formes linéaires sur Ω. En fait, on se heurte alors à un problème un peu subtil lié au rôle particulier joué par l’unité dans la construction de l’algèbre des formes universelles.
Notons l’algèbre obtenue en rajoutant une unité 1 l à , que celle-ci en possède déjà une ou non. Les éléments de cette augmentation sont, par définition, des paire (a,c), avec a ∈ et c ∈ lC. La nouvelle unité est 1l = (0, 1). On identifie a ∈ avec (a, 0) ∈ . Les éléments (a,c) de l’algèbre augmentée sont notés simplement a + c1 l. La multiplication est telle que (a₁ + c₁1 l)(a₂ + c₂1 l) = a₁a₂ + c₁a₂ + a₁c₂ + c₁c₂1 l ; elle doit donc être formellement définie par
$(a ,c )(a ,c ) = (a a + c a + a c ,c c ) 1 1 2 2 1 2 1 2 12 1 2$ Si ne posséde pas d’unité, il n’y a pas de confusion possible. Si en posséde déjà une, nous la désignons par e = (e, 0) et il est certain que e n’est plus l’unité de , mais seulement un projecteur (e² = e). Notons que, avec a ∈ et c ∈ lC, δ(a + c1 l) = δa dans Ω . On peut donc identifier les formes multilinéaires sur avec certaines formes linéaires sur Ω , en l’occurence avec les formes ϕ qui sont telles que ϕ(1 lδa₁δa₂…δa_n) = 0 en posant, pour a_i ∈ $ϕ(a0,a1,...,an ) = ϕ (a0δa1...δan )$
Grâce à cette identification, on peut effectuer toutes les constructions de nature cohomologique en utilisant comme cochaines ce type particulier de formes linéaires sur Ω plutôt que de faire appel à des formes multilinéaires sur . Nous n’irons cependant pas plus loin dans cette direction.

La cohomologie cyclique : une cohomologie de De Rham non commutative

Dans le cas non commutatif, nous n’avons pas encore présenté de construction qui généralise la cohomologie de De Rham (section 1.12.2). En fait, puisque nous travaillons maintenant sur les algèbres elle-mêmes (dans le cas commutatif on considère l’algèbre commutative C^∞(X) des fonctions et non pas les points de X eux-mêmes), c’est d’un analogue de l’opérateur d’homologie ∂ sur les courants dont nous avons besoin. Rappelons que, classiquement, cet opérateur agit sur les courants de De Rham de la façon suivante (théorème de Stokes) : $⟨∂C, ω⟩ = ⟨C, dω⟩,$ Ici ω est une forme différentielle quelconque sur X.
La définition la plus simple (mais c’est peut-être une question de goût) est celle qui suit. On définit tout d’abord la notion de cyclicité pour une forme multilinéaire $|---------------------------------------------------------------| ϕ est cyclique ⇔ ϕ(a0,a1,...,an) = (- 1)nϕ(an,a0,a1,...,an -1).| -----------------------------------------------------------------$ On fait alors la remarque suivante [2] : Si ϕ est cyclique, alors bϕ l’est aussi.
Il devient alors naturel de considérer le sous complexe cyclique du complexe de Hochschild, c’est à dire de restreindre l’opérateur b (le même que précédemment) aux cochaines de Hochschild cycliques. On définit alors les espaces Z_λⁿ, B_λⁿ des cocycles et cobords cycliques, ainsi que leurs quotients, les groupes de cohomologie cyclique H_λⁿ.
Dans le cadre classique, i.e. avec = C^∞(X), on montre [2] que $k H λ = Ker ∂ ⊕ Hk -2 ⊕ Hk -4...$ où Ker∂ est le noyau de l’opérateur ∂ agissant dans l’espace des courants de De Rham de degré k et où H_p désigne le groupe d’ homologie de degré p (pour les courants).
Ainsi, nous n’obtenons pas une correspondance bi-univoque entre les groupes de cohomologie cyclique et les groupes d’homologie de De Rham ; néanmoins, l’information contenue est la même, puisque, en choisissant k assez grand, les groupes de cohomologie cycliques pairs ou impairs seront respectivement égaux à la somme directe des groupes d’homologie de De Rham (pairs ou impairs).
Ce résultat suggère qu’il existe une façon canonique d’envoyer H_λ^p dans H_λ^p+2, et c’est effectivement le cas (pour une algèbre quelconque, d’ailleurs). En fait, on peut démontrer un résultat encore plus fort : pour toute algèbre, on peut définir un opérateur S, souvent désigné sous le nom de “opérateur de périodicité de Connes”, qui envoie C_λ^p dans C_λ^p+2 – le symbole C_λ^* se réferrant aux cochaines cycliques.
Cette façon de définir la cohomologie cyclique (comme sous complexe de celle de Hochschid), se fait donc sans qu’il soit besoin d’introduire une généralisation non commutative de l’opérateur ∂. Cela dit, un tel opérateur existe (il est noté B₀, ou B — voir ci-dessous —) et on peut aussi définir la cohomologie cyclique grâce à lui. La définition de cette cohomologie, en utilisant les opérateurs en question, est un peu plus subtile, et nous nous contenterons de donner la définition des opérateurs B₀ et B. Le lecteur interessé pourra consulter [2], [3] et les références indiquées dans cet ouvrage.
Outre l’opérateur de périodicité déjà mentionné, S : C_λ^p → C_λ^p+2, on considère aussi les opérateurs suivants :
- L’opérateur d’antisymétrisation cyclique.
  $n [Aϕ ](a0,a1,...,an) = ϕ(a0,a1,...,an) + (- 1) ϕ(an,a0,...,an- 1)+ + ϕ(an-1,an,a0,...) + (- 1)nϕ (an-2,an-1,an, a0,a1,...) + ...$
- L’opérateur bord non antisymétrisé B₀ défini comme $[B0ϕ ](a0,a1,...,an ) = ϕ (e,a0,...,an) - ϕ(a0,...,an,e)$ Ici, e désigne l’unité de l’algèbre (et il faut effectivement supposer que l’algèbre est unitale).
- L’opérateur bord cyclique B = AB₀. (ou différentielle de Connes).
On montre alors que B envoie Cⁿ sur C^n-1, que B² = 0 et que bB + Bb = 0. En utilisant ces deux dernières propriétés, ainsi que b² = 0, on peut construire un bi-complexe (puisque b and B agissent dans des directions opposées) à partir duquel on peut également définir la cohomologie cyclique.
En utilisant ce dernier bi-complexe on définit aussi la “cohomologie cyclique entière” de la façon suivante. Les cocycles entiers sont des suites (ϕ_2n) ou (ϕ_2n+1) de fonctionnelles paires ou impaires ϕ qui doivent satisfaire à la contrainte suivante (nous ne l’écrivons que pour le cas impair) :
$bϕ2n- 1 + B ϕ2n+1 = 0.$ A l’aide de tels cocycles (techniquement, il faut aussi supposer qu’une certaine condition de croissance est satisfaite), on peut définir des fonctions entières sur l’algèbre , $∑∞ n Fϕ(x) = (--1)-ϕ2n(x, x,...,x). n=0 n!$
La cohomologie cyclique entière fournit un formalisme approprié pour l’étude de certaines algèbres non commutatives de dimension infinie apparaissant en théorie quantique des champs.

6.3.7 Remarque finale

Comme nous l’avons signalé plus haut, notre propos, dans cette dernière section était simplement d’effectuer un tour rapide dans certains secteurs du zoo non commutatif, en espérant que le lecteur aura plaisir à y retourner en consultant la littérature spécialisée. Le présent ouvrage est en effet essentiellement dédié à l’étude de plusieurs aspects de la géométrie différentielle ; en l’occurence, la théorie des connexions et des espaces fibrés. Cependant, la physique du vingtième siècle n’est (n’était !) pas seulement courbe : elle est (était) aussi quantique. Il eût donc été dommage de passer sous silence ces quelques développements récents — et passionnants — des mathématiques, qui généralisent les notions habituelles et quasi intuitives de la géométrie “ordinaire” (celle des espaces) au monde, encore un peu mystérieux, des espaces non commutatifs.

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